MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elntg Structured version   Unicode version

Theorem elntg 23181
Description: The line definition in the Tarski structure for the Euclidean geometry. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
elntg.1  |-  P  =  ( Base `  (EEG `  N ) )
elntg.2  |-  I  =  (Itv `  (EEG `  N
) )
Assertion
Ref Expression
elntg  |-  ( N  e.  NN  ->  (LineG `  (EEG `  N )
)  =  ( x  e.  P ,  y  e.  ( P  \  { x } ) 
|->  { z  e.  P  |  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, N    z, P
Allowed substitution hints:    P( x, y)    I( x, y, z)

Proof of Theorem elntg
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lngid 22879 . . 3  |- LineG  = Slot  (LineG ` 
ndx )
2 fvex 5696 . . . 4  |-  (EEG `  N )  e.  _V
32a1i 11 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (EEG `  N )  e.  _V )
4 eengstr 23177 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (EEG `  N ) Struct  <. 1 , ; 1 7 >. )
5 isstruct 14176 . . . . . 6  |-  ( (EEG
`  N ) Struct  <. 1 , ; 1 7 >.  <->  ( (
1  e.  NN  /\ ; 1 7  e.  NN  /\  1  <_ ; 1
7 )  /\  Fun  ( (EEG `  N )  \  { (/) } )  /\  dom  (EEG `  N )  C_  ( 1 ...; 1 7 ) ) )
65simp2bi 1004 . . . . 5  |-  ( (EEG
`  N ) Struct  <. 1 , ; 1 7 >.  ->  Fun  ( (EEG `  N )  \  { (/) } ) )
74, 6syl 16 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  Fun  ( (EEG `  N )  \  { (/) } ) )
8 structcnvcnv 14177 . . . . . 6  |-  ( (EEG
`  N ) Struct  <. 1 , ; 1 7 >.  ->  `' `' (EEG `  N )  =  ( (EEG `  N )  \  { (/)
} ) )
94, 8syl 16 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  `' `' (EEG `  N )  =  ( (EEG `  N )  \  { (/)
} ) )
109funeqd 5434 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( Fun  `' `' (EEG `  N )  <->  Fun  ( (EEG `  N
)  \  { (/) } ) ) )
117, 10mpbird 232 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  Fun  `' `' (EEG `  N )
)
12 opex 4551 . . . . . 6  |-  <. (LineG ` 
ndx ) ,  ( x  e.  ( EE
`  N ) ,  y  e.  ( ( EE `  N ) 
\  { x }
)  |->  { z  e.  ( EE `  N
)  |  ( z 
Btwn  <. x ,  y
>.  \/  x  Btwn  <. z ,  y >.  \/  y  Btwn  <. x ,  z
>. ) } ) >.  e.  _V
1312prid2 3979 . . . . 5  |-  <. (LineG ` 
ndx ) ,  ( x  e.  ( EE
`  N ) ,  y  e.  ( ( EE `  N ) 
\  { x }
)  |->  { z  e.  ( EE `  N
)  |  ( z 
Btwn  <. x ,  y
>.  \/  x  Btwn  <. z ,  y >.  \/  y  Btwn  <. x ,  z
>. ) } ) >.  e.  { <. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N
) ,  y  e.  ( EE `  N
)  |->  { z  e.  ( EE `  N
)  |  z  Btwn  <.
x ,  y >. } ) >. ,  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE
`  N ) ,  y  e.  ( ( EE `  N ) 
\  { x }
)  |->  { z  e.  ( EE `  N
)  |  ( z 
Btwn  <. x ,  y
>.  \/  x  Btwn  <. z ,  y >.  \/  y  Btwn  <. x ,  z
>. ) } ) >. }
14 elun2 3519 . . . . 5  |-  ( <.
(LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( ( EE `  N
)  \  { x } )  |->  { z  e.  ( EE `  N )  |  ( z  Btwn  <. x ,  y >.  \/  x  Btwn  <. z ,  y
>.  \/  y  Btwn  <. x ,  z >. ) } ) >.  e.  { <. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  z  Btwn  <. x ,  y >. } )
>. ,  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( ( EE
`  N )  \  { x } ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  ( z  Btwn  <.
x ,  y >.  \/  x  Btwn  <. z ,  y >.  \/  y  Btwn  <. x ,  z
>. ) } ) >. }  ->  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N
) ,  y  e.  ( ( EE `  N )  \  {
x } )  |->  { z  e.  ( EE
`  N )  |  ( z  Btwn  <. x ,  y >.  \/  x  Btwn  <. z ,  y
>.  \/  y  Btwn  <. x ,  z >. ) } ) >.  e.  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  ( EE `  N ) >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( x `
 i )  -  ( y `  i
) ) ^ 2 ) ) >. }  u.  {
<. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  z  Btwn  <. x ,  y >. } )
>. ,  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( ( EE
`  N )  \  { x } ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  ( z  Btwn  <.
x ,  y >.  \/  x  Btwn  <. z ,  y >.  \/  y  Btwn  <. x ,  z
>. ) } ) >. } ) )
1513, 14ax-mp 5 . . . 4  |-  <. (LineG ` 
ndx ) ,  ( x  e.  ( EE
`  N ) ,  y  e.  ( ( EE `  N ) 
\  { x }
)  |->  { z  e.  ( EE `  N
)  |  ( z 
Btwn  <. x ,  y
>.  \/  x  Btwn  <. z ,  y >.  \/  y  Btwn  <. x ,  z
>. ) } ) >.  e.  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  ( EE `  N
) >. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( x `
 i )  -  ( y `  i
) ) ^ 2 ) ) >. }  u.  {
<. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  z  Btwn  <. x ,  y >. } )
>. ,  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( ( EE
`  N )  \  { x } ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  ( z  Btwn  <.
x ,  y >.  \/  x  Btwn  <. z ,  y >.  \/  y  Btwn  <. x ,  z
>. ) } ) >. } )
16 eengv 23176 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (EEG `  N )  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  ( EE `  N ) >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( x `
 i )  -  ( y `  i
) ) ^ 2 ) ) >. }  u.  {
<. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  z  Btwn  <. x ,  y >. } )
>. ,  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( ( EE
`  N )  \  { x } ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  ( z  Btwn  <.
x ,  y >.  \/  x  Btwn  <. z ,  y >.  \/  y  Btwn  <. x ,  z
>. ) } ) >. } ) )
1715, 16syl5eleqr 2525 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  <. (LineG ` 
ndx ) ,  ( x  e.  ( EE
`  N ) ,  y  e.  ( ( EE `  N ) 
\  { x }
)  |->  { z  e.  ( EE `  N
)  |  ( z 
Btwn  <. x ,  y
>.  \/  x  Btwn  <. z ,  y >.  \/  y  Btwn  <. x ,  z
>. ) } ) >.  e.  (EEG `  N )
)
18 fvex 5696 . . . . 5  |-  ( EE
`  N )  e. 
_V
19 difexg 4435 . . . . . 6  |-  ( ( EE `  N )  e.  _V  ->  (
( EE `  N
)  \  { x } )  e.  _V )
2018, 19ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ( EE `  N ) 
\  { x }
)  e.  _V
2118, 20mpt2ex 6645 . . . 4  |-  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( ( EE
`  N )  \  { x } ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  ( z  Btwn  <.
x ,  y >.  \/  x  Btwn  <. z ,  y >.  \/  y  Btwn  <. x ,  z
>. ) } )  e. 
_V
2221a1i 11 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
x  e.  ( EE
`  N ) ,  y  e.  ( ( EE `  N ) 
\  { x }
)  |->  { z  e.  ( EE `  N
)  |  ( z 
Btwn  <. x ,  y
>.  \/  x  Btwn  <. z ,  y >.  \/  y  Btwn  <. x ,  z
>. ) } )  e. 
_V )
231, 3, 11, 17, 22strfv2d 14198 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
x  e.  ( EE
`  N ) ,  y  e.  ( ( EE `  N ) 
\  { x }
)  |->  { z  e.  ( EE `  N
)  |  ( z 
Btwn  <. x ,  y
>.  \/  x  Btwn  <. z ,  y >.  \/  y  Btwn  <. x ,  z
>. ) } )  =  (LineG `  (EEG `  N
) ) )
24 eengbas 23178 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( EE `  N )  =  ( Base `  (EEG `  N ) ) )
25 elntg.1 . . . 4  |-  P  =  ( Base `  (EEG `  N ) )
2624, 25syl6eqr 2488 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( EE `  N )  =  P )
2726difeq1d 3468 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( EE `  N
)  \  { x } )  =  ( P  \  { x } ) )
2827ralrimivw 2795 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  A. x  e.  ( EE `  N
) ( ( EE
`  N )  \  { x } )  =  ( P  \  { x } ) )
2928r19.21bi 2809 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( ( EE `  N )  \  {
x } )  =  ( P  \  {
x } ) )
3026adantr 465 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( ( EE `  N )  \  { x } ) ) )  ->  ( EE `  N )  =  P )
31 simpll 753 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( ( EE `  N
)  \  { x } ) ) )  /\  z  e.  ( EE `  N ) )  ->  N  e.  NN )
32 elntg.2 . . . . . 6  |-  I  =  (Itv `  (EEG `  N
) )
33 simplrl 759 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( ( EE `  N
)  \  { x } ) ) )  /\  z  e.  ( EE `  N ) )  ->  x  e.  ( EE `  N ) )
3431, 26syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( ( EE `  N
)  \  { x } ) ) )  /\  z  e.  ( EE `  N ) )  ->  ( EE `  N )  =  P )
3533, 34eleqtrd 2514 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( ( EE `  N
)  \  { x } ) ) )  /\  z  e.  ( EE `  N ) )  ->  x  e.  P )
36 simplrr 760 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( ( EE `  N
)  \  { x } ) ) )  /\  z  e.  ( EE `  N ) )  ->  y  e.  ( ( EE `  N )  \  {
x } ) )
3736eldifad 3335 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( ( EE `  N
)  \  { x } ) ) )  /\  z  e.  ( EE `  N ) )  ->  y  e.  ( EE `  N ) )
3837, 34eleqtrd 2514 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( ( EE `  N
)  \  { x } ) ) )  /\  z  e.  ( EE `  N ) )  ->  y  e.  P )
39 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( ( EE `  N
)  \  { x } ) ) )  /\  z  e.  ( EE `  N ) )  ->  z  e.  ( EE `  N ) )
4039, 34eleqtrd 2514 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( ( EE `  N
)  \  { x } ) ) )  /\  z  e.  ( EE `  N ) )  ->  z  e.  P )
4131, 25, 32, 35, 38, 40ebtwntg 23179 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( ( EE `  N
)  \  { x } ) ) )  /\  z  e.  ( EE `  N ) )  ->  ( z  Btwn  <. x ,  y
>. 
<->  z  e.  ( x I y ) ) )
4231, 25, 32, 40, 38, 35ebtwntg 23179 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( ( EE `  N
)  \  { x } ) ) )  /\  z  e.  ( EE `  N ) )  ->  ( x  Btwn  <. z ,  y
>. 
<->  x  e.  ( z I y ) ) )
4331, 25, 32, 35, 40, 38ebtwntg 23179 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( ( EE `  N
)  \  { x } ) ) )  /\  z  e.  ( EE `  N ) )  ->  ( y  Btwn  <. x ,  z
>. 
<->  y  e.  ( x I z ) ) )
4441, 42, 433orbi123d 1288 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( ( EE `  N
)  \  { x } ) ) )  /\  z  e.  ( EE `  N ) )  ->  ( (
z  Btwn  <. x ,  y >.  \/  x  Btwn  <. z ,  y
>.  \/  y  Btwn  <. x ,  z >. )  <->  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) ) )
4530, 44rabeqbidva 2963 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( ( EE `  N )  \  { x } ) ) )  ->  { z  e.  ( EE `  N )  |  ( z  Btwn  <. x ,  y >.  \/  x  Btwn  <. z ,  y
>.  \/  y  Btwn  <. x ,  z >. ) }  =  { z  e.  P  |  (
z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } )
4626, 29, 45mpt2eq123dva 6142 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
x  e.  ( EE
`  N ) ,  y  e.  ( ( EE `  N ) 
\  { x }
)  |->  { z  e.  ( EE `  N
)  |  ( z 
Btwn  <. x ,  y
>.  \/  x  Btwn  <. z ,  y >.  \/  y  Btwn  <. x ,  z
>. ) } )  =  ( x  e.  P ,  y  e.  ( P  \  { x }
)  |->  { z  e.  P  |  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } ) )
4723, 46eqtr3d 2472 1  |-  ( N  e.  NN  ->  (LineG `  (EEG `  N )
)  =  ( x  e.  P ,  y  e.  ( P  \  { x } ) 
|->  { z  e.  P  |  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    \/ w3o 964    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   {crab 2714   _Vcvv 2967    \ cdif 3320    u. cun 3321    C_ wss 3323   (/)c0 3632   {csn 3872   {cpr 3874   <.cop 3878   class class class wbr 4287   `'ccnv 4834   dom cdm 4835   Fun wfun 5407   ` cfv 5413  (class class class)co 6086    e. cmpt2 6088   1c1 9275    <_ cle 9411    - cmin 9587   NNcn 10314   2c2 10363   7c7 10368  ;cdc 10747   ...cfz 11429   ^cexp 11857   sum_csu 13155   Struct cstr 14162   ndxcnx 14163   Basecbs 14166   distcds 14239  Itvcitv 22872  LineGclng 22873   EEcee 23085    Btwn cbtwn 23086  EEGceeng 23174
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-fz 11430  df-seq 11799  df-sum 13156  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-ds 14252  df-itv 22874  df-lng 22875  df-eeng 23175
This theorem is referenced by:  eengtrkg  23182
  Copyright terms: Public domain W3C validator