MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elntg Structured version   Unicode version

Theorem elntg 24851
Description: The line definition in the Tarski structure for the Euclidean geometry. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
elntg.1  |-  P  =  ( Base `  (EEG `  N ) )
elntg.2  |-  I  =  (Itv `  (EEG `  N
) )
Assertion
Ref Expression
elntg  |-  ( N  e.  NN  ->  (LineG `  (EEG `  N )
)  =  ( x  e.  P ,  y  e.  ( P  \  { x } ) 
|->  { z  e.  P  |  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, N    z, P
Allowed substitution hints:    P( x, y)    I( x, y, z)

Proof of Theorem elntg
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lngid 24345 . . 3  |- LineG  = Slot  (LineG ` 
ndx )
2 fvex 5891 . . . 4  |-  (EEG `  N )  e.  _V
32a1i 11 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (EEG `  N )  e.  _V )
4 eengstr 24847 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (EEG `  N ) Struct  <. 1 , ; 1 7 >. )
5 isstruct 15085 . . . . . 6  |-  ( (EEG
`  N ) Struct  <. 1 , ; 1 7 >.  <->  ( (
1  e.  NN  /\ ; 1 7  e.  NN  /\  1  <_ ; 1
7 )  /\  Fun  ( (EEG `  N )  \  { (/) } )  /\  dom  (EEG `  N )  C_  ( 1 ...; 1 7 ) ) )
65simp2bi 1021 . . . . 5  |-  ( (EEG
`  N ) Struct  <. 1 , ; 1 7 >.  ->  Fun  ( (EEG `  N )  \  { (/) } ) )
74, 6syl 17 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  Fun  ( (EEG `  N )  \  { (/) } ) )
8 structcnvcnv 15086 . . . . . 6  |-  ( (EEG
`  N ) Struct  <. 1 , ; 1 7 >.  ->  `' `' (EEG `  N )  =  ( (EEG `  N )  \  { (/)
} ) )
94, 8syl 17 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  `' `' (EEG `  N )  =  ( (EEG `  N )  \  { (/)
} ) )
109funeqd 5622 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( Fun  `' `' (EEG `  N )  <->  Fun  ( (EEG `  N
)  \  { (/) } ) ) )
117, 10mpbird 235 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  Fun  `' `' (EEG `  N )
)
12 opex 4686 . . . . . 6  |-  <. (LineG ` 
ndx ) ,  ( x  e.  ( EE
`  N ) ,  y  e.  ( ( EE `  N ) 
\  { x }
)  |->  { z  e.  ( EE `  N
)  |  ( z 
Btwn  <. x ,  y
>.  \/  x  Btwn  <. z ,  y >.  \/  y  Btwn  <. x ,  z
>. ) } ) >.  e.  _V
1312prid2 4112 . . . . 5  |-  <. (LineG ` 
ndx ) ,  ( x  e.  ( EE
`  N ) ,  y  e.  ( ( EE `  N ) 
\  { x }
)  |->  { z  e.  ( EE `  N
)  |  ( z 
Btwn  <. x ,  y
>.  \/  x  Btwn  <. z ,  y >.  \/  y  Btwn  <. x ,  z
>. ) } ) >.  e.  { <. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N
) ,  y  e.  ( EE `  N
)  |->  { z  e.  ( EE `  N
)  |  z  Btwn  <.
x ,  y >. } ) >. ,  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE
`  N ) ,  y  e.  ( ( EE `  N ) 
\  { x }
)  |->  { z  e.  ( EE `  N
)  |  ( z 
Btwn  <. x ,  y
>.  \/  x  Btwn  <. z ,  y >.  \/  y  Btwn  <. x ,  z
>. ) } ) >. }
14 elun2 3640 . . . . 5  |-  ( <.
(LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( ( EE `  N
)  \  { x } )  |->  { z  e.  ( EE `  N )  |  ( z  Btwn  <. x ,  y >.  \/  x  Btwn  <. z ,  y
>.  \/  y  Btwn  <. x ,  z >. ) } ) >.  e.  { <. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  z  Btwn  <. x ,  y >. } )
>. ,  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( ( EE
`  N )  \  { x } ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  ( z  Btwn  <.
x ,  y >.  \/  x  Btwn  <. z ,  y >.  \/  y  Btwn  <. x ,  z
>. ) } ) >. }  ->  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N
) ,  y  e.  ( ( EE `  N )  \  {
x } )  |->  { z  e.  ( EE
`  N )  |  ( z  Btwn  <. x ,  y >.  \/  x  Btwn  <. z ,  y
>.  \/  y  Btwn  <. x ,  z >. ) } ) >.  e.  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  ( EE `  N ) >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( x `
 i )  -  ( y `  i
) ) ^ 2 ) ) >. }  u.  {
<. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  z  Btwn  <. x ,  y >. } )
>. ,  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( ( EE
`  N )  \  { x } ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  ( z  Btwn  <.
x ,  y >.  \/  x  Btwn  <. z ,  y >.  \/  y  Btwn  <. x ,  z
>. ) } ) >. } ) )
1513, 14ax-mp 5 . . . 4  |-  <. (LineG ` 
ndx ) ,  ( x  e.  ( EE
`  N ) ,  y  e.  ( ( EE `  N ) 
\  { x }
)  |->  { z  e.  ( EE `  N
)  |  ( z 
Btwn  <. x ,  y
>.  \/  x  Btwn  <. z ,  y >.  \/  y  Btwn  <. x ,  z
>. ) } ) >.  e.  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  ( EE `  N
) >. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( x `
 i )  -  ( y `  i
) ) ^ 2 ) ) >. }  u.  {
<. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  z  Btwn  <. x ,  y >. } )
>. ,  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( ( EE
`  N )  \  { x } ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  ( z  Btwn  <.
x ,  y >.  \/  x  Btwn  <. z ,  y >.  \/  y  Btwn  <. x ,  z
>. ) } ) >. } )
16 eengv 24846 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (EEG `  N )  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  ( EE `  N ) >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( x `
 i )  -  ( y `  i
) ) ^ 2 ) ) >. }  u.  {
<. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  z  Btwn  <. x ,  y >. } )
>. ,  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( ( EE
`  N )  \  { x } ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  ( z  Btwn  <.
x ,  y >.  \/  x  Btwn  <. z ,  y >.  \/  y  Btwn  <. x ,  z
>. ) } ) >. } ) )
1715, 16syl5eleqr 2524 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  <. (LineG ` 
ndx ) ,  ( x  e.  ( EE
`  N ) ,  y  e.  ( ( EE `  N ) 
\  { x }
)  |->  { z  e.  ( EE `  N
)  |  ( z 
Btwn  <. x ,  y
>.  \/  x  Btwn  <. z ,  y >.  \/  y  Btwn  <. x ,  z
>. ) } ) >.  e.  (EEG `  N )
)
18 fvex 5891 . . . . 5  |-  ( EE
`  N )  e. 
_V
19 difexg 4573 . . . . . 6  |-  ( ( EE `  N )  e.  _V  ->  (
( EE `  N
)  \  { x } )  e.  _V )
2018, 19ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ( EE `  N ) 
\  { x }
)  e.  _V
2118, 20mpt2ex 6884 . . . 4  |-  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( ( EE
`  N )  \  { x } ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  ( z  Btwn  <.
x ,  y >.  \/  x  Btwn  <. z ,  y >.  \/  y  Btwn  <. x ,  z
>. ) } )  e. 
_V
2221a1i 11 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
x  e.  ( EE
`  N ) ,  y  e.  ( ( EE `  N ) 
\  { x }
)  |->  { z  e.  ( EE `  N
)  |  ( z 
Btwn  <. x ,  y
>.  \/  x  Btwn  <. z ,  y >.  \/  y  Btwn  <. x ,  z
>. ) } )  e. 
_V )
231, 3, 11, 17, 22strfv2d 15109 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
x  e.  ( EE
`  N ) ,  y  e.  ( ( EE `  N ) 
\  { x }
)  |->  { z  e.  ( EE `  N
)  |  ( z 
Btwn  <. x ,  y
>.  \/  x  Btwn  <. z ,  y >.  \/  y  Btwn  <. x ,  z
>. ) } )  =  (LineG `  (EEG `  N
) ) )
24 eengbas 24848 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( EE `  N )  =  ( Base `  (EEG `  N ) ) )
25 elntg.1 . . . 4  |-  P  =  ( Base `  (EEG `  N ) )
2624, 25syl6eqr 2488 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( EE `  N )  =  P )
2726difeq1d 3588 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( EE `  N
)  \  { x } )  =  ( P  \  { x } ) )
2827adantr 466 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( ( EE `  N )  \  {
x } )  =  ( P  \  {
x } ) )
2926adantr 466 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( ( EE `  N )  \  { x } ) ) )  ->  ( EE `  N )  =  P )
30 simpll 758 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( ( EE `  N
)  \  { x } ) ) )  /\  z  e.  ( EE `  N ) )  ->  N  e.  NN )
31 elntg.2 . . . . . 6  |-  I  =  (Itv `  (EEG `  N
) )
32 simplrl 768 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( ( EE `  N
)  \  { x } ) ) )  /\  z  e.  ( EE `  N ) )  ->  x  e.  ( EE `  N ) )
3330, 26syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( ( EE `  N
)  \  { x } ) ) )  /\  z  e.  ( EE `  N ) )  ->  ( EE `  N )  =  P )
3432, 33eleqtrd 2519 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( ( EE `  N
)  \  { x } ) ) )  /\  z  e.  ( EE `  N ) )  ->  x  e.  P )
35 simplrr 769 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( ( EE `  N
)  \  { x } ) ) )  /\  z  e.  ( EE `  N ) )  ->  y  e.  ( ( EE `  N )  \  {
x } ) )
3635eldifad 3454 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( ( EE `  N
)  \  { x } ) ) )  /\  z  e.  ( EE `  N ) )  ->  y  e.  ( EE `  N ) )
3736, 33eleqtrd 2519 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( ( EE `  N
)  \  { x } ) ) )  /\  z  e.  ( EE `  N ) )  ->  y  e.  P )
38 simpr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( ( EE `  N
)  \  { x } ) ) )  /\  z  e.  ( EE `  N ) )  ->  z  e.  ( EE `  N ) )
3938, 33eleqtrd 2519 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( ( EE `  N
)  \  { x } ) ) )  /\  z  e.  ( EE `  N ) )  ->  z  e.  P )
4030, 25, 31, 34, 37, 39ebtwntg 24849 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( ( EE `  N
)  \  { x } ) ) )  /\  z  e.  ( EE `  N ) )  ->  ( z  Btwn  <. x ,  y
>. 
<->  z  e.  ( x I y ) ) )
4130, 25, 31, 39, 37, 34ebtwntg 24849 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( ( EE `  N
)  \  { x } ) ) )  /\  z  e.  ( EE `  N ) )  ->  ( x  Btwn  <. z ,  y
>. 
<->  x  e.  ( z I y ) ) )
4230, 25, 31, 34, 39, 37ebtwntg 24849 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( ( EE `  N
)  \  { x } ) ) )  /\  z  e.  ( EE `  N ) )  ->  ( y  Btwn  <. x ,  z
>. 
<->  y  e.  ( x I z ) ) )
4340, 41, 423orbi123d 1334 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( ( EE `  N
)  \  { x } ) ) )  /\  z  e.  ( EE `  N ) )  ->  ( (
z  Btwn  <. x ,  y >.  \/  x  Btwn  <. z ,  y
>.  \/  y  Btwn  <. x ,  z >. )  <->  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) )
4429, 43rabeqbidva 3083 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( ( EE `  N )  \  { x } ) ) )  ->  { z  e.  ( EE `  N )  |  ( z  Btwn  <. x ,  y >.  \/  x  Btwn  <. z ,  y
>.  \/  y  Btwn  <. x ,  z >. ) }  =  { z  e.  P  |  (
z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } )
4526, 28, 44mpt2eq123dva 6366 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
x  e.  ( EE
`  N ) ,  y  e.  ( ( EE `  N ) 
\  { x }
)  |->  { z  e.  ( EE `  N
)  |  ( z 
Btwn  <. x ,  y
>.  \/  x  Btwn  <. z ,  y >.  \/  y  Btwn  <. x ,  z
>. ) } )  =  ( x  e.  P ,  y  e.  ( P  \  { x }
)  |->  { z  e.  P  |  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } ) )
4623, 45eqtr3d 2472 1  |-  ( N  e.  NN  ->  (LineG `  (EEG `  N )
)  =  ( x  e.  P ,  y  e.  ( P  \  { x } ) 
|->  { z  e.  P  |  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    \/ w3o 981    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870   {crab 2786   _Vcvv 3087    \ cdif 3439    u. cun 3440    C_ wss 3442   (/)c0 3767   {csn 4002   {cpr 4004   <.cop 4008   class class class wbr 4426   `'ccnv 4853   dom cdm 4854   Fun wfun 5595   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    |-> cmpt2 6307   1c1 9539    <_ cle 9675    - cmin 9859   NNcn 10609   2c2 10659   7c7 10664  ;cdc 11051   ...cfz 11782   ^cexp 12269   sum_csu 13730   Struct cstr 15071   ndxcnx 15072   Basecbs 15075   distcds 15152  Itvcitv 24338  LineGclng 24339   EEcee 24755    Btwn cbtwn 24756  EEGceeng 24844
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-fz 11783  df-seq 12211  df-sum 13731  df-struct 15077  df-ndx 15078  df-slot 15079  df-base 15080  df-ds 15165  df-itv 24340  df-lng 24341  df-eeng 24845
This theorem is referenced by:  eengtrkg  24852
  Copyright terms: Public domain W3C validator