MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elpm2 Structured version   Unicode version

Theorem elpm2 7507
Description: The predicate "is a partial function." (Contributed by NM, 15-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
elmap.1  |-  A  e. 
_V
elmap.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
elpm2  |-  ( F  e.  ( A  ^pm  B )  <->  ( F : dom  F --> A  /\  dom  F 
C_  B ) )

Proof of Theorem elpm2
StepHypRef Expression
1 elmap.1 . 2  |-  A  e. 
_V
2 elmap.2 . 2  |-  B  e. 
_V
3 elpm2g 7492 . 2  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( F  e.  ( A  ^pm  B )  <->  ( F : dom  F --> A  /\  dom  F  C_  B ) ) )
41, 2, 3mp2an 676 1  |-  ( F  e.  ( A  ^pm  B )  <->  ( F : dom  F --> A  /\  dom  F 
C_  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 187    /\ wa 370    e. wcel 1868   _Vcvv 3081    C_ wss 3436   dom cdm 4849   -->wf 5593  (class class class)co 6301    ^pm cpm 7477
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-op 4003  df-uni 4217  df-br 4421  df-opab 4480  df-id 4764  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-fv 5605  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-pm 7479
This theorem is referenced by:  rlimf  13552  rlimss  13553  lo1f  13569  lo1dm  13570  o1f  13580  o1dm  13581  coapm  15953  pmltpclem2  22386  mbff  22569  limcrcl  22815  dvnres  22871  c1liplem1  22934  c1lip2  22936  ulmf2  23325  elbigof  39638  elbigodm  39639  elbigoimp  39640
  Copyright terms: Public domain W3C validator