Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elpredim Structured version   Unicode version

Theorem elpredim 27773
Description: Membership in a predecessor class - implicative version. (Contributed by Scott Fenton, 9-May-2012.)
Hypothesis
Ref Expression
elpredim.1  |-  X  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
elpredim  |-  ( Y  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  ->  Y R X )

Proof of Theorem elpredim
StepHypRef Expression
1 df-pred 27761 . . 3  |-  Pred ( R ,  A ,  X )  =  ( A  i^i  ( `' R " { X } ) )
21elin2 3641 . 2  |-  ( Y  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  <->  ( Y  e.  A  /\  Y  e.  ( `' R " { X }
) ) )
3 elpredim.1 . . . . . 6  |-  X  e. 
_V
4 elimasng 5295 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  ( `' R " { X }
) )  ->  ( Y  e.  ( `' R " { X }
)  <->  <. X ,  Y >.  e.  `' R ) )
5 opelcnvg 5119 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  ( `' R " { X }
) )  ->  ( <. X ,  Y >.  e.  `' R  <->  <. Y ,  X >.  e.  R ) )
64, 5bitrd 253 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  ( `' R " { X }
) )  ->  ( Y  e.  ( `' R " { X }
)  <->  <. Y ,  X >.  e.  R ) )
73, 6mpan 670 . . . . 5  |-  ( Y  e.  ( `' R " { X } )  ->  ( Y  e.  ( `' R " { X } )  <->  <. Y ,  X >.  e.  R ) )
87ibi 241 . . . 4  |-  ( Y  e.  ( `' R " { X } )  ->  <. Y ,  X >.  e.  R )
9 df-br 4393 . . . 4  |-  ( Y R X  <->  <. Y ,  X >.  e.  R )
108, 9sylibr 212 . . 3  |-  ( Y  e.  ( `' R " { X } )  ->  Y R X )
1110adantl 466 . 2  |-  ( ( Y  e.  A  /\  Y  e.  ( `' R " { X }
) )  ->  Y R X )
122, 11sylbi 195 1  |-  ( Y  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  ->  Y R X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1758   _Vcvv 3070   {csn 3977   <.cop 3983   class class class wbr 4392   `'ccnv 4939   "cima 4943   Predcpred 27760
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pr 4631
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-nul 3738  df-if 3892  df-sn 3978  df-pr 3980  df-op 3984  df-br 4393  df-opab 4451  df-xp 4946  df-cnv 4948  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-pred 27761
This theorem is referenced by:  predbrg  27783  preddowncl  27793  trpredrec  27838
  Copyright terms: Public domain W3C validator