Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elntg Structured version   Unicode version

Theorem elntg 23963
 Description: The line definition in the Tarski structure for the Euclidean geometry. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
elntg.1 EEG
elntg.2 ItvEEG
Assertion
Ref Expression
elntg LineGEEG
Distinct variable groups:   ,,,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,,)

Proof of Theorem elntg
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lngid 23567 . . 3 LineG Slot LineG
2 fvex 5874 . . . 4 EEG
32a1i 11 . . 3 EEG
4 eengstr 23959 . . . . 5 EEG Struct ;
5 isstruct 14496 . . . . . 6 EEG Struct ; ; ; EEG EEG ;
65simp2bi 1012 . . . . 5 EEG Struct ; EEG
74, 6syl 16 . . . 4 EEG
8 structcnvcnv 14497 . . . . . 6 EEG Struct ; EEG EEG
94, 8syl 16 . . . . 5 EEG EEG
109funeqd 5607 . . . 4 EEG EEG
117, 10mpbird 232 . . 3 EEG
12 opex 4711 . . . . . 6 LineG
1312prid2 4136 . . . . 5 LineG Itv LineG
14 elun2 3672 . . . . 5 LineG Itv LineG LineG Itv LineG
1513, 14ax-mp 5 . . . 4 LineG Itv LineG
16 eengv 23958 . . . 4 EEG Itv LineG
1715, 16syl5eleqr 2562 . . 3 LineG EEG
18 fvex 5874 . . . . 5
19 difexg 4595 . . . . . 6
2018, 19ax-mp 5 . . . . 5
2118, 20mpt2ex 6857 . . . 4
2221a1i 11 . . 3
231, 3, 11, 17, 22strfv2d 14518 . 2 LineGEEG
24 eengbas 23960 . . . 4 EEG
25 elntg.1 . . . 4 EEG
2624, 25syl6eqr 2526 . . 3
2726difeq1d 3621 . . . . 5
2827ralrimivw 2879 . . . 4
2928r19.21bi 2833 . . 3
3026adantr 465 . . . 4
31 simpll 753 . . . . . 6
32 elntg.2 . . . . . 6 ItvEEG
33 simplrl 759 . . . . . . 7
3431, 26syl 16 . . . . . . 7
3533, 34eleqtrd 2557 . . . . . 6
36 simplrr 760 . . . . . . . 8
3736eldifad 3488 . . . . . . 7
3837, 34eleqtrd 2557 . . . . . 6
39 simpr 461 . . . . . . 7
4039, 34eleqtrd 2557 . . . . . 6
4131, 25, 32, 35, 38, 40ebtwntg 23961 . . . . 5
4231, 25, 32, 40, 38, 35ebtwntg 23961 . . . . 5
4331, 25, 32, 35, 40, 38ebtwntg 23961 . . . . 5
4441, 42, 433orbi123d 1298 . . . 4
4530, 44rabeqbidva 3109 . . 3
4626, 29, 45mpt2eq123dva 6340 . 2
4723, 46eqtr3d 2510 1 LineGEEG
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3o 972   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767  crab 2818  cvv 3113   cdif 3473   cun 3474   wss 3476  c0 3785  csn 4027  cpr 4029  cop 4033   class class class wbr 4447  ccnv 4998   cdm 4999   wfun 5580  cfv 5586  (class class class)co 6282   cmpt2 6284  c1 9489   cle 9625   cmin 9801  cn 10532  c2 10581  c7 10586  ;cdc 10972  cfz 11668  cexp 12130  csu 13467   Struct cstr 14482  cnx 14483  cbs 14486  cds 14560  Itvcitv 23560  LineGclng 23561  cee 23867   cbtwn 23868  EEGceeng 23956 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-fz 11669  df-seq 12072  df-sum 13468  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-ds 14573  df-itv 23562  df-lng 23563  df-eeng 23957 This theorem is referenced by:  eengtrkg  23964
 Copyright terms: Public domain W3C validator