Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elpredim Unicode version

Theorem elpredim 25390
Description: Membership in a predecessor class - implicative version. (Contributed by Scott Fenton, 9-May-2012.)
Hypothesis
Ref Expression
elpredim.1  |-  X  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
elpredim  |-  ( Y  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  ->  Y R X )

Proof of Theorem elpredim
StepHypRef Expression
1 df-pred 25382 . . 3  |-  Pred ( R ,  A ,  X )  =  ( A  i^i  ( `' R " { X } ) )
21elin2 3491 . 2  |-  ( Y  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  <->  ( Y  e.  A  /\  Y  e.  ( `' R " { X }
) ) )
3 elpredim.1 . . . . . 6  |-  X  e. 
_V
4 elimasng 5189 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  ( `' R " { X }
) )  ->  ( Y  e.  ( `' R " { X }
)  <->  <. X ,  Y >.  e.  `' R ) )
5 opelcnvg 5011 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  ( `' R " { X }
) )  ->  ( <. X ,  Y >.  e.  `' R  <->  <. Y ,  X >.  e.  R ) )
64, 5bitrd 245 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  ( `' R " { X }
) )  ->  ( Y  e.  ( `' R " { X }
)  <->  <. Y ,  X >.  e.  R ) )
73, 6mpan 652 . . . . 5  |-  ( Y  e.  ( `' R " { X } )  ->  ( Y  e.  ( `' R " { X } )  <->  <. Y ,  X >.  e.  R ) )
87ibi 233 . . . 4  |-  ( Y  e.  ( `' R " { X } )  ->  <. Y ,  X >.  e.  R )
9 df-br 4173 . . . 4  |-  ( Y R X  <->  <. Y ,  X >.  e.  R )
108, 9sylibr 204 . . 3  |-  ( Y  e.  ( `' R " { X } )  ->  Y R X )
1110adantl 453 . 2  |-  ( ( Y  e.  A  /\  Y  e.  ( `' R " { X }
) )  ->  Y R X )
122, 11sylbi 188 1  |-  ( Y  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  ->  Y R X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1721   _Vcvv 2916   {csn 3774   <.cop 3777   class class class wbr 4172   `'ccnv 4836   "cima 4840   Predcpred 25381
This theorem is referenced by:  predbrg  25400  preddowncl  25410  trpredrec  25455
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pr 4363
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-br 4173  df-opab 4227  df-xp 4843  df-cnv 4845  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 25382
  Copyright terms: Public domain W3C validator