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Theorem elovmpt3rab1 6546
Description: Implications for the value of an operation defined by the maps-to notation with a function into a class abstraction as a result having an element. The domain of the function and the base set of the class abstraction may depend on the operands, using implicit substitution. (Contributed by AV, 16-Jul-2018.) (Revised by AV, 16-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ovmpt3rab1.o  |-  O  =  ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( z  e.  M  |->  { a  e.  N  |  ph } ) )
ovmpt3rab1.m  |-  ( ( x  =  X  /\  y  =  Y )  ->  M  =  K )
ovmpt3rab1.n  |-  ( ( x  =  X  /\  y  =  Y )  ->  N  =  L )
Assertion
Ref Expression
elovmpt3rab1  |-  ( ( K  e.  U  /\  L  e.  T )  ->  ( A  e.  ( ( X O Y ) `  Z )  ->  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( Z  e.  K  /\  A  e.  L )
) ) )
Distinct variable groups:    x, K, y, z    L, a, x, y    N, a    x, U, y    X, a, x, y, z    Y, a, x, y, z    z, L    z, T    z, U    A, a    Z, a, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, a)    A( x, y, z)    T( x, y, a)    U( a)    K( a)    M( x, y, z, a)    N( x, y, z)    O( x, y, z, a)    Z( x, y)

Proof of Theorem elovmpt3rab1
StepHypRef Expression
1 ovmpt3rab1.o . . . 4  |-  O  =  ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( z  e.  M  |->  { a  e.  N  |  ph } ) )
21elovmpt3imp 6543 . . 3  |-  ( A  e.  ( ( X O Y ) `  Z )  ->  ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V ) )
3 simprl 772 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ( X O Y ) `
 Z )  /\  ( ( X  e. 
_V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T )
) )  ->  ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V ) )
4 elfvdm 5905 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ( X O Y ) `  Z )  ->  Z  e.  dom  ( X O Y ) )
5 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  ->  X  e.  _V )
65adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T
) )  ->  X  e.  _V )
7 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T
) )  ->  Y  e.  _V )
8 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T
) )  ->  K  e.  U )
9 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T
) )  ->  L  e.  T )
10 ovmpt3rab1.m . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  X  /\  y  =  Y )  ->  M  =  K )
11 ovmpt3rab1.n . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  X  /\  y  =  Y )  ->  N  =  L )
121, 10, 11ovmpt3rabdm 6545 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V  /\  K  e.  U )  /\  L  e.  T
)  ->  dom  ( X O Y )  =  K )
136, 7, 8, 9, 12syl31anc 1295 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T
) )  ->  dom  ( X O Y )  =  K )
1413eleq2d 2534 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T
) )  ->  ( Z  e.  dom  ( X O Y )  <->  Z  e.  K ) )
1514biimpcd 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Z  e.  dom  ( X O Y )  -> 
( ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T )
)  ->  Z  e.  K ) )
1615adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Z  e.  dom  ( X O Y )  /\  A  e.  ( ( X O Y ) `  Z ) )  -> 
( ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T )
)  ->  Z  e.  K ) )
1716imp 436 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Z  e.  dom  ( X O Y )  /\  A  e.  ( ( X O Y ) `  Z ) )  /\  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T
) ) )  ->  Z  e.  K )
18 simpl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Z  e.  K  /\  ( ( Z  e. 
dom  ( X O Y )  /\  A  e.  ( ( X O Y ) `  Z
) )  /\  (
( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T
) ) ) )  ->  Z  e.  K
)
19 simplr 770 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Z  e.  dom  ( X O Y )  /\  A  e.  ( ( X O Y ) `  Z ) )  /\  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T
) ) )  ->  A  e.  ( ( X O Y ) `  Z ) )
2019adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Z  e.  K  /\  ( ( Z  e. 
dom  ( X O Y )  /\  A  e.  ( ( X O Y ) `  Z
) )  /\  (
( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T
) ) ) )  ->  A  e.  ( ( X O Y ) `  Z ) )
21 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  U  /\  L  e.  T )  ->  K  e.  U )
2221anim2i 579 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T
) )  ->  (
( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  K  e.  U
) )
23 df-3an 1009 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V  /\  K  e.  U )  <->  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  K  e.  U ) )
2422, 23sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T
) )  ->  ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V  /\  K  e.  U ) )
2524ad2antll 743 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Z  e.  K  /\  ( ( Z  e. 
dom  ( X O Y )  /\  A  e.  ( ( X O Y ) `  Z
) )  /\  (
( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T
) ) ) )  ->  ( X  e. 
_V  /\  Y  e.  _V  /\  K  e.  U
) )
26 sbceq1a 3266 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  Y  ->  ( ph 
<-> 
[. Y  /  y ]. ph ) )
27 sbceq1a 3266 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  X  ->  ( [. Y  /  y ]. ph  <->  [. X  /  x ]. [. Y  /  y ]. ph ) )
2826, 27sylan9bbr 715 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  X  /\  y  =  Y )  ->  ( ph  <->  [. X  /  x ]. [. Y  / 
y ]. ph ) )
29 nfsbc1v 3275 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x [. X  /  x ]. [. Y  /  y ]. ph
30 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ y X
31 nfsbc1v 3275 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ y
[. Y  /  y ]. ph
3230, 31nfsbc 3277 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ y
[. X  /  x ]. [. Y  /  y ]. ph
331, 10, 11, 28, 29, 32ovmpt3rab1 6544 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V  /\  K  e.  U )  ->  ( X O Y )  =  ( z  e.  K  |->  { a  e.  L  |  [. X  /  x ]. [. Y  /  y ]. ph } ) )
3433fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V  /\  K  e.  U )  ->  (
( X O Y ) `  Z )  =  ( ( z  e.  K  |->  { a  e.  L  |  [. X  /  x ]. [. Y  /  y ]. ph }
) `  Z )
)
3525, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Z  e.  K  /\  ( ( Z  e. 
dom  ( X O Y )  /\  A  e.  ( ( X O Y ) `  Z
) )  /\  (
( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T
) ) ) )  ->  ( ( X O Y ) `  Z )  =  ( ( z  e.  K  |->  { a  e.  L  |  [. X  /  x ]. [. Y  /  y ]. ph } ) `  Z ) )
36 rabexg 4549 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( L  e.  T  ->  { a  e.  L  |  [. Z  /  z ]. [. X  /  x ]. [. Y  /  y ]. ph }  e.  _V )
3736adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  U  /\  L  e.  T )  ->  { a  e.  L  |  [. Z  /  z ]. [. X  /  x ]. [. Y  /  y ]. ph }  e.  _V )
3837ad2antll 743 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Z  e.  dom  ( X O Y )  /\  A  e.  ( ( X O Y ) `  Z ) )  /\  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T
) ) )  ->  { a  e.  L  |  [. Z  /  z ]. [. X  /  x ]. [. Y  /  y ]. ph }  e.  _V )
39 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ z Z
40 nfsbc1v 3275 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ z
[. Z  /  z ]. [. X  /  x ]. [. Y  /  y ]. ph
41 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ z L
4240, 41nfrab 2958 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ z { a  e.  L  |  [. Z  /  z ]. [. X  /  x ]. [. Y  /  y ]. ph }
43 sbceq1a 3266 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  Z  ->  ( [. X  /  x ]. [. Y  /  y ]. ph  <->  [. Z  /  z ]. [. X  /  x ]. [. Y  /  y ]. ph ) )
4443rabbidv 3022 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  Z  ->  { a  e.  L  |  [. X  /  x ]. [. Y  /  y ]. ph }  =  { a  e.  L  |  [. Z  /  z ]. [. X  /  x ]. [. Y  /  y ]. ph } )
45 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  K  |->  { a  e.  L  |  [. X  /  x ]. [. Y  /  y ]. ph }
)  =  ( z  e.  K  |->  { a  e.  L  |  [. X  /  x ]. [. Y  /  y ]. ph }
)
4639, 42, 44, 45fvmptf 5981 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Z  e.  K  /\  { a  e.  L  |  [. Z  /  z ]. [. X  /  x ]. [. Y  /  y ]. ph }  e.  _V )  ->  ( ( z  e.  K  |->  { a  e.  L  |  [. X  /  x ]. [. Y  /  y ]. ph }
) `  Z )  =  { a  e.  L  |  [. Z  /  z ]. [. X  /  x ]. [. Y  /  y ]. ph } )
4738, 46sylan2 482 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Z  e.  K  /\  ( ( Z  e. 
dom  ( X O Y )  /\  A  e.  ( ( X O Y ) `  Z
) )  /\  (
( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T
) ) ) )  ->  ( ( z  e.  K  |->  { a  e.  L  |  [. X  /  x ]. [. Y  /  y ]. ph }
) `  Z )  =  { a  e.  L  |  [. Z  /  z ]. [. X  /  x ]. [. Y  /  y ]. ph } )
4835, 47eqtr2d 2506 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Z  e.  K  /\  ( ( Z  e. 
dom  ( X O Y )  /\  A  e.  ( ( X O Y ) `  Z
) )  /\  (
( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T
) ) ) )  ->  { a  e.  L  |  [. Z  /  z ]. [. X  /  x ]. [. Y  /  y ]. ph }  =  ( ( X O Y ) `  Z ) )
4920, 48eleqtrrd 2552 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Z  e.  K  /\  ( ( Z  e. 
dom  ( X O Y )  /\  A  e.  ( ( X O Y ) `  Z
) )  /\  (
( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T
) ) ) )  ->  A  e.  {
a  e.  L  |  [. Z  /  z ]. [. X  /  x ]. [. Y  /  y ]. ph } )
50 elrabi 3181 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  { a  e.  L  |  [. Z  /  z ]. [. X  /  x ]. [. Y  /  y ]. ph }  ->  A  e.  L )
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Z  e.  K  /\  ( ( Z  e. 
dom  ( X O Y )  /\  A  e.  ( ( X O Y ) `  Z
) )  /\  (
( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T
) ) ) )  ->  A  e.  L
)
5218, 51jca 541 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Z  e.  K  /\  ( ( Z  e. 
dom  ( X O Y )  /\  A  e.  ( ( X O Y ) `  Z
) )  /\  (
( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T
) ) ) )  ->  ( Z  e.  K  /\  A  e.  L ) )
5317, 52mpancom 682 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Z  e.  dom  ( X O Y )  /\  A  e.  ( ( X O Y ) `  Z ) )  /\  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T
) ) )  -> 
( Z  e.  K  /\  A  e.  L
) )
5453exp31 615 . . . . . . 7  |-  ( Z  e.  dom  ( X O Y )  -> 
( A  e.  ( ( X O Y ) `  Z )  ->  ( ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T
) )  ->  ( Z  e.  K  /\  A  e.  L )
) ) )
554, 54mpcom 36 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ( X O Y ) `  Z )  ->  (
( ( X  e. 
_V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T )
)  ->  ( Z  e.  K  /\  A  e.  L ) ) )
5655imp 436 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ( X O Y ) `
 Z )  /\  ( ( X  e. 
_V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T )
) )  ->  ( Z  e.  K  /\  A  e.  L )
)
573, 56jca 541 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ( X O Y ) `
 Z )  /\  ( ( X  e. 
_V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( K  e.  U  /\  L  e.  T )
) )  ->  (
( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( Z  e.  K  /\  A  e.  L
) ) )
5857exp32 616 . . 3  |-  ( A  e.  ( ( X O Y ) `  Z )  ->  (
( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  ->  ( ( K  e.  U  /\  L  e.  T )  ->  (
( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( Z  e.  K  /\  A  e.  L
) ) ) ) )
592, 58mpd 15 . 2  |-  ( A  e.  ( ( X O Y ) `  Z )  ->  (
( K  e.  U  /\  L  e.  T
)  ->  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( Z  e.  K  /\  A  e.  L )
) ) )
6059com12 31 1  |-  ( ( K  e.  U  /\  L  e.  T )  ->  ( A  e.  ( ( X O Y ) `  Z )  ->  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  ( Z  e.  K  /\  A  e.  L )
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   {crab 2760   _Vcvv 3031   [.wsbc 3255    |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    |-> cmpt2 6310
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313
This theorem is referenced by:  elovmpt3rab  6547  elovmptnn0wrd  12761
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