Theorem elpi1 21523

Description: The elements of the fundamental group. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
elpi1.g	|- G = ( J pi1 Y )
elpi1.b	|- B = ( Base ` G )
elpi1.1	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
elpi1.2	|- ( ph -> Y e. X )

Assertion

Ref	Expression
elpi1	|- ( ph -> ( F e. B <-> E. f e. ( II Cn J ) ( ( ( f ` 0 ) = Y /\ ( f ` 1 ) = Y ) /\ F = [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ) )

Distinct variable groups:   f, F   f, G   f, X   B, f   f, J   ph, f   f, Y

Proof of Theorem elpi1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpi1.g	. . . 4 |- G = ( J pi1 Y )
2		elpi1.1	. . . 4 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
3		elpi1.2	. . . 4 |- ( ph -> Y e. X )
4		elpi1.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
5	4	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> B = ( Base ` G ) )
6	1, 2, 3, 5	pi1bas2 21519	. . 3 |- ( ph -> B = ( U. B /. ( ~=ph ` J ) ) )
7	6	eleq2d 2513	. 2 |- ( ph -> ( F e. B <-> F e. ( U. B /. ( ~=ph ` J ) ) ) )
8		elex 3104	. . . 4 |- ( F e. ( U. B /. ( ~=ph ` J ) ) -> F e. _V )
9		id 22	. . . . . 6 |- ( F = [ f ] ( ~=ph ` J ) -> F = [ f ] ( ~=ph ` J ) )
10		fvex 5866	. . . . . . 7 |- ( ~=ph ` J ) e. _V
11		ecexg 7317	. . . . . . 7 |- ( ( ~=ph ` J ) e. _V -> [ f ] ( ~=ph ` J ) e. _V )
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 |- [ f ] ( ~=ph ` J ) e. _V
13	9, 12	syl6eqel 2539	. . . . 5 |- ( F = [ f ] ( ~=ph ` J ) -> F e. _V )
14	13	rexlimivw 2932	. . . 4 |- ( E. f e. U. B F = [ f ] ( ~=ph ` J ) -> F e. _V )
15		elqsg 7365	. . . 4 |- ( F e. _V -> ( F e. ( U. B /. ( ~=ph ` J ) ) <-> E. f e. U. B F = [ f ] ( ~=ph ` J ) ) )
16	8, 14, 15	pm5.21nii 353	. . 3 |- ( F e. ( U. B /. ( ~=ph ` J ) ) <-> E. f e. U. B F = [ f ] ( ~=ph ` J ) )
17	1, 2, 3, 5	pi1eluni 21520	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( f e. U. B <-> ( f e. ( II Cn J ) /\ ( f ` 0 ) = Y /\ ( f ` 1 ) = Y ) ) )
18		3anass 978	. . . . . . 7 |- ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( f ` 0 ) = Y /\ ( f ` 1 ) = Y ) <-> ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = Y /\ ( f ` 1 ) = Y ) ) )
19	17, 18	syl6bb 261	. . . . . 6 |- ( ph -> ( f e. U. B <-> ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = Y /\ ( f ` 1 ) = Y ) ) ) )
20	19	anbi1d 704	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( f e. U. B /\ F = [ f ] ( ~=ph ` J ) ) <-> ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = Y /\ ( f ` 1 ) = Y ) ) /\ F = [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ) )
21		anass 649	. . . . 5 |- ( ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = Y /\ ( f ` 1 ) = Y ) ) /\ F = [ f ] ( ~=ph ` J ) ) <-> ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( ( f ` 0 ) = Y /\ ( f ` 1 ) = Y ) /\ F = [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ) )
22	20, 21	syl6bb 261	. . . 4 |- ( ph -> ( ( f e. U. B /\ F = [ f ] ( ~=ph ` J ) ) <-> ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( ( f ` 0 ) = Y /\ ( f ` 1 ) = Y ) /\ F = [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ) ) )
23	22	rexbidv2 2950	. . 3 |- ( ph -> ( E. f e. U. B F = [ f ] ( ~=ph ` J ) <-> E. f e. ( II Cn J ) ( ( ( f ` 0 ) = Y /\ ( f ` 1 ) = Y ) /\ F = [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ) )
24	16, 23	syl5bb 257	. 2 |- ( ph -> ( F e. ( U. B /. ( ~=ph ` J ) ) <-> E. f e. ( II Cn J ) ( ( ( f ` 0 ) = Y /\ ( f ` 1 ) = Y ) /\ F = [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ) )
25	7, 24	bitrd 253	1 |- ( ph -> ( F e. B <-> E. f e. ( II Cn J ) ( ( ( f ` 0 ) = Y /\ ( f ` 1 ) = Y ) /\ F = [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 974   = wceq 1383   e. wcel 1804   E.wrex 2794   _Vcvv 3095   U.cuni 4234   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   [cec 7311   /.cqs 7312   0cc0 9495   1c1 9496   Basecbs 14614  TopOnctopon 19373   Cn ccn 19703   IIcii 21357   ~=ph cphtpc 21447   pi1 cpi1 21481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-mulf 9575

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-ec 7315  df-qs 7319  df-map 7424  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-fi 7873  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10987  df-uz 11093  df-q 11194  df-rp 11232  df-xneg 11329  df-xadd 11330  df-xmul 11331  df-ioo 11544  df-icc 11547  df-fz 11684  df-fzo 11807  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-cj 12914  df-re 12915  df-im 12916  df-sqrt 13050  df-abs 13051  df-struct 14616  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-ress 14621  df-plusg 14692  df-mulr 14693  df-starv 14694  df-sca 14695  df-vsca 14696  df-ip 14697  df-tset 14698  df-ple 14699  df-ds 14701  df-unif 14702  df-hom 14703  df-cco 14704  df-rest 14802  df-topn 14803  df-0g 14821  df-gsum 14822  df-topgen 14823  df-pt 14824  df-prds 14827  df-xrs 14881  df-qtop 14886  df-imas 14887  df-qus 14888  df-xps 14889  df-mre 14965  df-mrc 14966  df-acs 14968  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-submnd 15946  df-mulg 16039  df-cntz 16334  df-cmn 16779  df-psmet 18390  df-xmet 18391  df-met 18392  df-bl 18393  df-mopn 18394  df-cnfld 18400  df-top 19377  df-bases 19379  df-topon 19380  df-topsp 19381  df-cld 19498  df-cn 19706  df-cnp 19707  df-tx 20041  df-hmeo 20234  df-xms 20801  df-ms 20802  df-tms 20803  df-ii 21359  df-htpy 21448  df-phtpy 21449  df-phtpc 21470  df-om1 21484  df-pi1 21486

This theorem is referenced by:  elpi1i  21524  sconpi1  28662