MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elovmptnn0wrd Structured version   Unicode version

Theorem elovmptnn0wrd 12564
Description: Implications for the value of an operation defined by the maps-to notation with a function of nonnegative integers into a class abstraction of words as a result having an element. (Contributed by AV, 16-Jul-2018.) (Revised by AV, 16-May-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
elovmptnn0wrd.o  |-  O  =  ( v  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( n  e.  NN0  |->  { z  e. Word  v  |  ph } ) )
Assertion
Ref Expression
elovmptnn0wrd  |-  ( Z  e.  ( ( V O Y ) `  N )  ->  (
( V  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( N  e.  NN0  /\  Z  e. Word  V ) ) )
Distinct variable groups:    n, V, v, y, z    n, N, z    n, Y, v, y, z    z, Z
Allowed substitution hints:    ph( y, z, v, n)    N( y,
v)    O( y, z, v, n)    Z( y, v, n)

Proof of Theorem elovmptnn0wrd
StepHypRef Expression
1 elovmptnn0wrd.o . . . . 5  |-  O  =  ( v  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( n  e.  NN0  |->  { z  e. Word  v  |  ph } ) )
21elovmpt3imp 6528 . . . 4  |-  ( Z  e.  ( ( V O Y ) `  N )  ->  ( V  e.  _V  /\  Y  e.  _V ) )
3 wrdexg 12538 . . . . 5  |-  ( V  e.  _V  -> Word  V  e. 
_V )
43adantr 465 . . . 4  |-  ( ( V  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  -> Word  V  e.  _V )
52, 4syl 16 . . 3  |-  ( Z  e.  ( ( V O Y ) `  N )  -> Word  V  e. 
_V )
6 nn0ex 10813 . . 3  |-  NN0  e.  _V
75, 6jctil 537 . 2  |-  ( Z  e.  ( ( V O Y ) `  N )  ->  ( NN0  e.  _V  /\ Word  V  e. 
_V ) )
8 eqidd 2468 . . 3  |-  ( ( v  =  V  /\  y  =  Y )  ->  NN0  =  NN0 )
9 wrdeq 12545 . . . 4  |-  ( v  =  V  -> Word  v  = Word 
V )
109adantr 465 . . 3  |-  ( ( v  =  V  /\  y  =  Y )  -> Word  v  = Word  V )
111, 8, 10elovmpt3rab1 6531 . 2  |-  ( ( NN0  e.  _V  /\ Word  V  e.  _V )  -> 
( Z  e.  ( ( V O Y ) `  N )  ->  ( ( V  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( N  e.  NN0  /\  Z  e. Word  V ) ) ) )
127, 11mpcom 36 1  |-  ( Z  e.  ( ( V O Y ) `  N )  ->  (
( V  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( N  e.  NN0  /\  Z  e. Word  V ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   {crab 2821   _Vcvv 3118    |-> cmpt 4511   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    |-> cmpt2 6297   NN0cn0 10807  Word cword 12515
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-word 12523
This theorem is referenced by:  wwlknprop  24509
  Copyright terms: Public domain W3C validator