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Theorem elpotr 28778
Description: A class of transitive sets is partially ordered by  _E. (Contributed by Scott Fenton, 15-Oct-2010.)
Assertion
Ref Expression
elpotr  |-  ( A. z  e.  A  Tr  z  ->  _E  Po  A
)
Distinct variable group:    z, A

Proof of Theorem elpotr
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 alral 2824 . . . . . 6  |-  ( A. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z )  ->  A. y  e.  A  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z ) )
21alimi 1609 . . . . 5  |-  ( A. x A. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z )  ->  A. x A. y  e.  A  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z ) )
3 alral 2824 . . . . 5  |-  ( A. x A. y  e.  A  ( ( x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z ) )
42, 3syl 16 . . . 4  |-  ( A. x A. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z ) )
54ralimi 2852 . . 3  |-  ( A. z  e.  A  A. x A. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z )  ->  A. z  e.  A  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z ) )
6 ralcom 3017 . . . 4  |-  ( A. z  e.  A  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z )  <->  A. x  e.  A  A. z  e.  A  A. y  e.  A  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z ) )
7 ralcom 3017 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  A  A. y  e.  A  (
( x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z )  <->  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z ) )
87ralbii 2890 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  A. z  e.  A  A. y  e.  A  (
( x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z ) )
96, 8bitri 249 . . 3  |-  ( A. z  e.  A  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z ) )
105, 9sylib 196 . 2  |-  ( A. z  e.  A  A. x A. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( ( x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z ) )
11 dftr2 4537 . . 3  |-  ( Tr  z  <->  A. x A. y
( ( x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z ) )
1211ralbii 2890 . 2  |-  ( A. z  e.  A  Tr  z 
<-> 
A. z  e.  A  A. x A. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z ) )
13 df-po 4795 . . 3  |-  (  _E  Po  A  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( -.  x  _E  x  /\  ( ( x  _E  y  /\  y  _E  z )  ->  x  _E  z ) ) )
14 epel 4789 . . . . . . . 8  |-  ( x  _E  y  <->  x  e.  y )
15 epel 4789 . . . . . . . 8  |-  ( y  _E  z  <->  y  e.  z )
1614, 15anbi12i 697 . . . . . . 7  |-  ( ( x  _E  y  /\  y  _E  z )  <->  ( x  e.  y  /\  y  e.  z )
)
17 epel 4789 . . . . . . 7  |-  ( x  _E  z  <->  x  e.  z )
1816, 17imbi12i 326 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  _E  y  /\  y  _E  z
)  ->  x  _E  z )  <->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z ) )
19 elirrv 8014 . . . . . . . 8  |-  -.  x  e.  x
20 epel 4789 . . . . . . . 8  |-  ( x  _E  x  <->  x  e.  x )
2119, 20mtbir 299 . . . . . . 7  |-  -.  x  _E  x
2221biantrur 506 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  _E  y  /\  y  _E  z
)  ->  x  _E  z )  <->  ( -.  x  _E  x  /\  ( ( x  _E  y  /\  y  _E  z )  ->  x  _E  z ) ) )
2318, 22bitr3i 251 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z )  <->  ( -.  x  _E  x  /\  ( ( x  _E  y  /\  y  _E  z )  ->  x  _E  z ) ) )
2423ralbii 2890 . . . 4  |-  ( A. z  e.  A  (
( x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z )  <->  A. z  e.  A  ( -.  x  _E  x  /\  ( ( x  _E  y  /\  y  _E  z )  ->  x  _E  z ) ) )
25242ralbii 2891 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  (
( x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( -.  x  _E  x  /\  ( ( x  _E  y  /\  y  _E  z )  ->  x  _E  z ) ) )
2613, 25bitr4i 252 . 2  |-  (  _E  Po  A  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z ) )
2710, 12, 263imtr4i 266 1  |-  ( A. z  e.  A  Tr  z  ->  _E  Po  A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369   A.wal 1372   A.wral 2809   class class class wbr 4442   Tr wtr 4535    _E cep 4784    Po wpo 4793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pr 4681  ax-reg 8009
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-ral 2814  df-rex 2815  df-rab 2818  df-v 3110  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3781  df-if 3935  df-sn 4023  df-pr 4025  df-op 4029  df-uni 4241  df-br 4443  df-opab 4501  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-po 4795
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