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Theorem elpotr 29378
Description: A class of transitive sets is partially ordered by  _E. (Contributed by Scott Fenton, 15-Oct-2010.)
Assertion
Ref Expression
elpotr  |-  ( A. z  e.  A  Tr  z  ->  _E  Po  A
)
Distinct variable group:    z, A

Proof of Theorem elpotr
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 alral 2747 . . . . . 6  |-  ( A. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z )  ->  A. y  e.  A  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z ) )
21alimi 1641 . . . . 5  |-  ( A. x A. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z )  ->  A. x A. y  e.  A  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z ) )
3 alral 2747 . . . . 5  |-  ( A. x A. y  e.  A  ( ( x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z ) )
42, 3syl 16 . . . 4  |-  ( A. x A. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z ) )
54ralimi 2775 . . 3  |-  ( A. z  e.  A  A. x A. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z )  ->  A. z  e.  A  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z ) )
6 ralcom 2943 . . . 4  |-  ( A. z  e.  A  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z )  <->  A. x  e.  A  A. z  e.  A  A. y  e.  A  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z ) )
7 ralcom 2943 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  A  A. y  e.  A  (
( x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z )  <->  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z ) )
87ralbii 2813 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  A. z  e.  A  A. y  e.  A  (
( x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z ) )
96, 8bitri 249 . . 3  |-  ( A. z  e.  A  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z ) )
105, 9sylib 196 . 2  |-  ( A. z  e.  A  A. x A. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( ( x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z ) )
11 dftr2 4462 . . 3  |-  ( Tr  z  <->  A. x A. y
( ( x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z ) )
1211ralbii 2813 . 2  |-  ( A. z  e.  A  Tr  z 
<-> 
A. z  e.  A  A. x A. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z ) )
13 df-po 4714 . . 3  |-  (  _E  Po  A  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( -.  x  _E  x  /\  ( ( x  _E  y  /\  y  _E  z )  ->  x  _E  z ) ) )
14 epel 4708 . . . . . . . 8  |-  ( x  _E  y  <->  x  e.  y )
15 epel 4708 . . . . . . . 8  |-  ( y  _E  z  <->  y  e.  z )
1614, 15anbi12i 695 . . . . . . 7  |-  ( ( x  _E  y  /\  y  _E  z )  <->  ( x  e.  y  /\  y  e.  z )
)
17 epel 4708 . . . . . . 7  |-  ( x  _E  z  <->  x  e.  z )
1816, 17imbi12i 324 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  _E  y  /\  y  _E  z
)  ->  x  _E  z )  <->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z ) )
19 elirrv 7938 . . . . . . . 8  |-  -.  x  e.  x
20 epel 4708 . . . . . . . 8  |-  ( x  _E  x  <->  x  e.  x )
2119, 20mtbir 297 . . . . . . 7  |-  -.  x  _E  x
2221biantrur 504 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  _E  y  /\  y  _E  z
)  ->  x  _E  z )  <->  ( -.  x  _E  x  /\  ( ( x  _E  y  /\  y  _E  z )  ->  x  _E  z ) ) )
2318, 22bitr3i 251 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z )  <->  ( -.  x  _E  x  /\  ( ( x  _E  y  /\  y  _E  z )  ->  x  _E  z ) ) )
2423ralbii 2813 . . . 4  |-  ( A. z  e.  A  (
( x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z )  <->  A. z  e.  A  ( -.  x  _E  x  /\  ( ( x  _E  y  /\  y  _E  z )  ->  x  _E  z ) ) )
25242ralbii 2814 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  (
( x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( -.  x  _E  x  /\  ( ( x  _E  y  /\  y  _E  z )  ->  x  _E  z ) ) )
2613, 25bitr4i 252 . 2  |-  (  _E  Po  A  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z ) )
2710, 12, 263imtr4i 266 1  |-  ( A. z  e.  A  Tr  z  ->  _E  Po  A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367   A.wal 1397   A.wral 2732   class class class wbr 4367   Tr wtr 4460    _E cep 4703    Po wpo 4712
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pr 4601  ax-reg 7933
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-rab 2741  df-v 3036  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-nul 3712  df-if 3858  df-sn 3945  df-pr 3947  df-op 3951  df-uni 4164  df-br 4368  df-opab 4426  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-po 4714
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