MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elovmptnn0wrd Structured version   Unicode version

Theorem elovmptnn0wrd 12558
Description: Implications for the value of an operation defined by the maps-to notation with a function of nonnegative integers into a class abstraction of words as a result having an element. (Contributed by AV, 16-Jul-2018.) (Revised by AV, 16-May-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
elovmptnn0wrd.o  |-  O  =  ( v  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( n  e.  NN0  |->  { z  e. Word  v  |  ph } ) )
Assertion
Ref Expression
elovmptnn0wrd  |-  ( Z  e.  ( ( V O Y ) `  N )  ->  (
( V  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( N  e.  NN0  /\  Z  e. Word  V ) ) )
Distinct variable groups:    n, V, v, y, z    n, N, z    n, Y, v, y, z    z, Z
Allowed substitution hints:    ph( y, z, v, n)    N( y,
v)    O( y, z, v, n)    Z( y, v, n)

Proof of Theorem elovmptnn0wrd
StepHypRef Expression
1 elovmptnn0wrd.o . . . . 5  |-  O  =  ( v  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( n  e.  NN0  |->  { z  e. Word  v  |  ph } ) )
21elovmpt3imp 6514 . . . 4  |-  ( Z  e.  ( ( V O Y ) `  N )  ->  ( V  e.  _V  /\  Y  e.  _V ) )
3 wrdexg 12531 . . . . 5  |-  ( V  e.  _V  -> Word  V  e. 
_V )
43adantr 465 . . . 4  |-  ( ( V  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  -> Word  V  e.  _V )
52, 4syl 16 . . 3  |-  ( Z  e.  ( ( V O Y ) `  N )  -> Word  V  e. 
_V )
6 nn0ex 10802 . . 3  |-  NN0  e.  _V
75, 6jctil 537 . 2  |-  ( Z  e.  ( ( V O Y ) `  N )  ->  ( NN0  e.  _V  /\ Word  V  e. 
_V ) )
8 eqidd 2442 . . 3  |-  ( ( v  =  V  /\  y  =  Y )  ->  NN0  =  NN0 )
9 wrdeq 12538 . . . 4  |-  ( v  =  V  -> Word  v  = Word 
V )
109adantr 465 . . 3  |-  ( ( v  =  V  /\  y  =  Y )  -> Word  v  = Word  V )
111, 8, 10elovmpt3rab1 6517 . 2  |-  ( ( NN0  e.  _V  /\ Word  V  e.  _V )  -> 
( Z  e.  ( ( V O Y ) `  N )  ->  ( ( V  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( N  e.  NN0  /\  Z  e. Word  V ) ) ) )
127, 11mpcom 36 1  |-  ( Z  e.  ( ( V O Y ) `  N )  ->  (
( V  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( N  e.  NN0  /\  Z  e. Word  V ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1381    e. wcel 1802   {crab 2795   _Vcvv 3093    |-> cmpt 4491   ` cfv 5574  (class class class)co 6277    |-> cmpt2 6279   NN0cn0 10796  Word cword 12508
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-oadd 7132  df-er 7309  df-map 7420  df-pm 7421  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10538  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11086  df-fz 11677  df-fzo 11799  df-word 12516
This theorem is referenced by:  wwlknprop  24551
  Copyright terms: Public domain W3C validator