MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elntg Structured version   Unicode version

Theorem elntg 23367
Description: The line definition in the Tarski structure for the Euclidean geometry. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
elntg.1  |-  P  =  ( Base `  (EEG `  N ) )
elntg.2  |-  I  =  (Itv `  (EEG `  N
) )
Assertion
Ref Expression
elntg  |-  ( N  e.  NN  ->  (LineG `  (EEG `  N )
)  =  ( x  e.  P ,  y  e.  ( P  \  { x } ) 
|->  { z  e.  P  |  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, N    z, P
Allowed substitution hints:    P( x, y)    I( x, y, z)

Proof of Theorem elntg
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lngid 23021 . . 3  |- LineG  = Slot  (LineG ` 
ndx )
2 fvex 5801 . . . 4  |-  (EEG `  N )  e.  _V
32a1i 11 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (EEG `  N )  e.  _V )
4 eengstr 23363 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (EEG `  N ) Struct  <. 1 , ; 1 7 >. )
5 isstruct 14288 . . . . . 6  |-  ( (EEG
`  N ) Struct  <. 1 , ; 1 7 >.  <->  ( (
1  e.  NN  /\ ; 1 7  e.  NN  /\  1  <_ ; 1
7 )  /\  Fun  ( (EEG `  N )  \  { (/) } )  /\  dom  (EEG `  N )  C_  ( 1 ...; 1 7 ) ) )
65simp2bi 1004 . . . . 5  |-  ( (EEG
`  N ) Struct  <. 1 , ; 1 7 >.  ->  Fun  ( (EEG `  N )  \  { (/) } ) )
74, 6syl 16 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  Fun  ( (EEG `  N )  \  { (/) } ) )
8 structcnvcnv 14289 . . . . . 6  |-  ( (EEG
`  N ) Struct  <. 1 , ; 1 7 >.  ->  `' `' (EEG `  N )  =  ( (EEG `  N )  \  { (/)
} ) )
94, 8syl 16 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  `' `' (EEG `  N )  =  ( (EEG `  N )  \  { (/)
} ) )
109funeqd 5539 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( Fun  `' `' (EEG `  N )  <->  Fun  ( (EEG `  N
)  \  { (/) } ) ) )
117, 10mpbird 232 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  Fun  `' `' (EEG `  N )
)
12 opex 4656 . . . . . 6  |-  <. (LineG ` 
ndx ) ,  ( x  e.  ( EE
`  N ) ,  y  e.  ( ( EE `  N ) 
\  { x }
)  |->  { z  e.  ( EE `  N
)  |  ( z 
Btwn  <. x ,  y
>.  \/  x  Btwn  <. z ,  y >.  \/  y  Btwn  <. x ,  z
>. ) } ) >.  e.  _V
1312prid2 4084 . . . . 5  |-  <. (LineG ` 
ndx ) ,  ( x  e.  ( EE
`  N ) ,  y  e.  ( ( EE `  N ) 
\  { x }
)  |->  { z  e.  ( EE `  N
)  |  ( z 
Btwn  <. x ,  y
>.  \/  x  Btwn  <. z ,  y >.  \/  y  Btwn  <. x ,  z
>. ) } ) >.  e.  { <. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N
) ,  y  e.  ( EE `  N
)  |->  { z  e.  ( EE `  N
)  |  z  Btwn  <.
x ,  y >. } ) >. ,  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE
`  N ) ,  y  e.  ( ( EE `  N ) 
\  { x }
)  |->  { z  e.  ( EE `  N
)  |  ( z 
Btwn  <. x ,  y
>.  \/  x  Btwn  <. z ,  y >.  \/  y  Btwn  <. x ,  z
>. ) } ) >. }
14 elun2 3624 . . . . 5  |-  ( <.
(LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( ( EE `  N
)  \  { x } )  |->  { z  e.  ( EE `  N )  |  ( z  Btwn  <. x ,  y >.  \/  x  Btwn  <. z ,  y
>.  \/  y  Btwn  <. x ,  z >. ) } ) >.  e.  { <. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  z  Btwn  <. x ,  y >. } )
>. ,  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( ( EE
`  N )  \  { x } ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  ( z  Btwn  <.
x ,  y >.  \/  x  Btwn  <. z ,  y >.  \/  y  Btwn  <. x ,  z
>. ) } ) >. }  ->  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N
) ,  y  e.  ( ( EE `  N )  \  {
x } )  |->  { z  e.  ( EE
`  N )  |  ( z  Btwn  <. x ,  y >.  \/  x  Btwn  <. z ,  y
>.  \/  y  Btwn  <. x ,  z >. ) } ) >.  e.  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  ( EE `  N ) >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( x `
 i )  -  ( y `  i
) ) ^ 2 ) ) >. }  u.  {
<. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  z  Btwn  <. x ,  y >. } )
>. ,  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( ( EE
`  N )  \  { x } ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  ( z  Btwn  <.
x ,  y >.  \/  x  Btwn  <. z ,  y >.  \/  y  Btwn  <. x ,  z
>. ) } ) >. } ) )
1513, 14ax-mp 5 . . . 4  |-  <. (LineG ` 
ndx ) ,  ( x  e.  ( EE
`  N ) ,  y  e.  ( ( EE `  N ) 
\  { x }
)  |->  { z  e.  ( EE `  N
)  |  ( z 
Btwn  <. x ,  y
>.  \/  x  Btwn  <. z ,  y >.  \/  y  Btwn  <. x ,  z
>. ) } ) >.  e.  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  ( EE `  N
) >. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( x `
 i )  -  ( y `  i
) ) ^ 2 ) ) >. }  u.  {
<. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  z  Btwn  <. x ,  y >. } )
>. ,  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( ( EE
`  N )  \  { x } ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  ( z  Btwn  <.
x ,  y >.  \/  x  Btwn  <. z ,  y >.  \/  y  Btwn  <. x ,  z
>. ) } ) >. } )
16 eengv 23362 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (EEG `  N )  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  ( EE `  N ) >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( x `
 i )  -  ( y `  i
) ) ^ 2 ) ) >. }  u.  {
<. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  z  Btwn  <. x ,  y >. } )
>. ,  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( ( EE
`  N )  \  { x } ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  ( z  Btwn  <.
x ,  y >.  \/  x  Btwn  <. z ,  y >.  \/  y  Btwn  <. x ,  z
>. ) } ) >. } ) )
1715, 16syl5eleqr 2546 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  <. (LineG ` 
ndx ) ,  ( x  e.  ( EE
`  N ) ,  y  e.  ( ( EE `  N ) 
\  { x }
)  |->  { z  e.  ( EE `  N
)  |  ( z 
Btwn  <. x ,  y
>.  \/  x  Btwn  <. z ,  y >.  \/  y  Btwn  <. x ,  z
>. ) } ) >.  e.  (EEG `  N )
)
18 fvex 5801 . . . . 5  |-  ( EE
`  N )  e. 
_V
19 difexg 4540 . . . . . 6  |-  ( ( EE `  N )  e.  _V  ->  (
( EE `  N
)  \  { x } )  e.  _V )
2018, 19ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ( EE `  N ) 
\  { x }
)  e.  _V
2118, 20mpt2ex 6752 . . . 4  |-  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( ( EE
`  N )  \  { x } ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  ( z  Btwn  <.
x ,  y >.  \/  x  Btwn  <. z ,  y >.  \/  y  Btwn  <. x ,  z
>. ) } )  e. 
_V
2221a1i 11 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
x  e.  ( EE
`  N ) ,  y  e.  ( ( EE `  N ) 
\  { x }
)  |->  { z  e.  ( EE `  N
)  |  ( z 
Btwn  <. x ,  y
>.  \/  x  Btwn  <. z ,  y >.  \/  y  Btwn  <. x ,  z
>. ) } )  e. 
_V )
231, 3, 11, 17, 22strfv2d 14310 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
x  e.  ( EE
`  N ) ,  y  e.  ( ( EE `  N ) 
\  { x }
)  |->  { z  e.  ( EE `  N
)  |  ( z 
Btwn  <. x ,  y
>.  \/  x  Btwn  <. z ,  y >.  \/  y  Btwn  <. x ,  z
>. ) } )  =  (LineG `  (EEG `  N
) ) )
24 eengbas 23364 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( EE `  N )  =  ( Base `  (EEG `  N ) ) )
25 elntg.1 . . . 4  |-  P  =  ( Base `  (EEG `  N ) )
2624, 25syl6eqr 2510 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( EE `  N )  =  P )
2726difeq1d 3573 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( EE `  N
)  \  { x } )  =  ( P  \  { x } ) )
2827ralrimivw 2823 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  A. x  e.  ( EE `  N
) ( ( EE
`  N )  \  { x } )  =  ( P  \  { x } ) )
2928r19.21bi 2912 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( ( EE `  N )  \  {
x } )  =  ( P  \  {
x } ) )
3026adantr 465 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( ( EE `  N )  \  { x } ) ) )  ->  ( EE `  N )  =  P )
31 simpll 753 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( ( EE `  N
)  \  { x } ) ) )  /\  z  e.  ( EE `  N ) )  ->  N  e.  NN )
32 elntg.2 . . . . . 6  |-  I  =  (Itv `  (EEG `  N
) )
33 simplrl 759 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( ( EE `  N
)  \  { x } ) ) )  /\  z  e.  ( EE `  N ) )  ->  x  e.  ( EE `  N ) )
3431, 26syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( ( EE `  N
)  \  { x } ) ) )  /\  z  e.  ( EE `  N ) )  ->  ( EE `  N )  =  P )
3533, 34eleqtrd 2541 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( ( EE `  N
)  \  { x } ) ) )  /\  z  e.  ( EE `  N ) )  ->  x  e.  P )
36 simplrr 760 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( ( EE `  N
)  \  { x } ) ) )  /\  z  e.  ( EE `  N ) )  ->  y  e.  ( ( EE `  N )  \  {
x } ) )
3736eldifad 3440 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( ( EE `  N
)  \  { x } ) ) )  /\  z  e.  ( EE `  N ) )  ->  y  e.  ( EE `  N ) )
3837, 34eleqtrd 2541 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( ( EE `  N
)  \  { x } ) ) )  /\  z  e.  ( EE `  N ) )  ->  y  e.  P )
39 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( ( EE `  N
)  \  { x } ) ) )  /\  z  e.  ( EE `  N ) )  ->  z  e.  ( EE `  N ) )
4039, 34eleqtrd 2541 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( ( EE `  N
)  \  { x } ) ) )  /\  z  e.  ( EE `  N ) )  ->  z  e.  P )
4131, 25, 32, 35, 38, 40ebtwntg 23365 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( ( EE `  N
)  \  { x } ) ) )  /\  z  e.  ( EE `  N ) )  ->  ( z  Btwn  <. x ,  y
>. 
<->  z  e.  ( x I y ) ) )
4231, 25, 32, 40, 38, 35ebtwntg 23365 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( ( EE `  N
)  \  { x } ) ) )  /\  z  e.  ( EE `  N ) )  ->  ( x  Btwn  <. z ,  y
>. 
<->  x  e.  ( z I y ) ) )
4331, 25, 32, 35, 40, 38ebtwntg 23365 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( ( EE `  N
)  \  { x } ) ) )  /\  z  e.  ( EE `  N ) )  ->  ( y  Btwn  <. x ,  z
>. 
<->  y  e.  ( x I z ) ) )
4441, 42, 433orbi123d 1289 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( ( EE `  N
)  \  { x } ) ) )  /\  z  e.  ( EE `  N ) )  ->  ( (
z  Btwn  <. x ,  y >.  \/  x  Btwn  <. z ,  y
>.  \/  y  Btwn  <. x ,  z >. )  <->  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) )
4530, 44rabeqbidva 3066 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( ( EE `  N )  \  { x } ) ) )  ->  { z  e.  ( EE `  N )  |  ( z  Btwn  <. x ,  y >.  \/  x  Btwn  <. z ,  y
>.  \/  y  Btwn  <. x ,  z >. ) }  =  { z  e.  P  |  (
z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } )
4626, 29, 45mpt2eq123dva 6248 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
x  e.  ( EE
`  N ) ,  y  e.  ( ( EE `  N ) 
\  { x }
)  |->  { z  e.  ( EE `  N
)  |  ( z 
Btwn  <. x ,  y
>.  \/  x  Btwn  <. z ,  y >.  \/  y  Btwn  <. x ,  z
>. ) } )  =  ( x  e.  P ,  y  e.  ( P  \  { x }
)  |->  { z  e.  P  |  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } ) )
4723, 46eqtr3d 2494 1  |-  ( N  e.  NN  ->  (LineG `  (EEG `  N )
)  =  ( x  e.  P ,  y  e.  ( P  \  { x } ) 
|->  { z  e.  P  |  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    \/ w3o 964    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   {crab 2799   _Vcvv 3070    \ cdif 3425    u. cun 3426    C_ wss 3428   (/)c0 3737   {csn 3977   {cpr 3979   <.cop 3983   class class class wbr 4392   `'ccnv 4939   dom cdm 4940   Fun wfun 5512   ` cfv 5518  (class class class)co 6192    |-> cmpt2 6194   1c1 9386    <_ cle 9522    - cmin 9698   NNcn 10425   2c2 10474   7c7 10479  ;cdc 10858   ...cfz 11540   ^cexp 11968   sum_csu 13267   Struct cstr 14274   ndxcnx 14275   Basecbs 14278   distcds 14351  Itvcitv 23014  LineGclng 23015   EEcee 23271    Btwn cbtwn 23272  EEGceeng 23360
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-oadd 7026  df-er 7203  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-4 10485  df-5 10486  df-6 10487  df-7 10488  df-8 10489  df-9 10490  df-10 10491  df-n0 10683  df-z 10750  df-dec 10859  df-uz 10965  df-fz 11541  df-seq 11910  df-sum 13268  df-struct 14280  df-ndx 14281  df-slot 14282  df-base 14283  df-ds 14364  df-itv 23016  df-lng 23017  df-eeng 23361
This theorem is referenced by:  eengtrkg  23368
  Copyright terms: Public domain W3C validator