HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  elpjrn Structured version   Unicode version

Theorem elpjrn 27508
Description: Reconstruction of the subspace of a projection operator. (Contributed by NM, 24-Apr-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
elpjrn  |-  ( T  e.  ran  proj h  ->  ran  T  =  { x  e.  ~H  |  ( T `
 x )  =  x } )
Distinct variable group:    x, T

Proof of Theorem elpjrn
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpjch 27507 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  ran  proj h  -> 
( ran  T  e.  CH 
/\  T  =  (
proj h `  ran  T
) ) )
21simpld 457 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  ran  proj h  ->  ran  T  e.  CH )
3 chss 26547 . . . . . . 7  |-  ( ran 
T  e.  CH  ->  ran 
T  C_  ~H )
42, 3syl 17 . . . . . 6  |-  ( T  e.  ran  proj h  ->  ran  T  C_  ~H )
54sseld 3440 . . . . 5  |-  ( T  e.  ran  proj h  -> 
( x  e.  ran  T  ->  x  e.  ~H ) )
6 elpjhmop 27503 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e.  ran  proj h  ->  T  e.  HrmOp )
7 hmopf 27192 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e.  HrmOp  ->  T : ~H
--> ~H )
86, 7syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  ran  proj h  ->  T : ~H --> ~H )
9 ffn 5713 . . . . . . . 8  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  T  Fn  ~H )
108, 9syl 17 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  ran  proj h  ->  T  Fn  ~H )
11 fvelrnb 5895 . . . . . . 7  |-  ( T  Fn  ~H  ->  (
x  e.  ran  T  <->  E. y  e.  ~H  ( T `  y )  =  x ) )
1210, 11syl 17 . . . . . 6  |-  ( T  e.  ran  proj h  -> 
( x  e.  ran  T  <->  E. y  e.  ~H  ( T `  y )  =  x ) )
13 fvco3 5925 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( T  o.  T ) `  y
)  =  ( T `
 ( T `  y ) ) )
148, 13sylan 469 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  ran  proj h  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( T  o.  T ) `  y )  =  ( T `  ( T `
 y ) ) )
15 elpjidm 27502 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  ran  proj h  -> 
( T  o.  T
)  =  T )
1615adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  ran  proj h  /\  y  e.  ~H )  ->  ( T  o.  T )  =  T )
1716fveq1d 5850 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  ran  proj h  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( T  o.  T ) `  y )  =  ( T `  y ) )
1814, 17eqtr3d 2445 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  ran  proj h  /\  y  e.  ~H )  ->  ( T `  ( T `  y ) )  =  ( T `
 y ) )
19 fveq2 5848 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T `  y )  =  x  ->  ( T `  ( T `  y ) )  =  ( T `  x
) )
20 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T `  y )  =  x  ->  ( T `  y )  =  x )
2119, 20eqeq12d 2424 . . . . . . . 8  |-  ( ( T `  y )  =  x  ->  (
( T `  ( T `  y )
)  =  ( T `
 y )  <->  ( T `  x )  =  x ) )
2218, 21syl5ibcom 220 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  ran  proj h  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( T `
 y )  =  x  ->  ( T `  x )  =  x ) )
2322rexlimdva 2895 . . . . . 6  |-  ( T  e.  ran  proj h  -> 
( E. y  e. 
~H  ( T `  y )  =  x  ->  ( T `  x )  =  x ) )
2412, 23sylbid 215 . . . . 5  |-  ( T  e.  ran  proj h  -> 
( x  e.  ran  T  ->  ( T `  x )  =  x ) )
255, 24jcad 531 . . . 4  |-  ( T  e.  ran  proj h  -> 
( x  e.  ran  T  ->  ( x  e. 
~H  /\  ( T `  x )  =  x ) ) )
26 fnfvelrn 6005 . . . . . . 7  |-  ( ( T  Fn  ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( T `  x
)  e.  ran  T
)
2710, 26sylan 469 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  ran  proj h  /\  x  e.  ~H )  ->  ( T `  x )  e.  ran  T )
28 eleq1 2474 . . . . . 6  |-  ( ( T `  x )  =  x  ->  (
( T `  x
)  e.  ran  T  <->  x  e.  ran  T ) )
2927, 28syl5ibcom 220 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  ran  proj h  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( T `
 x )  =  x  ->  x  e.  ran  T ) )
3029expimpd 601 . . . 4  |-  ( T  e.  ran  proj h  -> 
( ( x  e. 
~H  /\  ( T `  x )  =  x )  ->  x  e.  ran  T ) )
3125, 30impbid 191 . . 3  |-  ( T  e.  ran  proj h  -> 
( x  e.  ran  T  <-> 
( x  e.  ~H  /\  ( T `  x
)  =  x ) ) )
3231abbi2dv 2539 . 2  |-  ( T  e.  ran  proj h  ->  ran  T  =  { x  |  ( x  e. 
~H  /\  ( T `  x )  =  x ) } )
33 df-rab 2762 . 2  |-  { x  e.  ~H  |  ( T `
 x )  =  x }  =  {
x  |  ( x  e.  ~H  /\  ( T `  x )  =  x ) }
3432, 33syl6eqr 2461 1  |-  ( T  e.  ran  proj h  ->  ran  T  =  { x  e.  ~H  |  ( T `
 x )  =  x } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   {cab 2387   E.wrex 2754   {crab 2757    C_ wss 3413   ran crn 4823    o. ccom 4826    Fn wfn 5563   -->wf 5564   ` cfv 5568   ~Hchil 26236   CHcch 26246   proj hcpjh 26254   HrmOpcho 26267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-inf2 8090  ax-cc 8846  ax-dc 8857  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599  ax-addf 9600  ax-mulf 9601  ax-hilex 26316  ax-hfvadd 26317  ax-hvcom 26318  ax-hvass 26319  ax-hv0cl 26320  ax-hvaddid 26321  ax-hfvmul 26322  ax-hvmulid 26323  ax-hvmulass 26324  ax-hvdistr1 26325  ax-hvdistr2 26326  ax-hvmul0 26327  ax-hfi 26396  ax-his1 26399  ax-his2 26400  ax-his3 26401  ax-his4 26402  ax-hcompl 26519
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6520  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-supp 6902  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-2o 7167  df-oadd 7170  df-omul 7171  df-er 7347  df-map 7458  df-pm 7459  df-ixp 7507  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-fsupp 7863  df-fi 7904  df-sup 7934  df-oi 7968  df-card 8351  df-acn 8354  df-cda 8579  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-7 10639  df-8 10640  df-9 10641  df-10 10642  df-n0 10836  df-z 10905  df-dec 11019  df-uz 11127  df-q 11227  df-rp 11265  df-xneg 11370  df-xadd 11371  df-xmul 11372  df-ioo 11585  df-ico 11587  df-icc 11588  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-fl 11964  df-seq 12150  df-exp 12209  df-hash 12451  df-cj 13079  df-re 13080  df-im 13081  df-sqrt 13215  df-abs 13216  df-clim 13458  df-rlim 13459  df-sum 13656  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-ress 14846  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-starv 14922  df-sca 14923  df-vsca 14924  df-ip 14925  df-tset 14926  df-ple 14927  df-ds 14929  df-unif 14930  df-hom 14931  df-cco 14932  df-rest 15035  df-topn 15036  df-0g 15054  df-gsum 15055  df-topgen 15056  df-pt 15057  df-prds 15060  df-xrs 15114  df-qtop 15119  df-imas 15120  df-xps 15122  df-mre 15198  df-mrc 15199  df-acs 15201  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-submnd 16289  df-mulg 16382  df-cntz 16677  df-cmn 17122  df-psmet 18729  df-xmet 18730  df-met 18731  df-bl 18732  df-mopn 18733  df-fbas 18734  df-fg 18735  df-cnfld 18739  df-top 19689  df-bases 19691  df-topon 19692  df-topsp 19693  df-cld 19810  df-ntr 19811  df-cls 19812  df-nei 19890  df-cn 20019  df-cnp 20020  df-lm 20021  df-t1 20106  df-haus 20107  df-cmp 20178  df-tx 20353  df-hmeo 20546  df-fil 20637  df-fm 20729  df-flim 20730  df-flf 20731  df-fcls 20732  df-xms 21113  df-ms 21114  df-tms 21115  df-cncf 21672  df-cfil 21984  df-cau 21985  df-cmet 21986  df-grpo 25593  df-gid 25594  df-ginv 25595  df-gdiv 25596  df-ablo 25684  df-subgo 25704  df-vc 25839  df-nv 25885  df-va 25888  df-ba 25889  df-sm 25890  df-0v 25891  df-vs 25892  df-nmcv 25893  df-ims 25894  df-dip 26011  df-ssp 26035  df-lno 26059  df-nmoo 26060  df-blo 26061  df-0o 26062  df-ph 26128  df-cbn 26179  df-hlo 26202  df-hnorm 26285  df-hba 26286  df-hvsub 26288  df-hlim 26289  df-hcau 26290  df-sh 26524  df-ch 26539  df-oc 26570  df-ch0 26571  df-shs 26626  df-pjh 26713  df-h0op 27066  df-iop 27067  df-nmop 27157  df-cnop 27158  df-lnop 27159  df-bdop 27160  df-unop 27161  df-hmop 27162
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator