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Theorem elo12 13569
Description: Elementhood in the set of eventually bounded functions. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
elo12  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  -> 
( F  e.  O(1)  <->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  ( x  <_ 
y  ->  ( abs `  ( F `  y
) )  <_  m
) ) )
Distinct variable groups:    x, m, y, A    m, F, x, y

Proof of Theorem elo12
StepHypRef Expression
1 cnex 9619 . . . 4  |-  CC  e.  _V
2 reex 9629 . . . 4  |-  RR  e.  _V
3 elpm2r 7497 . . . 4  |-  ( ( ( CC  e.  _V  /\  RR  e.  _V )  /\  ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR ) )  ->  F  e.  ( CC  ^pm  RR ) )
41, 2, 3mpanl12 686 . . 3  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  ->  F  e.  ( CC  ^pm 
RR ) )
5 elo1 13568 . . . 4  |-  ( F  e.  O(1)  <->  ( F  e.  ( CC  ^pm  RR )  /\  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  ( dom  F  i^i  ( x [,) +oo ) ) ( abs `  ( F `  y
) )  <_  m
) )
65baib 911 . . 3  |-  ( F  e.  ( CC  ^pm  RR )  ->  ( F  e.  O(1)  <->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  ( dom  F  i^i  ( x [,) +oo ) ) ( abs `  ( F `  y
) )  <_  m
) )
74, 6syl 17 . 2  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  -> 
( F  e.  O(1)  <->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  ( dom  F  i^i  ( x [,) +oo ) ) ( abs `  ( F `  y
) )  <_  m
) )
8 elin 3655 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( dom  F  i^i  ( x [,) +oo ) )  <->  ( y  e.  dom  F  /\  y  e.  ( x [,) +oo ) ) )
9 fdm 5750 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : A --> CC  ->  dom 
F  =  A )
109ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F : A
--> CC  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  dom  F  =  A )
1110eleq2d 2499 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F : A
--> CC  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  (
y  e.  dom  F  <->  y  e.  A ) )
1211anbi1d 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F : A
--> CC  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  (
( y  e.  dom  F  /\  y  e.  ( x [,) +oo )
)  <->  ( y  e.  A  /\  y  e.  ( x [,) +oo ) ) ) )
13 simpllr 767 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  /\  y  e.  A
)  ->  x  e.  RR )
14 elicopnf 11730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  (
y  e.  ( x [,) +oo )  <->  ( y  e.  RR  /\  x  <_ 
y ) ) )
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  /\  y  e.  A
)  ->  ( y  e.  ( x [,) +oo ) 
<->  ( y  e.  RR  /\  x  <_  y )
) )
16 simpllr 767 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F : A
--> CC  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  A  C_  RR )
1716sselda 3470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  /\  y  e.  A
)  ->  y  e.  RR )
1817biantrurd 510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  /\  y  e.  A
)  ->  ( x  <_  y  <->  ( y  e.  RR  /\  x  <_ 
y ) ) )
1915, 18bitr4d 259 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  /\  y  e.  A
)  ->  ( y  e.  ( x [,) +oo ) 
<->  x  <_  y )
)
2019pm5.32da 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F : A
--> CC  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  (
( y  e.  A  /\  y  e.  (
x [,) +oo )
)  <->  ( y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) ) )
2112, 20bitrd 256 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F : A
--> CC  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  (
( y  e.  dom  F  /\  y  e.  ( x [,) +oo )
)  <->  ( y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) ) )
228, 21syl5bb 260 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F : A
--> CC  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  (
y  e.  ( dom 
F  i^i  ( x [,) +oo ) )  <->  ( y  e.  A  /\  x  <_  y ) ) )
2322imbi1d 318 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F : A
--> CC  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  (
( y  e.  ( dom  F  i^i  (
x [,) +oo )
)  ->  ( abs `  ( F `  y
) )  <_  m
)  <->  ( ( y  e.  A  /\  x  <_  y )  ->  ( abs `  ( F `  y ) )  <_  m ) ) )
24 impexp 447 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  x  <_  y )  ->  ( abs `  ( F `  y )
)  <_  m )  <->  ( y  e.  A  -> 
( x  <_  y  ->  ( abs `  ( F `  y )
)  <_  m )
) )
2523, 24syl6bb 264 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F : A
--> CC  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  (
( y  e.  ( dom  F  i^i  (
x [,) +oo )
)  ->  ( abs `  ( F `  y
) )  <_  m
)  <->  ( y  e.  A  ->  ( x  <_  y  ->  ( abs `  ( F `  y
) )  <_  m
) ) ) )
2625ralbidv2 2867 . . . 4  |-  ( ( ( ( F : A
--> CC  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  ( A. y  e.  ( dom  F  i^i  ( x [,) +oo ) ) ( abs `  ( F `  y )
)  <_  m  <->  A. y  e.  A  ( x  <_  y  ->  ( abs `  ( F `  y
) )  <_  m
) ) )
2726rexbidva 2943 . . 3  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( E. m  e.  RR  A. y  e.  ( dom  F  i^i  ( x [,) +oo ) ) ( abs `  ( F `  y
) )  <_  m  <->  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  (
x  <_  y  ->  ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  m ) ) )
2827rexbidva 2943 . 2  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  -> 
( E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  ( dom  F  i^i  ( x [,) +oo ) ) ( abs `  ( F `  y
) )  <_  m  <->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  ( x  <_  y  ->  ( abs `  ( F `  y
) )  <_  m
) ) )
297, 28bitrd 256 1  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  -> 
( F  e.  O(1)  <->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  ( x  <_ 
y  ->  ( abs `  ( F `  y
) )  <_  m
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   E.wrex 2783   _Vcvv 3087    i^i cin 3441    C_ wss 3442   class class class wbr 4426   dom cdm 4854   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    ^pm cpm 7481   CCcc 9536   RRcr 9537   +oocpnf 9671    <_ cle 9675   [,)cico 11637   abscabs 13276   O(1)co1 13528
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-er 7371  df-pm 7483  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-ico 11641  df-o1 13532
This theorem is referenced by:  elo12r  13570  o1bdd  13573  lo1o1  13574  o1co  13628  rlimo1  13658
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