Theorem elom3 5738

Description: A simplification of elom 3952 assuming the Axiom of Infinity.

Assertion

Ref	Expression
elom3	|- (A e. om <-> A.x(Lim x -> A e. x))

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem elom3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elomg 3953	. . . 4 |- (A e. om -> (A e. om <-> (Ord A /\ A.x(Lim x -> A e. x))))
2	1	ibi 652	. . 3 |- (A e. om -> (Ord A /\ A.x(Lim x -> A e. x)))
3	2	simprd 352	. 2 |- (A e. om -> A.x(Lim x -> A e. x))
4		limom 3967	. . 3 |- Lim om
5		omex 5733	. . . 4 |- om e. _V
6		limeq 3669	. . . . 5 |- (x = om -> (Lim x <-> Lim om))
7		eleq2 1958	. . . . 5 |- (x = om -> (A e. x <-> A e. om))
8	6, 7	imbi12d 688	. . . 4 |- (x = om -> ((Lim x -> A e. x) <-> (Lim om -> A e. om)))
9	5, 8	cla4v 2370	. . 3 |- (A.x(Lim x -> A e. x) -> (Lim om -> A e. om))
10	4, 9	mpi 55	. 2 |- (A.x(Lim x -> A e. x) -> A e. om)
11	3, 10	impbii 174	1 |- (A e. om <-> A.x(Lim x -> A e. x))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  Ord word 3656  Lim wlim 3658  omcom 3949

This theorem is referenced by:  dfom4 5739

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950

Copyright terms: Public domain