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Theorem elovmpt3rab1 30106
Description: Implications for the value of an operation defined by the maps-to notation with a function into a class abstraction as a result having an element. The domain of the function and the base set of the class abstraction may depend on the operands, using implicit substitution. (Contributed by AV, 16-Jul-2018.) (Revised by AV, 16-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ovmpt3rab1.o  |-  O  =  ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( z  e.  M  |->  { a  e.  N  |  ph } ) )
ovmpt3rab1.m  |-  ( ( x  =  X  /\  y  =  Y )  ->  M  =  K )
ovmpt3rab1.n  |-  ( ( x  =  X  /\  y  =  Y )  ->  N  =  L )
Assertion
Ref Expression
elovmpt3rab1  |-  ( ( K  e.  U  /\  L  e.  T )  ->  ( A  e.  ( ( X O Y ) `  Z )  ->  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( Z  e.  K  /\  A  e.  L )
) ) )
Distinct variable groups:    x, K, y, z    L, a, x, y    N, a    x, U, y    X, a, x, y, z    Y, a, x, y, z    z, L    z, T    z, U    A, a    Z, a, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, a)    A( x, y, z)    T( x, y, a)    U( a)    K( a)    M( x, y, z, a)    N( x, y, z)    O( x, y, z, a)    Z( x, y)

Proof of Theorem elovmpt3rab1
StepHypRef Expression
1 ovmpt3rab1.o . . . 4  |-  O  =  ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( z  e.  M  |->  { a  e.  N  |  ph } ) )
21elovmpt3imp 30103 . . 3  |-  ( A  e.  ( ( X O Y ) `  Z )  ->  ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V ) )
3 simprl 755 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ( X O Y ) `
 Z )  /\  ( ( X  e. 
_V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T )
) )  ->  ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V ) )
4 elfvdm 5709 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ( X O Y ) `  Z )  ->  Z  e.  dom  ( X O Y ) )
5 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  ->  X  e.  _V )
65adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T
) )  ->  X  e.  _V )
7 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T
) )  ->  Y  e.  _V )
8 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T
) )  ->  K  e.  U )
9 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T
) )  ->  L  e.  T )
10 ovmpt3rab1.m . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  X  /\  y  =  Y )  ->  M  =  K )
11 ovmpt3rab1.n . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  X  /\  y  =  Y )  ->  N  =  L )
121, 10, 11ovmpt3rabdm 30105 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V  /\  K  e.  U )  /\  L  e.  T
)  ->  dom  ( X O Y )  =  K )
136, 7, 8, 9, 12syl31anc 1221 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T
) )  ->  dom  ( X O Y )  =  K )
1413eleq2d 2504 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T
) )  ->  ( Z  e.  dom  ( X O Y )  <->  Z  e.  K ) )
1514biimpcd 224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Z  e.  dom  ( X O Y )  -> 
( ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T )
)  ->  Z  e.  K ) )
1615adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Z  e.  dom  ( X O Y )  /\  A  e.  ( ( X O Y ) `  Z ) )  -> 
( ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T )
)  ->  Z  e.  K ) )
1716imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Z  e.  dom  ( X O Y )  /\  A  e.  ( ( X O Y ) `  Z ) )  /\  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T
) ) )  ->  Z  e.  K )
18 simpl 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Z  e.  K  /\  ( ( Z  e. 
dom  ( X O Y )  /\  A  e.  ( ( X O Y ) `  Z
) )  /\  (
( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T
) ) ) )  ->  Z  e.  K
)
19 simplr 754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Z  e.  dom  ( X O Y )  /\  A  e.  ( ( X O Y ) `  Z ) )  /\  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T
) ) )  ->  A  e.  ( ( X O Y ) `  Z ) )
2019adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Z  e.  K  /\  ( ( Z  e. 
dom  ( X O Y )  /\  A  e.  ( ( X O Y ) `  Z
) )  /\  (
( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T
) ) ) )  ->  A  e.  ( ( X O Y ) `  Z ) )
21 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  U  /\  L  e.  T )  ->  K  e.  U )
2221anim2i 569 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T
) )  ->  (
( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  K  e.  U
) )
23 df-3an 967 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V  /\  K  e.  U )  <->  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  K  e.  U ) )
2422, 23sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T
) )  ->  ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V  /\  K  e.  U ) )
2524ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Z  e.  K  /\  ( ( Z  e. 
dom  ( X O Y )  /\  A  e.  ( ( X O Y ) `  Z
) )  /\  (
( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T
) ) ) )  ->  ( X  e. 
_V  /\  Y  e.  _V  /\  K  e.  U
) )
26 sbceq1a 3190 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  Y  ->  ( ph 
<-> 
[. Y  /  y ]. ph ) )
27 sbceq1a 3190 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  X  ->  ( [. Y  /  y ]. ph  <->  [. X  /  x ]. [. Y  /  y ]. ph ) )
2826, 27sylan9bbr 700 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  X  /\  y  =  Y )  ->  ( ph  <->  [. X  /  x ]. [. Y  / 
y ]. ph ) )
29 nfsbc1v 3199 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x [. X  /  x ]. [. Y  /  y ]. ph
30 nfcv 2573 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ y X
31 nfsbc1v 3199 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ y
[. Y  /  y ]. ph
3230, 31nfsbc 3201 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ y
[. X  /  x ]. [. Y  /  y ]. ph
331, 10, 11, 28, 29, 32ovmpt3rab1 30104 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V  /\  K  e.  U )  ->  ( X O Y )  =  ( z  e.  K  |->  { a  e.  L  |  [. X  /  x ]. [. Y  /  y ]. ph } ) )
3433fveq1d 5686 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V  /\  K  e.  U )  ->  (
( X O Y ) `  Z )  =  ( ( z  e.  K  |->  { a  e.  L  |  [. X  /  x ]. [. Y  /  y ]. ph }
) `  Z )
)
3525, 34syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Z  e.  K  /\  ( ( Z  e. 
dom  ( X O Y )  /\  A  e.  ( ( X O Y ) `  Z
) )  /\  (
( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T
) ) ) )  ->  ( ( X O Y ) `  Z )  =  ( ( z  e.  K  |->  { a  e.  L  |  [. X  /  x ]. [. Y  /  y ]. ph } ) `  Z ) )
36 rabexg 4435 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( L  e.  T  ->  { a  e.  L  |  [. Z  /  z ]. [. X  /  x ]. [. Y  /  y ]. ph }  e.  _V )
3736adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  U  /\  L  e.  T )  ->  { a  e.  L  |  [. Z  /  z ]. [. X  /  x ]. [. Y  /  y ]. ph }  e.  _V )
3837ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Z  e.  dom  ( X O Y )  /\  A  e.  ( ( X O Y ) `  Z ) )  /\  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T
) ) )  ->  { a  e.  L  |  [. Z  /  z ]. [. X  /  x ]. [. Y  /  y ]. ph }  e.  _V )
39 nfcv 2573 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ z Z
40 nfsbc1v 3199 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ z
[. Z  /  z ]. [. X  /  x ]. [. Y  /  y ]. ph
41 nfcv 2573 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ z L
4240, 41nfrab 2896 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ z { a  e.  L  |  [. Z  /  z ]. [. X  /  x ]. [. Y  /  y ]. ph }
43 sbceq1a 3190 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  Z  ->  ( [. X  /  x ]. [. Y  /  y ]. ph  <->  [. Z  /  z ]. [. X  /  x ]. [. Y  /  y ]. ph ) )
4443rabbidv 2958 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  Z  ->  { a  e.  L  |  [. X  /  x ]. [. Y  /  y ]. ph }  =  { a  e.  L  |  [. Z  /  z ]. [. X  /  x ]. [. Y  /  y ]. ph } )
45 eqid 2437 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  K  |->  { a  e.  L  |  [. X  /  x ]. [. Y  /  y ]. ph }
)  =  ( z  e.  K  |->  { a  e.  L  |  [. X  /  x ]. [. Y  /  y ]. ph }
)
4639, 42, 44, 45fvmptf 5783 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Z  e.  K  /\  { a  e.  L  |  [. Z  /  z ]. [. X  /  x ]. [. Y  /  y ]. ph }  e.  _V )  ->  ( ( z  e.  K  |->  { a  e.  L  |  [. X  /  x ]. [. Y  /  y ]. ph }
) `  Z )  =  { a  e.  L  |  [. Z  /  z ]. [. X  /  x ]. [. Y  /  y ]. ph } )
4738, 46sylan2 474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Z  e.  K  /\  ( ( Z  e. 
dom  ( X O Y )  /\  A  e.  ( ( X O Y ) `  Z
) )  /\  (
( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T
) ) ) )  ->  ( ( z  e.  K  |->  { a  e.  L  |  [. X  /  x ]. [. Y  /  y ]. ph }
) `  Z )  =  { a  e.  L  |  [. Z  /  z ]. [. X  /  x ]. [. Y  /  y ]. ph } )
4835, 47eqtr2d 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Z  e.  K  /\  ( ( Z  e. 
dom  ( X O Y )  /\  A  e.  ( ( X O Y ) `  Z
) )  /\  (
( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T
) ) ) )  ->  { a  e.  L  |  [. Z  /  z ]. [. X  /  x ]. [. Y  /  y ]. ph }  =  ( ( X O Y ) `  Z ) )
4920, 48eleqtrrd 2514 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Z  e.  K  /\  ( ( Z  e. 
dom  ( X O Y )  /\  A  e.  ( ( X O Y ) `  Z
) )  /\  (
( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T
) ) ) )  ->  A  e.  {
a  e.  L  |  [. Z  /  z ]. [. X  /  x ]. [. Y  /  y ]. ph } )
50 elrabi 3107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  { a  e.  L  |  [. Z  /  z ]. [. X  /  x ]. [. Y  /  y ]. ph }  ->  A  e.  L )
5149, 50syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Z  e.  K  /\  ( ( Z  e. 
dom  ( X O Y )  /\  A  e.  ( ( X O Y ) `  Z
) )  /\  (
( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T
) ) ) )  ->  A  e.  L
)
5218, 51jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Z  e.  K  /\  ( ( Z  e. 
dom  ( X O Y )  /\  A  e.  ( ( X O Y ) `  Z
) )  /\  (
( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T
) ) ) )  ->  ( Z  e.  K  /\  A  e.  L ) )
5317, 52mpancom 669 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Z  e.  dom  ( X O Y )  /\  A  e.  ( ( X O Y ) `  Z ) )  /\  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T
) ) )  -> 
( Z  e.  K  /\  A  e.  L
) )
5453exp31 604 . . . . . . 7  |-  ( Z  e.  dom  ( X O Y )  -> 
( A  e.  ( ( X O Y ) `  Z )  ->  ( ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T
) )  ->  ( Z  e.  K  /\  A  e.  L )
) ) )
554, 54mpcom 36 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ( X O Y ) `  Z )  ->  (
( ( X  e. 
_V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T )
)  ->  ( Z  e.  K  /\  A  e.  L ) ) )
5655imp 429 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ( X O Y ) `
 Z )  /\  ( ( X  e. 
_V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T )
) )  ->  ( Z  e.  K  /\  A  e.  L )
)
573, 56jca 532 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ( X O Y ) `
 Z )  /\  ( ( X  e. 
_V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T )
) )  ->  (
( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( Z  e.  K  /\  A  e.  L
) ) )
5857exp32 605 . . 3  |-  ( A  e.  ( ( X O Y ) `  Z )  ->  (
( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  ->  ( ( K  e.  U  /\  L  e.  T )  ->  (
( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( Z  e.  K  /\  A  e.  L
) ) ) ) )
592, 58mpd 15 . 2  |-  ( A  e.  ( ( X O Y ) `  Z )  ->  (
( K  e.  U  /\  L  e.  T
)  ->  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( Z  e.  K  /\  A  e.  L )
) ) )
6059com12 31 1  |-  ( ( K  e.  U  /\  L  e.  T )  ->  ( A  e.  ( ( X O Y ) `  Z )  ->  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( Z  e.  K  /\  A  e.  L )
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   {crab 2713   _Vcvv 2966   [.wsbc 3179    e. cmpt 4343   dom cdm 4832   ` cfv 5411  (class class class)co 6086    e. cmpt2 6088
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2418  ax-rep 4396  ax-sep 4406  ax-nul 4414  ax-pow 4463  ax-pr 4524
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rab 2718  df-v 2968  df-sbc 3180  df-csb 3282  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3631  df-if 3785  df-sn 3871  df-pr 3873  df-op 3877  df-uni 4085  df-iun 4166  df-br 4286  df-opab 4344  df-mpt 4345  df-id 4628  df-xp 4838  df-rel 4839  df-cnv 4840  df-co 4841  df-dm 4842  df-rn 4843  df-res 4844  df-ima 4845  df-iota 5374  df-fun 5413  df-fn 5414  df-f 5415  df-f1 5416  df-fo 5417  df-f1o 5418  df-fv 5419  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091
This theorem is referenced by:  elovmpt3rab  30107  elovmptnn0wrd  30200
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