Theorem elpredg 13889

Description: Membership in a predecessor class.

Assertion

Ref	Expression
elpredg	|- ((X e. B /\ Y e. A) -> (Y e. Pred(R, A, X) <-> YRX))

Proof of Theorem elpredg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pred 13880	. . . . . 6 |- Pred(R, A, X) = (A i^i (`'R"{X}))
2	1	eleq2i 1961	. . . . 5 |- (Y e. Pred(R, A, X) <-> Y e. (A i^i (`'R"{X})))
3		elin 2786	. . . . 5 |- (Y e. (A i^i (`'R"{X})) <-> (Y e. A /\ Y e. (`'R"{X})))
4	2, 3	bitri 190	. . . 4 |- (Y e. Pred(R, A, X) <-> (Y e. A /\ Y e. (`'R"{X})))
5	4	baib 749	. . 3 |- (Y e. A -> (Y e. Pred(R, A, X) <-> Y e. (`'R"{X})))
6	5	adantl 424	. 2 |- ((X e. B /\ Y e. A) -> (Y e. Pred(R, A, X) <-> Y e. (`'R"{X})))
7		elimasng 4291	. . 3 |- ((X e. B /\ Y e. A) -> (Y e. (`'R"{X}) <-> <.X, Y>. e. `'R))
8		df-br 3339	. . . 4 |- (X`'RY <-> <.X, Y>. e. `'R)
9	8	a1i 8	. . 3 |- ((X e. B /\ Y e. A) -> (X`'RY <-> <.X, Y>. e. `'R))
10		brcnvg 4142	. . 3 |- ((X e. B /\ Y e. A) -> (X`'RY <-> YRX))
11	7, 9, 10	3bitr2d 605	. 2 |- ((X e. B /\ Y e. A) -> (Y e. (`'R"{X}) <-> YRX))
12	6, 11	bitrd 587	1 |- ((X e. B /\ Y e. A) -> (Y e. Pred(R, A, X) <-> YRX))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   e. wcel 1300   i^i cin 2592  {csn 3044  <.cop 3046   class class class wbr 3338  `'ccnv 3985  "cima 3989  Predcpred 13879

This theorem is referenced by:  predso 13895  predpoirr 13908  predfrirr 13909  tz6.26 13913  wfrlem10 13966

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-br 3339  df-opab 3396  df-xp 4000  df-cnv 4002  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-pred 13880

Copyright terms: Public domain