Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elntg Structured version   Unicode version

Theorem elntg 24851
 Description: The line definition in the Tarski structure for the Euclidean geometry. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
elntg.1 EEG
elntg.2 ItvEEG
Assertion
Ref Expression
elntg LineGEEG
Distinct variable groups:   ,,,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,,)

Proof of Theorem elntg
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lngid 24345 . . 3 LineG Slot LineG
2 fvex 5891 . . . 4 EEG
32a1i 11 . . 3 EEG
4 eengstr 24847 . . . . 5 EEG Struct ;
5 isstruct 15085 . . . . . 6 EEG Struct ; ; ; EEG EEG ;
65simp2bi 1021 . . . . 5 EEG Struct ; EEG
74, 6syl 17 . . . 4 EEG
8 structcnvcnv 15086 . . . . . 6 EEG Struct ; EEG EEG
94, 8syl 17 . . . . 5 EEG EEG
109funeqd 5622 . . . 4 EEG EEG
117, 10mpbird 235 . . 3 EEG
12 opex 4686 . . . . . 6 LineG
1312prid2 4112 . . . . 5 LineG Itv LineG
14 elun2 3640 . . . . 5 LineG Itv LineG LineG Itv LineG
1513, 14ax-mp 5 . . . 4 LineG Itv LineG
16 eengv 24846 . . . 4 EEG Itv LineG
1715, 16syl5eleqr 2524 . . 3 LineG EEG
18 fvex 5891 . . . . 5
19 difexg 4573 . . . . . 6
2018, 19ax-mp 5 . . . . 5
2118, 20mpt2ex 6884 . . . 4
2221a1i 11 . . 3
231, 3, 11, 17, 22strfv2d 15109 . 2 LineGEEG
24 eengbas 24848 . . . 4 EEG
25 elntg.1 . . . 4 EEG
2624, 25syl6eqr 2488 . . 3
2726difeq1d 3588 . . . 4
2926adantr 466 . . . 4
30 simpll 758 . . . . . 6
31 elntg.2 . . . . . 6 ItvEEG
32 simplrl 768 . . . . . . 7
3330, 26syl 17 . . . . . . 7
3432, 33eleqtrd 2519 . . . . . 6
35 simplrr 769 . . . . . . . 8
3635eldifad 3454 . . . . . . 7
3736, 33eleqtrd 2519 . . . . . 6
38 simpr 462 . . . . . . 7
3938, 33eleqtrd 2519 . . . . . 6
4030, 25, 31, 34, 37, 39ebtwntg 24849 . . . . 5
4130, 25, 31, 39, 37, 34ebtwntg 24849 . . . . 5
4230, 25, 31, 34, 39, 37ebtwntg 24849 . . . . 5
4340, 41, 423orbi123d 1334 . . . 4
4429, 43rabeqbidva 3083 . . 3
4526, 28, 44mpt2eq123dva 6366 . 2
4623, 45eqtr3d 2472 1 LineGEEG
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 370   w3o 981   w3a 982   wceq 1437   wcel 1870  crab 2786  cvv 3087   cdif 3439   cun 3440   wss 3442  c0 3767  csn 4002  cpr 4004  cop 4008   class class class wbr 4426  ccnv 4853   cdm 4854   wfun 5595  cfv 5601  (class class class)co 6305   cmpt2 6307  c1 9539   cle 9675   cmin 9859  cn 10609  c2 10659  c7 10664  ;cdc 11051  cfz 11782  cexp 12269  csu 13730   Struct cstr 15071  cnx 15072  cbs 15075  cds 15152  Itvcitv 24338  LineGclng 24339  cee 24755   cbtwn 24756  EEGceeng 24844 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-fz 11783  df-seq 12211  df-sum 13731  df-struct 15077  df-ndx 15078  df-slot 15079  df-base 15080  df-ds 15165  df-itv 24340  df-lng 24341  df-eeng 24845 This theorem is referenced by:  eengtrkg  24852
 Copyright terms: Public domain W3C validator