MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elovmpt3rab1 Structured version   Unicode version

Theorem elovmpt3rab1 6517
Description: Implications for the value of an operation defined by the maps-to notation with a function into a class abstraction as a result having an element. The domain of the function and the base set of the class abstraction may depend on the operands, using implicit substitution. (Contributed by AV, 16-Jul-2018.) (Revised by AV, 16-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ovmpt3rab1.o  |-  O  =  ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( z  e.  M  |->  { a  e.  N  |  ph } ) )
ovmpt3rab1.m  |-  ( ( x  =  X  /\  y  =  Y )  ->  M  =  K )
ovmpt3rab1.n  |-  ( ( x  =  X  /\  y  =  Y )  ->  N  =  L )
Assertion
Ref Expression
elovmpt3rab1  |-  ( ( K  e.  U  /\  L  e.  T )  ->  ( A  e.  ( ( X O Y ) `  Z )  ->  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( Z  e.  K  /\  A  e.  L )
) ) )
Distinct variable groups:    x, K, y, z    L, a, x, y    N, a    x, U, y    X, a, x, y, z    Y, a, x, y, z    z, L    z, T    z, U    A, a    Z, a, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, a)    A( x, y, z)    T( x, y, a)    U( a)    K( a)    M( x, y, z, a)    N( x, y, z)    O( x, y, z, a)    Z( x, y)

Proof of Theorem elovmpt3rab1
StepHypRef Expression
1 ovmpt3rab1.o . . . 4  |-  O  =  ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( z  e.  M  |->  { a  e.  N  |  ph } ) )
21elovmpt3imp 6514 . . 3  |-  ( A  e.  ( ( X O Y ) `  Z )  ->  ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V ) )
3 simprl 756 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ( X O Y ) `
 Z )  /\  ( ( X  e. 
_V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T )
) )  ->  ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V ) )
4 elfvdm 5875 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ( X O Y ) `  Z )  ->  Z  e.  dom  ( X O Y ) )
5 simpl 455 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  ->  X  e.  _V )
65adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T
) )  ->  X  e.  _V )
7 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T
) )  ->  Y  e.  _V )
8 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T
) )  ->  K  e.  U )
9 simprr 758 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T
) )  ->  L  e.  T )
10 ovmpt3rab1.m . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  X  /\  y  =  Y )  ->  M  =  K )
11 ovmpt3rab1.n . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  X  /\  y  =  Y )  ->  N  =  L )
121, 10, 11ovmpt3rabdm 6516 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V  /\  K  e.  U )  /\  L  e.  T
)  ->  dom  ( X O Y )  =  K )
136, 7, 8, 9, 12syl31anc 1233 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T
) )  ->  dom  ( X O Y )  =  K )
1413eleq2d 2472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T
) )  ->  ( Z  e.  dom  ( X O Y )  <->  Z  e.  K ) )
1514biimpcd 224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Z  e.  dom  ( X O Y )  -> 
( ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T )
)  ->  Z  e.  K ) )
1615adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Z  e.  dom  ( X O Y )  /\  A  e.  ( ( X O Y ) `  Z ) )  -> 
( ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T )
)  ->  Z  e.  K ) )
1716imp 427 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Z  e.  dom  ( X O Y )  /\  A  e.  ( ( X O Y ) `  Z ) )  /\  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T
) ) )  ->  Z  e.  K )
18 simpl 455 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Z  e.  K  /\  ( ( Z  e. 
dom  ( X O Y )  /\  A  e.  ( ( X O Y ) `  Z
) )  /\  (
( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T
) ) ) )  ->  Z  e.  K
)
19 simplr 754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Z  e.  dom  ( X O Y )  /\  A  e.  ( ( X O Y ) `  Z ) )  /\  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T
) ) )  ->  A  e.  ( ( X O Y ) `  Z ) )
2019adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Z  e.  K  /\  ( ( Z  e. 
dom  ( X O Y )  /\  A  e.  ( ( X O Y ) `  Z
) )  /\  (
( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T
) ) ) )  ->  A  e.  ( ( X O Y ) `  Z ) )
21 simpl 455 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  U  /\  L  e.  T )  ->  K  e.  U )
2221anim2i 567 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T
) )  ->  (
( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  K  e.  U
) )
23 df-3an 976 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V  /\  K  e.  U )  <->  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  K  e.  U ) )
2422, 23sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T
) )  ->  ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V  /\  K  e.  U ) )
2524ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Z  e.  K  /\  ( ( Z  e. 
dom  ( X O Y )  /\  A  e.  ( ( X O Y ) `  Z
) )  /\  (
( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T
) ) ) )  ->  ( X  e. 
_V  /\  Y  e.  _V  /\  K  e.  U
) )
26 sbceq1a 3288 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  Y  ->  ( ph 
<-> 
[. Y  /  y ]. ph ) )
27 sbceq1a 3288 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  X  ->  ( [. Y  /  y ]. ph  <->  [. X  /  x ]. [. Y  /  y ]. ph ) )
2826, 27sylan9bbr 699 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  X  /\  y  =  Y )  ->  ( ph  <->  [. X  /  x ]. [. Y  / 
y ]. ph ) )
29 nfsbc1v 3297 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x [. X  /  x ]. [. Y  /  y ]. ph
30 nfcv 2564 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ y X
31 nfsbc1v 3297 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ y
[. Y  /  y ]. ph
3230, 31nfsbc 3299 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ y
[. X  /  x ]. [. Y  /  y ]. ph
331, 10, 11, 28, 29, 32ovmpt3rab1 6515 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V  /\  K  e.  U )  ->  ( X O Y )  =  ( z  e.  K  |->  { a  e.  L  |  [. X  /  x ]. [. Y  /  y ]. ph } ) )
3433fveq1d 5851 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V  /\  K  e.  U )  ->  (
( X O Y ) `  Z )  =  ( ( z  e.  K  |->  { a  e.  L  |  [. X  /  x ]. [. Y  /  y ]. ph }
) `  Z )
)
3525, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Z  e.  K  /\  ( ( Z  e. 
dom  ( X O Y )  /\  A  e.  ( ( X O Y ) `  Z
) )  /\  (
( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T
) ) ) )  ->  ( ( X O Y ) `  Z )  =  ( ( z  e.  K  |->  { a  e.  L  |  [. X  /  x ]. [. Y  /  y ]. ph } ) `  Z ) )
36 rabexg 4544 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( L  e.  T  ->  { a  e.  L  |  [. Z  /  z ]. [. X  /  x ]. [. Y  /  y ]. ph }  e.  _V )
3736adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  U  /\  L  e.  T )  ->  { a  e.  L  |  [. Z  /  z ]. [. X  /  x ]. [. Y  /  y ]. ph }  e.  _V )
3837ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Z  e.  dom  ( X O Y )  /\  A  e.  ( ( X O Y ) `  Z ) )  /\  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T
) ) )  ->  { a  e.  L  |  [. Z  /  z ]. [. X  /  x ]. [. Y  /  y ]. ph }  e.  _V )
39 nfcv 2564 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ z Z
40 nfsbc1v 3297 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ z
[. Z  /  z ]. [. X  /  x ]. [. Y  /  y ]. ph
41 nfcv 2564 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ z L
4240, 41nfrab 2989 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ z { a  e.  L  |  [. Z  /  z ]. [. X  /  x ]. [. Y  /  y ]. ph }
43 sbceq1a 3288 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  Z  ->  ( [. X  /  x ]. [. Y  /  y ]. ph  <->  [. Z  /  z ]. [. X  /  x ]. [. Y  /  y ]. ph ) )
4443rabbidv 3051 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  Z  ->  { a  e.  L  |  [. X  /  x ]. [. Y  /  y ]. ph }  =  { a  e.  L  |  [. Z  /  z ]. [. X  /  x ]. [. Y  /  y ]. ph } )
45 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  K  |->  { a  e.  L  |  [. X  /  x ]. [. Y  /  y ]. ph }
)  =  ( z  e.  K  |->  { a  e.  L  |  [. X  /  x ]. [. Y  /  y ]. ph }
)
4639, 42, 44, 45fvmptf 5950 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Z  e.  K  /\  { a  e.  L  |  [. Z  /  z ]. [. X  /  x ]. [. Y  /  y ]. ph }  e.  _V )  ->  ( ( z  e.  K  |->  { a  e.  L  |  [. X  /  x ]. [. Y  /  y ]. ph }
) `  Z )  =  { a  e.  L  |  [. Z  /  z ]. [. X  /  x ]. [. Y  /  y ]. ph } )
4738, 46sylan2 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Z  e.  K  /\  ( ( Z  e. 
dom  ( X O Y )  /\  A  e.  ( ( X O Y ) `  Z
) )  /\  (
( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T
) ) ) )  ->  ( ( z  e.  K  |->  { a  e.  L  |  [. X  /  x ]. [. Y  /  y ]. ph }
) `  Z )  =  { a  e.  L  |  [. Z  /  z ]. [. X  /  x ]. [. Y  /  y ]. ph } )
4835, 47eqtr2d 2444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Z  e.  K  /\  ( ( Z  e. 
dom  ( X O Y )  /\  A  e.  ( ( X O Y ) `  Z
) )  /\  (
( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T
) ) ) )  ->  { a  e.  L  |  [. Z  /  z ]. [. X  /  x ]. [. Y  /  y ]. ph }  =  ( ( X O Y ) `  Z ) )
4920, 48eleqtrrd 2493 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Z  e.  K  /\  ( ( Z  e. 
dom  ( X O Y )  /\  A  e.  ( ( X O Y ) `  Z
) )  /\  (
( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T
) ) ) )  ->  A  e.  {
a  e.  L  |  [. Z  /  z ]. [. X  /  x ]. [. Y  /  y ]. ph } )
50 elrabi 3204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  { a  e.  L  |  [. Z  /  z ]. [. X  /  x ]. [. Y  /  y ]. ph }  ->  A  e.  L )
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Z  e.  K  /\  ( ( Z  e. 
dom  ( X O Y )  /\  A  e.  ( ( X O Y ) `  Z
) )  /\  (
( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T
) ) ) )  ->  A  e.  L
)
5218, 51jca 530 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Z  e.  K  /\  ( ( Z  e. 
dom  ( X O Y )  /\  A  e.  ( ( X O Y ) `  Z
) )  /\  (
( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T
) ) ) )  ->  ( Z  e.  K  /\  A  e.  L ) )
5317, 52mpancom 667 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Z  e.  dom  ( X O Y )  /\  A  e.  ( ( X O Y ) `  Z ) )  /\  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T
) ) )  -> 
( Z  e.  K  /\  A  e.  L
) )
5453exp31 602 . . . . . . 7  |-  ( Z  e.  dom  ( X O Y )  -> 
( A  e.  ( ( X O Y ) `  Z )  ->  ( ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T
) )  ->  ( Z  e.  K  /\  A  e.  L )
) ) )
554, 54mpcom 34 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ( X O Y ) `  Z )  ->  (
( ( X  e. 
_V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T )
)  ->  ( Z  e.  K  /\  A  e.  L ) ) )
5655imp 427 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ( X O Y ) `
 Z )  /\  ( ( X  e. 
_V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T )
) )  ->  ( Z  e.  K  /\  A  e.  L )
)
573, 56jca 530 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ( X O Y ) `
 Z )  /\  ( ( X  e. 
_V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T )
) )  ->  (
( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( Z  e.  K  /\  A  e.  L
) ) )
5857exp32 603 . . 3  |-  ( A  e.  ( ( X O Y ) `  Z )  ->  (
( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  ->  ( ( K  e.  U  /\  L  e.  T )  ->  (
( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( Z  e.  K  /\  A  e.  L
) ) ) ) )
592, 58mpd 15 . 2  |-  ( A  e.  ( ( X O Y ) `  Z )  ->  (
( K  e.  U  /\  L  e.  T
)  ->  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( Z  e.  K  /\  A  e.  L )
) ) )
6059com12 29 1  |-  ( ( K  e.  U  /\  L  e.  T )  ->  ( A  e.  ( ( X O Y ) `  Z )  ->  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( Z  e.  K  /\  A  e.  L )
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   {crab 2758   _Vcvv 3059   [.wsbc 3277    |-> cmpt 4453   dom cdm 4823   ` cfv 5569  (class class class)co 6278    |-> cmpt2 6280
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283
This theorem is referenced by:  elovmpt3rab  6518  elovmptnn0wrd  12637
  Copyright terms: Public domain W3C validator