MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elprchashprn2 Structured version   Unicode version

Theorem elprchashprn2 12559
Description: If one element of an unordered pair is not a set, the size of the unordered pair is not 2. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
elprchashprn2  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  -.  ( # `  { M ,  N }
)  =  2 )

Proof of Theorem elprchashprn2
StepHypRef Expression
1 prprc1 4104 . 2  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  { M ,  N }  =  { N } )
2 hashsng 12535 . . . 4  |-  ( N  e.  _V  ->  ( # `
 { N }
)  =  1 )
3 fveq2 5872 . . . . . . . . 9  |-  ( { M ,  N }  =  { N }  ->  (
# `  { M ,  N } )  =  ( # `  { N } ) )
43eqcomd 2428 . . . . . . . 8  |-  ( { M ,  N }  =  { N }  ->  (
# `  { N } )  =  (
# `  { M ,  N } ) )
54eqeq1d 2422 . . . . . . 7  |-  ( { M ,  N }  =  { N }  ->  ( ( # `  { N } )  =  1  <-> 
( # `  { M ,  N } )  =  1 ) )
65biimpa 486 . . . . . 6  |-  ( ( { M ,  N }  =  { N }  /\  ( # `  { N } )  =  1 )  ->  ( # `  { M ,  N }
)  =  1 )
7 id 23 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  { M ,  N } )  =  1  ->  ( # `  { M ,  N }
)  =  1 )
8 1ne2 10811 . . . . . . . . 9  |-  1  =/=  2
98a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  { M ,  N } )  =  1  ->  1  =/=  2 )
107, 9eqnetrd 2715 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  { M ,  N } )  =  1  ->  ( # `  { M ,  N }
)  =/=  2 )
1110neneqd 2623 . . . . . 6  |-  ( (
# `  { M ,  N } )  =  1  ->  -.  ( # `
 { M ,  N } )  =  2 )
126, 11syl 17 . . . . 5  |-  ( ( { M ,  N }  =  { N }  /\  ( # `  { N } )  =  1 )  ->  -.  ( # `
 { M ,  N } )  =  2 )
1312expcom 436 . . . 4  |-  ( (
# `  { N } )  =  1  ->  ( { M ,  N }  =  { N }  ->  -.  ( # `
 { M ,  N } )  =  2 ) )
142, 13syl 17 . . 3  |-  ( N  e.  _V  ->  ( { M ,  N }  =  { N }  ->  -.  ( # `  { M ,  N }
)  =  2 ) )
15 snprc 4057 . . . 4  |-  ( -.  N  e.  _V  <->  { N }  =  (/) )
16 eqeq2 2435 . . . . . . 7  |-  ( { N }  =  (/)  ->  ( { M ,  N }  =  { N }  <->  { M ,  N }  =  (/) ) )
1716biimpa 486 . . . . . 6  |-  ( ( { N }  =  (/) 
/\  { M ,  N }  =  { N } )  ->  { M ,  N }  =  (/) )
18 hash0 12534 . . . . . 6  |-  ( # `  (/) )  =  0
19 fveq2 5872 . . . . . . . . . 10  |-  ( { M ,  N }  =  (/)  ->  ( # `  { M ,  N }
)  =  ( # `  (/) ) )
2019eqcomd 2428 . . . . . . . . 9  |-  ( { M ,  N }  =  (/)  ->  ( # `  (/) )  =  ( # `  { M ,  N }
) )
2120eqeq1d 2422 . . . . . . . 8  |-  ( { M ,  N }  =  (/)  ->  ( ( # `
 (/) )  =  0  <-> 
( # `  { M ,  N } )  =  0 ) )
2221biimpa 486 . . . . . . 7  |-  ( ( { M ,  N }  =  (/)  /\  ( # `
 (/) )  =  0 )  ->  ( # `  { M ,  N }
)  =  0 )
23 id 23 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  { M ,  N } )  =  0  ->  ( # `  { M ,  N }
)  =  0 )
24 0ne2 10810 . . . . . . . . . 10  |-  0  =/=  2
2524a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  { M ,  N } )  =  0  ->  0  =/=  2 )
2623, 25eqnetrd 2715 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  { M ,  N } )  =  0  ->  ( # `  { M ,  N }
)  =/=  2 )
2726neneqd 2623 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  { M ,  N } )  =  0  ->  -.  ( # `
 { M ,  N } )  =  2 )
2822, 27syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( { M ,  N }  =  (/)  /\  ( # `
 (/) )  =  0 )  ->  -.  ( # `
 { M ,  N } )  =  2 )
2917, 18, 28sylancl 666 . . . . 5  |-  ( ( { N }  =  (/) 
/\  { M ,  N }  =  { N } )  ->  -.  ( # `  { M ,  N } )  =  2 )
3029ex 435 . . . 4  |-  ( { N }  =  (/)  ->  ( { M ,  N }  =  { N }  ->  -.  ( # `
 { M ,  N } )  =  2 ) )
3115, 30sylbi 198 . . 3  |-  ( -.  N  e.  _V  ->  ( { M ,  N }  =  { N }  ->  -.  ( # `  { M ,  N }
)  =  2 ) )
3214, 31pm2.61i 167 . 2  |-  ( { M ,  N }  =  { N }  ->  -.  ( # `  { M ,  N }
)  =  2 )
331, 32syl 17 1  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  -.  ( # `  { M ,  N }
)  =  2 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1867    =/= wne 2616   _Vcvv 3078   (/)c0 3758   {csn 3993   {cpr 3995   ` cfv 5592   0cc0 9528   1c1 9529   2c2 10648   #chash 12501
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-er 7362  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-card 8363  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-nn 10599  df-2 10657  df-n0 10859  df-z 10927  df-uz 11149  df-fz 11772  df-hash 12502
This theorem is referenced by:  hashprb  12560  usgraedgrnv  24991
  Copyright terms: Public domain W3C validator