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Theorem elo12r 13559
Description: Sufficient condition for elementhood in the set of eventually bounded functions. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
elo12r  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  M  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  ( C  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  <_  M ) )  ->  F  e.  O(1) )
Distinct variable groups:    x, A    x, C    x, F    x, M

Proof of Theorem elo12r
Dummy variables  m  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 4420 . . . . . . 7  |-  ( y  =  C  ->  (
y  <_  x  <->  C  <_  x ) )
21imbi1d 318 . . . . . 6  |-  ( y  =  C  ->  (
( y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  m )  <->  ( C  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  m ) ) )
32ralbidv 2862 . . . . 5  |-  ( y  =  C  ->  ( A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  m )  <->  A. x  e.  A  ( C  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  m ) ) )
4 breq2 4421 . . . . . . 7  |-  ( m  =  M  ->  (
( abs `  ( F `  x )
)  <_  m  <->  ( abs `  ( F `  x
) )  <_  M
) )
54imbi2d 317 . . . . . 6  |-  ( m  =  M  ->  (
( C  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  m )  <->  ( C  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  M ) ) )
65ralbidv 2862 . . . . 5  |-  ( m  =  M  ->  ( A. x  e.  A  ( C  <_  x  -> 
( abs `  ( F `  x )
)  <_  m )  <->  A. x  e.  A  ( C  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  M ) ) )
73, 6rspc2ev 3190 . . . 4  |-  ( ( C  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  A. x  e.  A  ( C  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  <_  M ) )  ->  E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  (
y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  m ) )
873expa 1205 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  M  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  ( C  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  M )
)  ->  E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  m )
)
983adant1 1023 . 2  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  M  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  ( C  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  <_  M ) )  ->  E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  (
y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  m ) )
10 elo12 13558 . . 3  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  -> 
( F  e.  O(1)  <->  E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  m )
) )
11103ad2ant1 1026 . 2  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  M  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  ( C  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  <_  M ) )  -> 
( F  e.  O(1)  <->  E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  m )
) )
129, 11mpbird 235 1  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  M  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  ( C  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  <_  M ) )  ->  F  e.  O(1) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1867   A.wral 2773   E.wrex 2774    C_ wss 3433   class class class wbr 4417   -->wf 5588   ` cfv 5592   CCcc 9526   RRcr 9527    <_ cle 9665   abscabs 13265   O(1)co1 13517
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4214  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7362  df-pm 7474  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-ico 11630  df-o1 13521
This theorem is referenced by:  o1resb  13597  o1of2  13643  o1cxp  23804
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