Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elorrvc Structured version   Unicode version

Theorem elorrvc 28921
Description: Elementhood of a preimage for a real-valued random variable. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
orrvccel.1  |-  ( ph  ->  P  e. Prob )
orrvccel.2  |-  ( ph  ->  X  e.  (rRndVar `  P
) )
orrvccel.4  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
Assertion
Ref Expression
elorrvc  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U.
dom  P )  -> 
( z  e.  ( XRV/𝑐 R A )  <->  ( X `  z ) R A ) )
Distinct variable groups:    z, A    z, R    z, X
Allowed substitution hints:    ph( z)    P( z)    V( z)

Proof of Theorem elorrvc
StepHypRef Expression
1 orrvccel.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  e. Prob )
2 orrvccel.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  (rRndVar `  P
) )
31, 2rrvdm 28904 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  X  =  U. dom  P )
43eleq2d 2474 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  dom  X  <-> 
z  e.  U. dom  P ) )
54biimprd 225 . . 3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  U. dom  P  ->  z  e.  dom  X ) )
65imdistani 690 . 2  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U.
dom  P )  -> 
( ph  /\  z  e.  dom  X ) )
71, 2rrvfn 28903 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  Fn  U. dom  P )
8 fnfun 5661 . . . 4  |-  ( X  Fn  U. dom  P  ->  Fun  X )
97, 8syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  Fun  X )
10 orrvccel.4 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
119, 2, 10elorvc 28917 . 2  |-  ( (
ph  /\  z  e.  dom  X )  ->  (
z  e.  ( XRV/𝑐 R A )  <->  ( X `  z ) R A ) )
126, 11syl 17 1  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U.
dom  P )  -> 
( z  e.  ( XRV/𝑐 R A )  <->  ( X `  z ) R A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 186    /\ wa 369    e. wcel 1844   U.cuni 4193   class class class wbr 4397   dom cdm 4825   Fun wfun 5565    Fn wfn 5566   ` cfv 5571  (class class class)co 6280  Probcprb 28865  rRndVarcrrv 28898  ∘RV/𝑐corvc 28913
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-fal 1413  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-er 7350  df-map 7461  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-ioo 11588  df-topgen 15060  df-top 19693  df-bases 19695  df-esum 28488  df-siga 28569  df-sigagen 28600  df-brsiga 28643  df-meas 28657  df-mbfm 28712  df-prob 28866  df-rrv 28899  df-orvc 28914
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator