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Theorem elpaddn0 34596
Description: Member of projective subspace sum of nonempty sets. (Contributed by NM, 3-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
paddfval.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
paddfval.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
paddfval.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
paddfval.p  |-  .+  =  ( +P `  K
)
Assertion
Ref Expression
elpaddn0  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  =/=  (/)  /\  Y  =/=  (/) ) )  -> 
( S  e.  ( X  .+  Y )  <-> 
( S  e.  A  /\  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) ) ) )
Distinct variable groups:    r, q, K    X, q    Y, q, r    S, q, r    A, q, r    .\/ , q, r    .<_ , q, r    X, r
Allowed substitution hints:    .+ ( r, q)

Proof of Theorem elpaddn0
StepHypRef Expression
1 paddfval.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
2 paddfval.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
3 paddfval.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
4 paddfval.p . . . 4  |-  .+  =  ( +P `  K
)
51, 2, 3, 4elpadd 34595 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( S  e.  ( X  .+  Y )  <->  ( ( S  e.  X  \/  S  e.  Y )  \/  ( S  e.  A  /\  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) ) ) ) )
65adantr 465 . 2  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  =/=  (/)  /\  Y  =/=  (/) ) )  -> 
( S  e.  ( X  .+  Y )  <-> 
( ( S  e.  X  \/  S  e.  Y )  \/  ( S  e.  A  /\  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r
) ) ) ) )
7 simpl2 1000 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  =/=  (/)  /\  Y  =/=  (/) ) )  ->  X  C_  A )
87sseld 3503 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  =/=  (/)  /\  Y  =/=  (/) ) )  -> 
( S  e.  X  ->  S  e.  A ) )
9 simpll1 1035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  S  e.  X
)  /\  r  e.  Y )  ->  K  e.  Lat )
10 ssel2 3499 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( X  C_  A  /\  S  e.  X )  ->  S  e.  A )
11103ad2antl2 1159 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  S  e.  X )  ->  S  e.  A )
1211adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  S  e.  X
)  /\  r  e.  Y )  ->  S  e.  A )
13 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
1413, 3atbase 34086 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S  e.  A  ->  S  e.  ( Base `  K
) )
1512, 14syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  S  e.  X
)  /\  r  e.  Y )  ->  S  e.  ( Base `  K
) )
16 simpl3 1001 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  S  e.  X )  ->  Y  C_  A )
1716sselda 3504 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  S  e.  X
)  /\  r  e.  Y )  ->  r  e.  A )
1813, 3atbase 34086 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  e.  A  ->  r  e.  ( Base `  K
) )
1917, 18syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  S  e.  X
)  /\  r  e.  Y )  ->  r  e.  ( Base `  K
) )
2013, 1, 2latlej1 15543 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  S  e.  ( Base `  K )  /\  r  e.  ( Base `  K
) )  ->  S  .<_  ( S  .\/  r
) )
219, 15, 19, 20syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  S  e.  X
)  /\  r  e.  Y )  ->  S  .<_  ( S  .\/  r
) )
2221reximdva0 3796 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  S  e.  X
)  /\  Y  =/=  (/) )  ->  E. r  e.  Y  S  .<_  ( S  .\/  r ) )
2322exp31 604 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( S  e.  X  ->  ( Y  =/=  (/)  ->  E. r  e.  Y  S  .<_  ( S  .\/  r ) ) ) )
2423com23 78 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( Y  =/=  (/)  ->  ( S  e.  X  ->  E. r  e.  Y  S  .<_  ( S  .\/  r ) ) ) )
2524imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  Y  =/=  (/) )  ->  ( S  e.  X  ->  E. r  e.  Y  S  .<_  ( S  .\/  r
) ) )
2625ancld 553 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  Y  =/=  (/) )  ->  ( S  e.  X  ->  ( S  e.  X  /\  E. r  e.  Y  S  .<_  ( S  .\/  r
) ) ) )
27 oveq1 6289 . . . . . . . . . 10  |-  ( q  =  S  ->  (
q  .\/  r )  =  ( S  .\/  r ) )
2827breq2d 4459 . . . . . . . . 9  |-  ( q  =  S  ->  ( S  .<_  ( q  .\/  r )  <->  S  .<_  ( S  .\/  r ) ) )
2928rexbidv 2973 . . . . . . . 8  |-  ( q  =  S  ->  ( E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r )  <->  E. r  e.  Y  S  .<_  ( S  .\/  r ) ) )
3029rspcev 3214 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  X  /\  E. r  e.  Y  S  .<_  ( S  .\/  r
) )  ->  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) )
3126, 30syl6 33 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  Y  =/=  (/) )  ->  ( S  e.  X  ->  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r
) ) )
3231adantrl 715 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  =/=  (/)  /\  Y  =/=  (/) ) )  -> 
( S  e.  X  ->  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) ) )
338, 32jcad 533 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  =/=  (/)  /\  Y  =/=  (/) ) )  -> 
( S  e.  X  ->  ( S  e.  A  /\  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) ) ) )
34 simpl3 1001 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  =/=  (/)  /\  Y  =/=  (/) ) )  ->  Y  C_  A )
3534sseld 3503 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  =/=  (/)  /\  Y  =/=  (/) ) )  -> 
( S  e.  Y  ->  S  e.  A ) )
36 simpll1 1035 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  q  e.  X
)  /\  S  e.  Y )  ->  K  e.  Lat )
37 ssel2 3499 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( X  C_  A  /\  q  e.  X )  ->  q  e.  A )
38373ad2antl2 1159 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  q  e.  X )  ->  q  e.  A )
3938adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  q  e.  X
)  /\  S  e.  Y )  ->  q  e.  A )
4013, 3atbase 34086 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( q  e.  A  ->  q  e.  ( Base `  K
) )
4139, 40syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  q  e.  X
)  /\  S  e.  Y )  ->  q  e.  ( Base `  K
) )
42 simpl3 1001 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  q  e.  X )  ->  Y  C_  A )
4342sselda 3504 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  q  e.  X
)  /\  S  e.  Y )  ->  S  e.  A )
4443, 14syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  q  e.  X
)  /\  S  e.  Y )  ->  S  e.  ( Base `  K
) )
4513, 1, 2latlej2 15544 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  q  e.  ( Base `  K )  /\  S  e.  ( Base `  K
) )  ->  S  .<_  ( q  .\/  S
) )
4636, 41, 44, 45syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  q  e.  X
)  /\  S  e.  Y )  ->  S  .<_  ( q  .\/  S
) )
4746ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  q  e.  X )  ->  ( S  e.  Y  ->  S  .<_  ( q  .\/  S ) ) )
4847ancld 553 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  q  e.  X )  ->  ( S  e.  Y  ->  ( S  e.  Y  /\  S  .<_  ( q 
.\/  S ) ) ) )
49 oveq2 6290 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  S  ->  (
q  .\/  r )  =  ( q  .\/  S ) )
5049breq2d 4459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  S  ->  ( S  .<_  ( q  .\/  r )  <->  S  .<_  ( q  .\/  S ) ) )
5150rspcev 3214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e.  Y  /\  S  .<_  ( q  .\/  S ) )  ->  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) )
5248, 51syl6 33 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  q  e.  X )  ->  ( S  e.  Y  ->  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) ) )
5352impancom 440 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  S  e.  Y )  ->  ( q  e.  X  ->  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) ) )
5453ancld 553 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  S  e.  Y )  ->  ( q  e.  X  ->  ( q  e.  X  /\  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) ) ) )
5554eximdv 1686 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  S  e.  Y )  ->  ( E. q  q  e.  X  ->  E. q
( q  e.  X  /\  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) ) ) )
56 n0 3794 . . . . . . . 8  |-  ( X  =/=  (/)  <->  E. q  q  e.  X )
57 df-rex 2820 . . . . . . . 8  |-  ( E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r
)  <->  E. q ( q  e.  X  /\  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r
) ) )
5855, 56, 573imtr4g 270 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  S  e.  Y )  ->  ( X  =/=  (/)  ->  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) ) )
5958impancom 440 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  X  =/=  (/) )  ->  ( S  e.  Y  ->  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r
) ) )
6059adantrr 716 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  =/=  (/)  /\  Y  =/=  (/) ) )  -> 
( S  e.  Y  ->  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) ) )
6135, 60jcad 533 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  =/=  (/)  /\  Y  =/=  (/) ) )  -> 
( S  e.  Y  ->  ( S  e.  A  /\  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) ) ) )
6233, 61jaod 380 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  =/=  (/)  /\  Y  =/=  (/) ) )  -> 
( ( S  e.  X  \/  S  e.  Y )  ->  ( S  e.  A  /\  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r
) ) ) )
63 pm4.72 874 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  X  \/  S  e.  Y
)  ->  ( S  e.  A  /\  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) ) )  <->  ( ( S  e.  A  /\  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r
) )  <->  ( ( S  e.  X  \/  S  e.  Y )  \/  ( S  e.  A  /\  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) ) ) ) )
6462, 63sylib 196 . 2  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  =/=  (/)  /\  Y  =/=  (/) ) )  -> 
( ( S  e.  A  /\  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) )  <->  ( ( S  e.  X  \/  S  e.  Y )  \/  ( S  e.  A  /\  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r
) ) ) ) )
656, 64bitr4d 256 1  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  =/=  (/)  /\  Y  =/=  (/) ) )  -> 
( S  e.  ( X  .+  Y )  <-> 
( S  e.  A  /\  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  S  .<_  ( q  .\/  r ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767    =/= wne 2662   E.wrex 2815    C_ wss 3476   (/)c0 3785   class class class wbr 4447   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   Basecbs 14486   lecple 14558   joincjn 15427   Latclat 15528   Atomscatm 34060   +Pcpadd 34591
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-lub 15457  df-join 15459  df-lat 15529  df-ats 34064  df-padd 34592
This theorem is referenced by:  paddvaln0N  34597  elpaddri  34598  elpaddat  34600  paddasslem15  34630  paddasslem16  34631  pmodlem2  34643  pmapjat1  34649
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