Theorem elpi1 21277

Description: The elements of the fundamental group. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
elpi1.g	|- G = ( J pi1 Y )
elpi1.b	|- B = ( Base ` G )
elpi1.1	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
elpi1.2	|- ( ph -> Y e. X )

Assertion

Ref	Expression
elpi1	|- ( ph -> ( F e. B <-> E. f e. ( II Cn J ) ( ( ( f ` 0 ) = Y /\ ( f ` 1 ) = Y ) /\ F = [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ) )

Distinct variable groups:   f, F   f, G   f, X   B, f   f, J   ph, f   f, Y

Proof of Theorem elpi1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpi1.g	. . . 4 |- G = ( J pi1 Y )
2		elpi1.1	. . . 4 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
3		elpi1.2	. . . 4 |- ( ph -> Y e. X )
4		elpi1.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
5	4	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> B = ( Base ` G ) )
6	1, 2, 3, 5	pi1bas2 21273	. . 3 |- ( ph -> B = ( U. B /. ( ~=ph ` J ) ) )
7	6	eleq2d 2537	. 2 |- ( ph -> ( F e. B <-> F e. ( U. B /. ( ~=ph ` J ) ) ) )
8		elex 3122	. . . 4 |- ( F e. ( U. B /. ( ~=ph ` J ) ) -> F e. _V )
9		id 22	. . . . . 6 |- ( F = [ f ] ( ~=ph ` J ) -> F = [ f ] ( ~=ph ` J ) )
10		fvex 5874	. . . . . . 7 |- ( ~=ph ` J ) e. _V
11		ecexg 7312	. . . . . . 7 |- ( ( ~=ph ` J ) e. _V -> [ f ] ( ~=ph ` J ) e. _V )
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 |- [ f ] ( ~=ph ` J ) e. _V
13	9, 12	syl6eqel 2563	. . . . 5 |- ( F = [ f ] ( ~=ph ` J ) -> F e. _V )
14	13	rexlimivw 2952	. . . 4 |- ( E. f e. U. B F = [ f ] ( ~=ph ` J ) -> F e. _V )
15		elqsg 7360	. . . 4 |- ( F e. _V -> ( F e. ( U. B /. ( ~=ph ` J ) ) <-> E. f e. U. B F = [ f ] ( ~=ph ` J ) ) )
16	8, 14, 15	pm5.21nii 353	. . 3 |- ( F e. ( U. B /. ( ~=ph ` J ) ) <-> E. f e. U. B F = [ f ] ( ~=ph ` J ) )
17	1, 2, 3, 5	pi1eluni 21274	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( f e. U. B <-> ( f e. ( II Cn J ) /\ ( f ` 0 ) = Y /\ ( f ` 1 ) = Y ) ) )
18		3anass 977	. . . . . . 7 |- ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( f ` 0 ) = Y /\ ( f ` 1 ) = Y ) <-> ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = Y /\ ( f ` 1 ) = Y ) ) )
19	17, 18	syl6bb 261	. . . . . 6 |- ( ph -> ( f e. U. B <-> ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = Y /\ ( f ` 1 ) = Y ) ) ) )
20	19	anbi1d 704	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( f e. U. B /\ F = [ f ] ( ~=ph ` J ) ) <-> ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = Y /\ ( f ` 1 ) = Y ) ) /\ F = [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ) )
21		anass 649	. . . . 5 |- ( ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = Y /\ ( f ` 1 ) = Y ) ) /\ F = [ f ] ( ~=ph ` J ) ) <-> ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( ( f ` 0 ) = Y /\ ( f ` 1 ) = Y ) /\ F = [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ) )
22	20, 21	syl6bb 261	. . . 4 |- ( ph -> ( ( f e. U. B /\ F = [ f ] ( ~=ph ` J ) ) <-> ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( ( f ` 0 ) = Y /\ ( f ` 1 ) = Y ) /\ F = [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ) ) )
23	22	rexbidv2 2969	. . 3 |- ( ph -> ( E. f e. U. B F = [ f ] ( ~=ph ` J ) <-> E. f e. ( II Cn J ) ( ( ( f ` 0 ) = Y /\ ( f ` 1 ) = Y ) /\ F = [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ) )
24	16, 23	syl5bb 257	. 2 |- ( ph -> ( F e. ( U. B /. ( ~=ph ` J ) ) <-> E. f e. ( II Cn J ) ( ( ( f ` 0 ) = Y /\ ( f ` 1 ) = Y ) /\ F = [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ) )
25	7, 24	bitrd 253	1 |- ( ph -> ( F e. B <-> E. f e. ( II Cn J ) ( ( ( f ` 0 ) = Y /\ ( f ` 1 ) = Y ) /\ F = [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   E.wrex 2815   _Vcvv 3113   U.cuni 4245   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   [cec 7306   /.cqs 7307   0cc0 9488   1c1 9489   Basecbs 14483  TopOnctopon 19159   Cn ccn 19488   IIcii 21111   ~=ph cphtpc 21201   pi1 cpi1 21235

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-mulf 9568

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-ec 7310  df-qs 7314  df-map 7419  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12071  df-exp 12130  df-hash 12368  df-cj 12889  df-re 12890  df-im 12891  df-sqrt 13025  df-abs 13026  df-struct 14485  df-ndx 14486  df-slot 14487  df-base 14488  df-sets 14489  df-ress 14490  df-plusg 14561  df-mulr 14562  df-starv 14563  df-sca 14564  df-vsca 14565  df-ip 14566  df-tset 14567  df-ple 14568  df-ds 14570  df-unif 14571  df-hom 14572  df-cco 14573  df-rest 14671  df-topn 14672  df-0g 14690  df-gsum 14691  df-topgen 14692  df-pt 14693  df-prds 14696  df-xrs 14750  df-qtop 14755  df-imas 14756  df-divs 14757  df-xps 14758  df-mre 14834  df-mrc 14835  df-acs 14837  df-mnd 15725  df-submnd 15775  df-mulg 15858  df-cntz 16147  df-cmn 16593  df-psmet 18179  df-xmet 18180  df-met 18181  df-bl 18182  df-mopn 18183  df-cnfld 18189  df-top 19163  df-bases 19165  df-topon 19166  df-topsp 19167  df-cld 19283  df-cn 19491  df-cnp 19492  df-tx 19795  df-hmeo 19988  df-xms 20555  df-ms 20556  df-tms 20557  df-ii 21113  df-htpy 21202  df-phtpy 21203  df-phtpc 21224  df-om1 21238  df-pi1 21240

This theorem is referenced by:  elpi1i  21278  sconpi1  28321