MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elprchashprn2 Unicode version

Theorem elprchashprn2 11594
Description: If one element of an unordered pair is not a set, the size of the unordered pair is not 2. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
elprchashprn2  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  -.  ( # `  { M ,  N }
)  =  2 )

Proof of Theorem elprchashprn2
StepHypRef Expression
1 prprc1 3857 . 2  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  { M ,  N }  =  { N } )
2 hashsng 11574 . . . 4  |-  ( N  e.  _V  ->  ( # `
 { N }
)  =  1 )
3 fveq2 5668 . . . . . . . . 9  |-  ( { M ,  N }  =  { N }  ->  (
# `  { M ,  N } )  =  ( # `  { N } ) )
43eqcomd 2392 . . . . . . . 8  |-  ( { M ,  N }  =  { N }  ->  (
# `  { N } )  =  (
# `  { M ,  N } ) )
54eqeq1d 2395 . . . . . . 7  |-  ( { M ,  N }  =  { N }  ->  ( ( # `  { N } )  =  1  <-> 
( # `  { M ,  N } )  =  1 ) )
65biimpa 471 . . . . . 6  |-  ( ( { M ,  N }  =  { N }  /\  ( # `  { N } )  =  1 )  ->  ( # `  { M ,  N }
)  =  1 )
7 id 20 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  { M ,  N } )  =  1  ->  ( # `  { M ,  N }
)  =  1 )
8 1ne2 10119 . . . . . . . . 9  |-  1  =/=  2
98a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  { M ,  N } )  =  1  ->  1  =/=  2 )
107, 9eqnetrd 2568 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  { M ,  N } )  =  1  ->  ( # `  { M ,  N }
)  =/=  2 )
1110neneqd 2566 . . . . . 6  |-  ( (
# `  { M ,  N } )  =  1  ->  -.  ( # `
 { M ,  N } )  =  2 )
126, 11syl 16 . . . . 5  |-  ( ( { M ,  N }  =  { N }  /\  ( # `  { N } )  =  1 )  ->  -.  ( # `
 { M ,  N } )  =  2 )
1312expcom 425 . . . 4  |-  ( (
# `  { N } )  =  1  ->  ( { M ,  N }  =  { N }  ->  -.  ( # `
 { M ,  N } )  =  2 ) )
142, 13syl 16 . . 3  |-  ( N  e.  _V  ->  ( { M ,  N }  =  { N }  ->  -.  ( # `  { M ,  N }
)  =  2 ) )
15 snprc 3814 . . . 4  |-  ( -.  N  e.  _V  <->  { N }  =  (/) )
16 eqeq2 2396 . . . . . . 7  |-  ( { N }  =  (/)  ->  ( { M ,  N }  =  { N }  <->  { M ,  N }  =  (/) ) )
1716biimpa 471 . . . . . 6  |-  ( ( { N }  =  (/) 
/\  { M ,  N }  =  { N } )  ->  { M ,  N }  =  (/) )
18 hash0 11573 . . . . . 6  |-  ( # `  (/) )  =  0
19 fveq2 5668 . . . . . . . . . 10  |-  ( { M ,  N }  =  (/)  ->  ( # `  { M ,  N }
)  =  ( # `  (/) ) )
2019eqcomd 2392 . . . . . . . . 9  |-  ( { M ,  N }  =  (/)  ->  ( # `  (/) )  =  ( # `  { M ,  N }
) )
2120eqeq1d 2395 . . . . . . . 8  |-  ( { M ,  N }  =  (/)  ->  ( ( # `
 (/) )  =  0  <-> 
( # `  { M ,  N } )  =  0 ) )
2221biimpa 471 . . . . . . 7  |-  ( ( { M ,  N }  =  (/)  /\  ( # `
 (/) )  =  0 )  ->  ( # `  { M ,  N }
)  =  0 )
23 id 20 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  { M ,  N } )  =  0  ->  ( # `  { M ,  N }
)  =  0 )
24 2ne0 10015 . . . . . . . . . . 11  |-  2  =/=  0
2524necomi 2632 . . . . . . . . . 10  |-  0  =/=  2
2625a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  { M ,  N } )  =  0  ->  0  =/=  2 )
2723, 26eqnetrd 2568 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  { M ,  N } )  =  0  ->  ( # `  { M ,  N }
)  =/=  2 )
2827neneqd 2566 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  { M ,  N } )  =  0  ->  -.  ( # `
 { M ,  N } )  =  2 )
2922, 28syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( { M ,  N }  =  (/)  /\  ( # `
 (/) )  =  0 )  ->  -.  ( # `
 { M ,  N } )  =  2 )
3017, 18, 29sylancl 644 . . . . 5  |-  ( ( { N }  =  (/) 
/\  { M ,  N }  =  { N } )  ->  -.  ( # `  { M ,  N } )  =  2 )
3130ex 424 . . . 4  |-  ( { N }  =  (/)  ->  ( { M ,  N }  =  { N }  ->  -.  ( # `
 { M ,  N } )  =  2 ) )
3215, 31sylbi 188 . . 3  |-  ( -.  N  e.  _V  ->  ( { M ,  N }  =  { N }  ->  -.  ( # `  { M ,  N }
)  =  2 ) )
3314, 32pm2.61i 158 . 2  |-  ( { M ,  N }  =  { N }  ->  -.  ( # `  { M ,  N }
)  =  2 )
341, 33syl 16 1  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  -.  ( # `  { M ,  N }
)  =  2 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2550   _Vcvv 2899   (/)c0 3571   {csn 3757   {cpr 3758   ` cfv 5394   0cc0 8923   1c1 8924   2c2 9981   #chash 11545
This theorem is referenced by:  hashprb  11595  usgraedgrnv  21264
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-card 7759  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-2 9990  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-fz 10976  df-hash 11546
  Copyright terms: Public domain W3C validator