MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elntg Structured version   Unicode version

Theorem elntg 23963
Description: The line definition in the Tarski structure for the Euclidean geometry. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
elntg.1  |-  P  =  ( Base `  (EEG `  N ) )
elntg.2  |-  I  =  (Itv `  (EEG `  N
) )
Assertion
Ref Expression
elntg  |-  ( N  e.  NN  ->  (LineG `  (EEG `  N )
)  =  ( x  e.  P ,  y  e.  ( P  \  { x } ) 
|->  { z  e.  P  |  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, N    z, P
Allowed substitution hints:    P( x, y)    I( x, y, z)

Proof of Theorem elntg
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lngid 23567 . . 3  |- LineG  = Slot  (LineG ` 
ndx )
2 fvex 5874 . . . 4  |-  (EEG `  N )  e.  _V
32a1i 11 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (EEG `  N )  e.  _V )
4 eengstr 23959 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (EEG `  N ) Struct  <. 1 , ; 1 7 >. )
5 isstruct 14496 . . . . . 6  |-  ( (EEG
`  N ) Struct  <. 1 , ; 1 7 >.  <->  ( (
1  e.  NN  /\ ; 1 7  e.  NN  /\  1  <_ ; 1
7 )  /\  Fun  ( (EEG `  N )  \  { (/) } )  /\  dom  (EEG `  N )  C_  ( 1 ...; 1 7 ) ) )
65simp2bi 1012 . . . . 5  |-  ( (EEG
`  N ) Struct  <. 1 , ; 1 7 >.  ->  Fun  ( (EEG `  N )  \  { (/) } ) )
74, 6syl 16 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  Fun  ( (EEG `  N )  \  { (/) } ) )
8 structcnvcnv 14497 . . . . . 6  |-  ( (EEG
`  N ) Struct  <. 1 , ; 1 7 >.  ->  `' `' (EEG `  N )  =  ( (EEG `  N )  \  { (/)
} ) )
94, 8syl 16 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  `' `' (EEG `  N )  =  ( (EEG `  N )  \  { (/)
} ) )
109funeqd 5607 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( Fun  `' `' (EEG `  N )  <->  Fun  ( (EEG `  N
)  \  { (/) } ) ) )
117, 10mpbird 232 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  Fun  `' `' (EEG `  N )
)
12 opex 4711 . . . . . 6  |-  <. (LineG ` 
ndx ) ,  ( x  e.  ( EE
`  N ) ,  y  e.  ( ( EE `  N ) 
\  { x }
)  |->  { z  e.  ( EE `  N
)  |  ( z 
Btwn  <. x ,  y
>.  \/  x  Btwn  <. z ,  y >.  \/  y  Btwn  <. x ,  z
>. ) } ) >.  e.  _V
1312prid2 4136 . . . . 5  |-  <. (LineG ` 
ndx ) ,  ( x  e.  ( EE
`  N ) ,  y  e.  ( ( EE `  N ) 
\  { x }
)  |->  { z  e.  ( EE `  N
)  |  ( z 
Btwn  <. x ,  y
>.  \/  x  Btwn  <. z ,  y >.  \/  y  Btwn  <. x ,  z
>. ) } ) >.  e.  { <. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N
) ,  y  e.  ( EE `  N
)  |->  { z  e.  ( EE `  N
)  |  z  Btwn  <.
x ,  y >. } ) >. ,  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE
`  N ) ,  y  e.  ( ( EE `  N ) 
\  { x }
)  |->  { z  e.  ( EE `  N
)  |  ( z 
Btwn  <. x ,  y
>.  \/  x  Btwn  <. z ,  y >.  \/  y  Btwn  <. x ,  z
>. ) } ) >. }
14 elun2 3672 . . . . 5  |-  ( <.
(LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( ( EE `  N
)  \  { x } )  |->  { z  e.  ( EE `  N )  |  ( z  Btwn  <. x ,  y >.  \/  x  Btwn  <. z ,  y
>.  \/  y  Btwn  <. x ,  z >. ) } ) >.  e.  { <. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  z  Btwn  <. x ,  y >. } )
>. ,  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( ( EE
`  N )  \  { x } ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  ( z  Btwn  <.
x ,  y >.  \/  x  Btwn  <. z ,  y >.  \/  y  Btwn  <. x ,  z
>. ) } ) >. }  ->  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N
) ,  y  e.  ( ( EE `  N )  \  {
x } )  |->  { z  e.  ( EE
`  N )  |  ( z  Btwn  <. x ,  y >.  \/  x  Btwn  <. z ,  y
>.  \/  y  Btwn  <. x ,  z >. ) } ) >.  e.  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  ( EE `  N ) >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( x `
 i )  -  ( y `  i
) ) ^ 2 ) ) >. }  u.  {
<. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  z  Btwn  <. x ,  y >. } )
>. ,  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( ( EE
`  N )  \  { x } ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  ( z  Btwn  <.
x ,  y >.  \/  x  Btwn  <. z ,  y >.  \/  y  Btwn  <. x ,  z
>. ) } ) >. } ) )
1513, 14ax-mp 5 . . . 4  |-  <. (LineG ` 
ndx ) ,  ( x  e.  ( EE
`  N ) ,  y  e.  ( ( EE `  N ) 
\  { x }
)  |->  { z  e.  ( EE `  N
)  |  ( z 
Btwn  <. x ,  y
>.  \/  x  Btwn  <. z ,  y >.  \/  y  Btwn  <. x ,  z
>. ) } ) >.  e.  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  ( EE `  N
) >. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( x `
 i )  -  ( y `  i
) ) ^ 2 ) ) >. }  u.  {
<. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  z  Btwn  <. x ,  y >. } )
>. ,  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( ( EE
`  N )  \  { x } ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  ( z  Btwn  <.
x ,  y >.  \/  x  Btwn  <. z ,  y >.  \/  y  Btwn  <. x ,  z
>. ) } ) >. } )
16 eengv 23958 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (EEG `  N )  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  ( EE `  N ) >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( x `
 i )  -  ( y `  i
) ) ^ 2 ) ) >. }  u.  {
<. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  z  Btwn  <. x ,  y >. } )
>. ,  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( ( EE
`  N )  \  { x } ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  ( z  Btwn  <.
x ,  y >.  \/  x  Btwn  <. z ,  y >.  \/  y  Btwn  <. x ,  z
>. ) } ) >. } ) )
1715, 16syl5eleqr 2562 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  <. (LineG ` 
ndx ) ,  ( x  e.  ( EE
`  N ) ,  y  e.  ( ( EE `  N ) 
\  { x }
)  |->  { z  e.  ( EE `  N
)  |  ( z 
Btwn  <. x ,  y
>.  \/  x  Btwn  <. z ,  y >.  \/  y  Btwn  <. x ,  z
>. ) } ) >.  e.  (EEG `  N )
)
18 fvex 5874 . . . . 5  |-  ( EE
`  N )  e. 
_V
19 difexg 4595 . . . . . 6  |-  ( ( EE `  N )  e.  _V  ->  (
( EE `  N
)  \  { x } )  e.  _V )
2018, 19ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ( EE `  N ) 
\  { x }
)  e.  _V
2118, 20mpt2ex 6857 . . . 4  |-  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( ( EE
`  N )  \  { x } ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  ( z  Btwn  <.
x ,  y >.  \/  x  Btwn  <. z ,  y >.  \/  y  Btwn  <. x ,  z
>. ) } )  e. 
_V
2221a1i 11 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
x  e.  ( EE
`  N ) ,  y  e.  ( ( EE `  N ) 
\  { x }
)  |->  { z  e.  ( EE `  N
)  |  ( z 
Btwn  <. x ,  y
>.  \/  x  Btwn  <. z ,  y >.  \/  y  Btwn  <. x ,  z
>. ) } )  e. 
_V )
231, 3, 11, 17, 22strfv2d 14518 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
x  e.  ( EE
`  N ) ,  y  e.  ( ( EE `  N ) 
\  { x }
)  |->  { z  e.  ( EE `  N
)  |  ( z 
Btwn  <. x ,  y
>.  \/  x  Btwn  <. z ,  y >.  \/  y  Btwn  <. x ,  z
>. ) } )  =  (LineG `  (EEG `  N
) ) )
24 eengbas 23960 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( EE `  N )  =  ( Base `  (EEG `  N ) ) )
25 elntg.1 . . . 4  |-  P  =  ( Base `  (EEG `  N ) )
2624, 25syl6eqr 2526 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( EE `  N )  =  P )
2726difeq1d 3621 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( EE `  N
)  \  { x } )  =  ( P  \  { x } ) )
2827ralrimivw 2879 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  A. x  e.  ( EE `  N
) ( ( EE
`  N )  \  { x } )  =  ( P  \  { x } ) )
2928r19.21bi 2833 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( ( EE `  N )  \  {
x } )  =  ( P  \  {
x } ) )
3026adantr 465 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( ( EE `  N )  \  { x } ) ) )  ->  ( EE `  N )  =  P )
31 simpll 753 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( ( EE `  N
)  \  { x } ) ) )  /\  z  e.  ( EE `  N ) )  ->  N  e.  NN )
32 elntg.2 . . . . . 6  |-  I  =  (Itv `  (EEG `  N
) )
33 simplrl 759 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( ( EE `  N
)  \  { x } ) ) )  /\  z  e.  ( EE `  N ) )  ->  x  e.  ( EE `  N ) )
3431, 26syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( ( EE `  N
)  \  { x } ) ) )  /\  z  e.  ( EE `  N ) )  ->  ( EE `  N )  =  P )
3533, 34eleqtrd 2557 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( ( EE `  N
)  \  { x } ) ) )  /\  z  e.  ( EE `  N ) )  ->  x  e.  P )
36 simplrr 760 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( ( EE `  N
)  \  { x } ) ) )  /\  z  e.  ( EE `  N ) )  ->  y  e.  ( ( EE `  N )  \  {
x } ) )
3736eldifad 3488 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( ( EE `  N
)  \  { x } ) ) )  /\  z  e.  ( EE `  N ) )  ->  y  e.  ( EE `  N ) )
3837, 34eleqtrd 2557 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( ( EE `  N
)  \  { x } ) ) )  /\  z  e.  ( EE `  N ) )  ->  y  e.  P )
39 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( ( EE `  N
)  \  { x } ) ) )  /\  z  e.  ( EE `  N ) )  ->  z  e.  ( EE `  N ) )
4039, 34eleqtrd 2557 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( ( EE `  N
)  \  { x } ) ) )  /\  z  e.  ( EE `  N ) )  ->  z  e.  P )
4131, 25, 32, 35, 38, 40ebtwntg 23961 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( ( EE `  N
)  \  { x } ) ) )  /\  z  e.  ( EE `  N ) )  ->  ( z  Btwn  <. x ,  y
>. 
<->  z  e.  ( x I y ) ) )
4231, 25, 32, 40, 38, 35ebtwntg 23961 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( ( EE `  N
)  \  { x } ) ) )  /\  z  e.  ( EE `  N ) )  ->  ( x  Btwn  <. z ,  y
>. 
<->  x  e.  ( z I y ) ) )
4331, 25, 32, 35, 40, 38ebtwntg 23961 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( ( EE `  N
)  \  { x } ) ) )  /\  z  e.  ( EE `  N ) )  ->  ( y  Btwn  <. x ,  z
>. 
<->  y  e.  ( x I z ) ) )
4441, 42, 433orbi123d 1298 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( ( EE `  N
)  \  { x } ) ) )  /\  z  e.  ( EE `  N ) )  ->  ( (
z  Btwn  <. x ,  y >.  \/  x  Btwn  <. z ,  y
>.  \/  y  Btwn  <. x ,  z >. )  <->  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) )
4530, 44rabeqbidva 3109 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( ( EE `  N )  \  { x } ) ) )  ->  { z  e.  ( EE `  N )  |  ( z  Btwn  <. x ,  y >.  \/  x  Btwn  <. z ,  y
>.  \/  y  Btwn  <. x ,  z >. ) }  =  { z  e.  P  |  (
z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } )
4626, 29, 45mpt2eq123dva 6340 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
x  e.  ( EE
`  N ) ,  y  e.  ( ( EE `  N ) 
\  { x }
)  |->  { z  e.  ( EE `  N
)  |  ( z 
Btwn  <. x ,  y
>.  \/  x  Btwn  <. z ,  y >.  \/  y  Btwn  <. x ,  z
>. ) } )  =  ( x  e.  P ,  y  e.  ( P  \  { x }
)  |->  { z  e.  P  |  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } ) )
4723, 46eqtr3d 2510 1  |-  ( N  e.  NN  ->  (LineG `  (EEG `  N )
)  =  ( x  e.  P ,  y  e.  ( P  \  { x } ) 
|->  { z  e.  P  |  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    \/ w3o 972    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   {crab 2818   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    u. cun 3474    C_ wss 3476   (/)c0 3785   {csn 4027   {cpr 4029   <.cop 4033   class class class wbr 4447   `'ccnv 4998   dom cdm 4999   Fun wfun 5580   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    |-> cmpt2 6284   1c1 9489    <_ cle 9625    - cmin 9801   NNcn 10532   2c2 10581   7c7 10586  ;cdc 10972   ...cfz 11668   ^cexp 12130   sum_csu 13467   Struct cstr 14482   ndxcnx 14483   Basecbs 14486   distcds 14560  Itvcitv 23560  LineGclng 23561   EEcee 23867    Btwn cbtwn 23868  EEGceeng 23956
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-fz 11669  df-seq 12072  df-sum 13468  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-ds 14573  df-itv 23562  df-lng 23563  df-eeng 23957
This theorem is referenced by:  eengtrkg  23964
  Copyright terms: Public domain W3C validator