Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elorrvc Structured version   Unicode version

Theorem elorrvc 28030
Description: Elementhood of a preimage for a real-valued random variable. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
orrvccel.1  |-  ( ph  ->  P  e. Prob )
orrvccel.2  |-  ( ph  ->  X  e.  (rRndVar `  P
) )
orrvccel.4  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
Assertion
Ref Expression
elorrvc  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U.
dom  P )  -> 
( z  e.  ( XRV/𝑐 R A )  <->  ( X `  z ) R A ) )
Distinct variable groups:    z, A    z, R    z, X
Allowed substitution hints:    ph( z)    P( z)    V( z)

Proof of Theorem elorrvc
StepHypRef Expression
1 orrvccel.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  e. Prob )
2 orrvccel.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  (rRndVar `  P
) )
31, 2rrvdm 28013 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  X  =  U. dom  P )
43eleq2d 2532 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  dom  X  <-> 
z  e.  U. dom  P ) )
54biimprd 223 . . 3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  U. dom  P  ->  z  e.  dom  X ) )
65imdistani 690 . 2  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U.
dom  P )  -> 
( ph  /\  z  e.  dom  X ) )
71, 2rrvfn 28012 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  Fn  U. dom  P )
8 fnfun 5671 . . . 4  |-  ( X  Fn  U. dom  P  ->  Fun  X )
97, 8syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  Fun  X )
10 orrvccel.4 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
119, 2, 10elorvc 28026 . 2  |-  ( (
ph  /\  z  e.  dom  X )  ->  (
z  e.  ( XRV/𝑐 R A )  <->  ( X `  z ) R A ) )
126, 11syl 16 1  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U.
dom  P )  -> 
( z  e.  ( XRV/𝑐 R A )  <->  ( X `  z ) R A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1762   U.cuni 4240   class class class wbr 4442   dom cdm 4994   Fun wfun 5575    Fn wfn 5576   ` cfv 5581  (class class class)co 6277  Probcprb 27974  rRndVarcrrv 28007  ∘RV/𝑐corvc 28022
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-ioo 11524  df-topgen 14690  df-top 19161  df-bases 19163  df-esum 27669  df-siga 27736  df-sigagen 27767  df-brsiga 27781  df-meas 27795  df-mbfm 27850  df-prob 27975  df-rrv 28008  df-orvc 28023
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator