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Theorem elo12 13313
Description: Elementhood in the set of eventually bounded functions. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
elo12  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  -> 
( F  e.  O(1)  <->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  ( x  <_ 
y  ->  ( abs `  ( F `  y
) )  <_  m
) ) )
Distinct variable groups:    x, m, y, A    m, F, x, y

Proof of Theorem elo12
StepHypRef Expression
1 cnex 9573 . . . 4  |-  CC  e.  _V
2 reex 9583 . . . 4  |-  RR  e.  _V
3 elpm2r 7436 . . . 4  |-  ( ( ( CC  e.  _V  /\  RR  e.  _V )  /\  ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR ) )  ->  F  e.  ( CC  ^pm  RR ) )
41, 2, 3mpanl12 682 . . 3  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  ->  F  e.  ( CC  ^pm 
RR ) )
5 elo1 13312 . . . 4  |-  ( F  e.  O(1)  <->  ( F  e.  ( CC  ^pm  RR )  /\  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  ( dom  F  i^i  ( x [,) +oo ) ) ( abs `  ( F `  y
) )  <_  m
) )
65baib 901 . . 3  |-  ( F  e.  ( CC  ^pm  RR )  ->  ( F  e.  O(1)  <->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  ( dom  F  i^i  ( x [,) +oo ) ) ( abs `  ( F `  y
) )  <_  m
) )
74, 6syl 16 . 2  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  -> 
( F  e.  O(1)  <->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  ( dom  F  i^i  ( x [,) +oo ) ) ( abs `  ( F `  y
) )  <_  m
) )
8 elin 3687 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( dom  F  i^i  ( x [,) +oo ) )  <->  ( y  e.  dom  F  /\  y  e.  ( x [,) +oo ) ) )
9 fdm 5735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : A --> CC  ->  dom 
F  =  A )
109ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F : A
--> CC  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  dom  F  =  A )
1110eleq2d 2537 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F : A
--> CC  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  (
y  e.  dom  F  <->  y  e.  A ) )
1211anbi1d 704 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F : A
--> CC  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  (
( y  e.  dom  F  /\  y  e.  ( x [,) +oo )
)  <->  ( y  e.  A  /\  y  e.  ( x [,) +oo ) ) ) )
13 simpllr 758 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  /\  y  e.  A
)  ->  x  e.  RR )
14 elicopnf 11620 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  (
y  e.  ( x [,) +oo )  <->  ( y  e.  RR  /\  x  <_ 
y ) ) )
1513, 14syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  /\  y  e.  A
)  ->  ( y  e.  ( x [,) +oo ) 
<->  ( y  e.  RR  /\  x  <_  y )
) )
16 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F : A
--> CC  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  A  C_  RR )
1716sselda 3504 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  /\  y  e.  A
)  ->  y  e.  RR )
1817biantrurd 508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  /\  y  e.  A
)  ->  ( x  <_  y  <->  ( y  e.  RR  /\  x  <_ 
y ) ) )
1915, 18bitr4d 256 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  /\  y  e.  A
)  ->  ( y  e.  ( x [,) +oo ) 
<->  x  <_  y )
)
2019pm5.32da 641 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F : A
--> CC  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  (
( y  e.  A  /\  y  e.  (
x [,) +oo )
)  <->  ( y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) ) )
2112, 20bitrd 253 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F : A
--> CC  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  (
( y  e.  dom  F  /\  y  e.  ( x [,) +oo )
)  <->  ( y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) ) )
228, 21syl5bb 257 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F : A
--> CC  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  (
y  e.  ( dom 
F  i^i  ( x [,) +oo ) )  <->  ( y  e.  A  /\  x  <_  y ) ) )
2322imbi1d 317 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F : A
--> CC  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  (
( y  e.  ( dom  F  i^i  (
x [,) +oo )
)  ->  ( abs `  ( F `  y
) )  <_  m
)  <->  ( ( y  e.  A  /\  x  <_  y )  ->  ( abs `  ( F `  y ) )  <_  m ) ) )
24 impexp 446 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  x  <_  y )  ->  ( abs `  ( F `  y )
)  <_  m )  <->  ( y  e.  A  -> 
( x  <_  y  ->  ( abs `  ( F `  y )
)  <_  m )
) )
2523, 24syl6bb 261 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F : A
--> CC  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  (
( y  e.  ( dom  F  i^i  (
x [,) +oo )
)  ->  ( abs `  ( F `  y
) )  <_  m
)  <->  ( y  e.  A  ->  ( x  <_  y  ->  ( abs `  ( F `  y
) )  <_  m
) ) ) )
2625ralbidv2 2899 . . . 4  |-  ( ( ( ( F : A
--> CC  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  ( A. y  e.  ( dom  F  i^i  ( x [,) +oo ) ) ( abs `  ( F `  y )
)  <_  m  <->  A. y  e.  A  ( x  <_  y  ->  ( abs `  ( F `  y
) )  <_  m
) ) )
2726rexbidva 2970 . . 3  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( E. m  e.  RR  A. y  e.  ( dom  F  i^i  ( x [,) +oo ) ) ( abs `  ( F `  y
) )  <_  m  <->  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  (
x  <_  y  ->  ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  m ) ) )
2827rexbidva 2970 . 2  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  -> 
( E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  ( dom  F  i^i  ( x [,) +oo ) ) ( abs `  ( F `  y
) )  <_  m  <->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  ( x  <_  y  ->  ( abs `  ( F `  y
) )  <_  m
) ) )
297, 28bitrd 253 1  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  -> 
( F  e.  O(1)  <->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  ( x  <_ 
y  ->  ( abs `  ( F `  y
) )  <_  m
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    i^i cin 3475    C_ wss 3476   class class class wbr 4447   dom cdm 4999   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284    ^pm cpm 7421   CCcc 9490   RRcr 9491   +oocpnf 9625    <_ cle 9629   [,)cico 11531   abscabs 13030   O(1)co1 13272
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-er 7311  df-pm 7423  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-ico 11535  df-o1 13276
This theorem is referenced by:  elo12r  13314  o1bdd  13317  lo1o1  13318  o1co  13372  rlimo1  13402
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