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Theorem elpaddn0 33753
Description: Member of projective subspace sum of nonempty sets. (Contributed by NM, 3-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
paddfval.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
paddfval.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
paddfval.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
paddfval.p  |-  .+  =  ( +P `  K
)
Assertion
Ref Expression
elpaddn0  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  =/=  (/)  /\  Y  =/=  (/) ) )  -> 
( S  e.  ( X  .+  Y )  <-> 
( S  e.  A  /\  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) ) ) )
Distinct variable groups:    r, q, K    X, q    Y, q, r    S, q, r    A, q, r    .\/ , q, r    .<_ , q, r    X, r
Allowed substitution hints:    .+ ( r, q)

Proof of Theorem elpaddn0
StepHypRef Expression
1 paddfval.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
2 paddfval.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
3 paddfval.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
4 paddfval.p . . . 4  |-  .+  =  ( +P `  K
)
51, 2, 3, 4elpadd 33752 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( S  e.  ( X  .+  Y )  <->  ( ( S  e.  X  \/  S  e.  Y )  \/  ( S  e.  A  /\  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) ) ) ) )
65adantr 465 . 2  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  =/=  (/)  /\  Y  =/=  (/) ) )  -> 
( S  e.  ( X  .+  Y )  <-> 
( ( S  e.  X  \/  S  e.  Y )  \/  ( S  e.  A  /\  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r
) ) ) ) )
7 simpl2 992 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  =/=  (/)  /\  Y  =/=  (/) ) )  ->  X  C_  A )
87sseld 3456 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  =/=  (/)  /\  Y  =/=  (/) ) )  -> 
( S  e.  X  ->  S  e.  A ) )
9 simpll1 1027 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  S  e.  X
)  /\  r  e.  Y )  ->  K  e.  Lat )
10 ssel2 3452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( X  C_  A  /\  S  e.  X )  ->  S  e.  A )
11103ad2antl2 1151 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  S  e.  X )  ->  S  e.  A )
1211adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  S  e.  X
)  /\  r  e.  Y )  ->  S  e.  A )
13 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
1413, 3atbase 33243 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S  e.  A  ->  S  e.  ( Base `  K
) )
1512, 14syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  S  e.  X
)  /\  r  e.  Y )  ->  S  e.  ( Base `  K
) )
16 simpl3 993 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  S  e.  X )  ->  Y  C_  A )
1716sselda 3457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  S  e.  X
)  /\  r  e.  Y )  ->  r  e.  A )
1813, 3atbase 33243 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  e.  A  ->  r  e.  ( Base `  K
) )
1917, 18syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  S  e.  X
)  /\  r  e.  Y )  ->  r  e.  ( Base `  K
) )
2013, 1, 2latlej1 15341 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  S  e.  ( Base `  K )  /\  r  e.  ( Base `  K
) )  ->  S  .<_  ( S  .\/  r
) )
219, 15, 19, 20syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  S  e.  X
)  /\  r  e.  Y )  ->  S  .<_  ( S  .\/  r
) )
2221reximdva0 3749 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  S  e.  X
)  /\  Y  =/=  (/) )  ->  E. r  e.  Y  S  .<_  ( S  .\/  r ) )
2322exp31 604 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( S  e.  X  ->  ( Y  =/=  (/)  ->  E. r  e.  Y  S  .<_  ( S  .\/  r ) ) ) )
2423com23 78 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( Y  =/=  (/)  ->  ( S  e.  X  ->  E. r  e.  Y  S  .<_  ( S  .\/  r ) ) ) )
2524imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  Y  =/=  (/) )  ->  ( S  e.  X  ->  E. r  e.  Y  S  .<_  ( S  .\/  r
) ) )
2625ancld 553 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  Y  =/=  (/) )  ->  ( S  e.  X  ->  ( S  e.  X  /\  E. r  e.  Y  S  .<_  ( S  .\/  r
) ) ) )
27 oveq1 6200 . . . . . . . . . 10  |-  ( q  =  S  ->  (
q  .\/  r )  =  ( S  .\/  r ) )
2827breq2d 4405 . . . . . . . . 9  |-  ( q  =  S  ->  ( S  .<_  ( q  .\/  r )  <->  S  .<_  ( S  .\/  r ) ) )
2928rexbidv 2855 . . . . . . . 8  |-  ( q  =  S  ->  ( E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r )  <->  E. r  e.  Y  S  .<_  ( S  .\/  r ) ) )
3029rspcev 3172 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  X  /\  E. r  e.  Y  S  .<_  ( S  .\/  r
) )  ->  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) )
3126, 30syl6 33 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  Y  =/=  (/) )  ->  ( S  e.  X  ->  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r
) ) )
3231adantrl 715 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  =/=  (/)  /\  Y  =/=  (/) ) )  -> 
( S  e.  X  ->  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) ) )
338, 32jcad 533 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  =/=  (/)  /\  Y  =/=  (/) ) )  -> 
( S  e.  X  ->  ( S  e.  A  /\  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) ) ) )
34 simpl3 993 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  =/=  (/)  /\  Y  =/=  (/) ) )  ->  Y  C_  A )
3534sseld 3456 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  =/=  (/)  /\  Y  =/=  (/) ) )  -> 
( S  e.  Y  ->  S  e.  A ) )
36 simpll1 1027 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  q  e.  X
)  /\  S  e.  Y )  ->  K  e.  Lat )
37 ssel2 3452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( X  C_  A  /\  q  e.  X )  ->  q  e.  A )
38373ad2antl2 1151 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  q  e.  X )  ->  q  e.  A )
3938adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  q  e.  X
)  /\  S  e.  Y )  ->  q  e.  A )
4013, 3atbase 33243 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( q  e.  A  ->  q  e.  ( Base `  K
) )
4139, 40syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  q  e.  X
)  /\  S  e.  Y )  ->  q  e.  ( Base `  K
) )
42 simpl3 993 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  q  e.  X )  ->  Y  C_  A )
4342sselda 3457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  q  e.  X
)  /\  S  e.  Y )  ->  S  e.  A )
4443, 14syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  q  e.  X
)  /\  S  e.  Y )  ->  S  e.  ( Base `  K
) )
4513, 1, 2latlej2 15342 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  q  e.  ( Base `  K )  /\  S  e.  ( Base `  K
) )  ->  S  .<_  ( q  .\/  S
) )
4636, 41, 44, 45syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  q  e.  X
)  /\  S  e.  Y )  ->  S  .<_  ( q  .\/  S
) )
4746ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  q  e.  X )  ->  ( S  e.  Y  ->  S  .<_  ( q  .\/  S ) ) )
4847ancld 553 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  q  e.  X )  ->  ( S  e.  Y  ->  ( S  e.  Y  /\  S  .<_  ( q 
.\/  S ) ) ) )
49 oveq2 6201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  S  ->  (
q  .\/  r )  =  ( q  .\/  S ) )
5049breq2d 4405 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  S  ->  ( S  .<_  ( q  .\/  r )  <->  S  .<_  ( q  .\/  S ) ) )
5150rspcev 3172 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e.  Y  /\  S  .<_  ( q  .\/  S ) )  ->  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) )
5248, 51syl6 33 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  q  e.  X )  ->  ( S  e.  Y  ->  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) ) )
5352impancom 440 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  S  e.  Y )  ->  ( q  e.  X  ->  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) ) )
5453ancld 553 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  S  e.  Y )  ->  ( q  e.  X  ->  ( q  e.  X  /\  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) ) ) )
5554eximdv 1677 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  S  e.  Y )  ->  ( E. q  q  e.  X  ->  E. q
( q  e.  X  /\  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) ) ) )
56 n0 3747 . . . . . . . 8  |-  ( X  =/=  (/)  <->  E. q  q  e.  X )
57 df-rex 2801 . . . . . . . 8  |-  ( E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r
)  <->  E. q ( q  e.  X  /\  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r
) ) )
5855, 56, 573imtr4g 270 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  S  e.  Y )  ->  ( X  =/=  (/)  ->  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) ) )
5958impancom 440 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  X  =/=  (/) )  ->  ( S  e.  Y  ->  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r
) ) )
6059adantrr 716 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  =/=  (/)  /\  Y  =/=  (/) ) )  -> 
( S  e.  Y  ->  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) ) )
6135, 60jcad 533 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  =/=  (/)  /\  Y  =/=  (/) ) )  -> 
( S  e.  Y  ->  ( S  e.  A  /\  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) ) ) )
6233, 61jaod 380 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  =/=  (/)  /\  Y  =/=  (/) ) )  -> 
( ( S  e.  X  \/  S  e.  Y )  ->  ( S  e.  A  /\  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r
) ) ) )
63 pm4.72 871 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  X  \/  S  e.  Y
)  ->  ( S  e.  A  /\  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) ) )  <->  ( ( S  e.  A  /\  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r
) )  <->  ( ( S  e.  X  \/  S  e.  Y )  \/  ( S  e.  A  /\  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) ) ) ) )
6462, 63sylib 196 . 2  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  =/=  (/)  /\  Y  =/=  (/) ) )  -> 
( ( S  e.  A  /\  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) )  <->  ( ( S  e.  X  \/  S  e.  Y )  \/  ( S  e.  A  /\  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r
) ) ) ) )
656, 64bitr4d 256 1  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  =/=  (/)  /\  Y  =/=  (/) ) )  -> 
( S  e.  ( X  .+  Y )  <-> 
( S  e.  A  /\  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370   E.wex 1587    e. wcel 1758    =/= wne 2644   E.wrex 2796    C_ wss 3429   (/)c0 3738   class class class wbr 4393   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   Basecbs 14285   lecple 14356   joincjn 15225   Latclat 15326   Atomscatm 33217   +Pcpadd 33748
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-id 4737  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-lub 15255  df-join 15257  df-lat 15327  df-ats 33221  df-padd 33749
This theorem is referenced by:  paddvaln0N  33754  elpaddri  33755  elpaddat  33757  paddasslem15  33787  paddasslem16  33788  pmodlem2  33800  pmapjat1  33806
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