Theorem elopab 3559

Description: Membership in a class abstraction of pairs.

Assertion

Ref	Expression
elopab	|- (A e. {<.x, y>. | ph} <-> E.xE.y(A = <.x, y>. /\ ph))

Distinct variable groups:   x,A   y,A

Proof of Theorem elopab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elisset 2299	. 2 |- (A e. {<.x, y>. | ph} -> A e. _V)
2		opex 3527	. . . . 5 |- <.x, y>. e. _V
3		eleq1 1957	. . . . 5 |- (A = <.x, y>. -> (A e. _V <-> <.x, y>. e. _V))
4	2, 3	mpbiri 211	. . . 4 |- (A = <.x, y>. -> A e. _V)
5	4	adantr 425	. . 3 |- ((A = <.x, y>. /\ ph) -> A e. _V)
6	5	19.23aivv 1675	. 2 |- (E.xE.y(A = <.x, y>. /\ ph) -> A e. _V)
7		eleq1 1957	. . 3 |- (z = A -> (z e. {<.x, y>. | ph} <-> A e. {<.x, y>. | ph}))
8		eqeq1 1890	. . . . 5 |- (z = A -> (z = <.x, y>. <-> A = <.x, y>.))
9	8	anbi1d 679	. . . 4 |- (z = A -> ((z = <.x, y>. /\ ph) <-> (A = <.x, y>. /\ ph)))
10	9	2exbidv 1659	. . 3 |- (z = A -> (E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph) <-> E.xE.y(A = <.x, y>. /\ ph)))
11		df-opab 3396	. . . 4 |- {<.x, y>. | ph} = {z | E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph)}
12	11	abeq2i 2001	. . 3 |- (z e. {<.x, y>. | ph} <-> E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph))
13	7, 10, 12	vtoclbg 2347	. 2 |- (A e. _V -> (A e. {<.x, y>. | ph} <-> E.xE.y(A = <.x, y>. /\ ph)))
14	1, 6, 13	pm5.21nii 743	1 |- (A e. {<.x, y>. | ph} <-> E.xE.y(A = <.x, y>. /\ ph))

Syntax hints:   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  _Vcvv 2292  <.cop 3046  {copab 3395

This theorem is referenced by:  hbopabOLD 3561  opelopabsb 3564  opelopabg 3567  opabn0 3575  elxp 4018  elcnv 4137  fsplit 5086  hartog 5693  hartogOLD 15384  2ndcctbss 15478  filnetlem1 15640  filnetlem3 15642  filnetlem4 15643  filnetlem5 15644  opabex3 15701  heiborlem24 15978  heiborlem31 15985

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-opab 3396

Copyright terms: Public domain