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Theorem elnpi 9420
Description: Membership in positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 11-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
elnpi  |-  ( A  e.  P.  <->  ( ( A  e.  _V  /\  (/)  C.  A  /\  A  C.  Q. )  /\  A. x  e.  A  ( A. y ( y 
<Q  x  ->  y  e.  A )  /\  E. y  e.  A  x  <Q  y ) ) )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem elnpi
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3089 . 2  |-  ( A  e.  P.  ->  A  e.  _V )
2 simpl1 1008 . 2  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  (/)  C.  A  /\  A  C. 
Q. )  /\  A. x  e.  A  ( A. y ( y  <Q  x  ->  y  e.  A
)  /\  E. y  e.  A  x  <Q  y ) )  ->  A  e.  _V )
3 psseq2 3553 . . . . . 6  |-  ( z  =  A  ->  ( (/)  C.  z  <->  (/)  C.  A )
)
4 psseq1 3552 . . . . . 6  |-  ( z  =  A  ->  (
z  C.  Q.  <->  A  C.  Q. )
)
53, 4anbi12d 715 . . . . 5  |-  ( z  =  A  ->  (
( (/)  C.  z  /\  z  C.  Q. )  <->  ( (/)  C.  A  /\  A  C.  Q. )
) )
6 eleq2 2496 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  A  ->  (
y  e.  z  <->  y  e.  A ) )
76imbi2d 317 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  A  ->  (
( y  <Q  x  ->  y  e.  z )  <-> 
( y  <Q  x  ->  y  e.  A ) ) )
87albidv 1761 . . . . . . 7  |-  ( z  =  A  ->  ( A. y ( y  <Q  x  ->  y  e.  z )  <->  A. y ( y 
<Q  x  ->  y  e.  A ) ) )
9 rexeq 3023 . . . . . . 7  |-  ( z  =  A  ->  ( E. y  e.  z  x  <Q  y  <->  E. y  e.  A  x  <Q  y ) )
108, 9anbi12d 715 . . . . . 6  |-  ( z  =  A  ->  (
( A. y ( y  <Q  x  ->  y  e.  z )  /\  E. y  e.  z  x 
<Q  y )  <->  ( A. y ( y  <Q  x  ->  y  e.  A
)  /\  E. y  e.  A  x  <Q  y ) ) )
1110raleqbi1dv 3030 . . . . 5  |-  ( z  =  A  ->  ( A. x  e.  z 
( A. y ( y  <Q  x  ->  y  e.  z )  /\  E. y  e.  z  x 
<Q  y )  <->  A. x  e.  A  ( A. y ( y  <Q  x  ->  y  e.  A
)  /\  E. y  e.  A  x  <Q  y ) ) )
125, 11anbi12d 715 . . . 4  |-  ( z  =  A  ->  (
( ( (/)  C.  z  /\  z  C.  Q. )  /\  A. x  e.  z  ( A. y ( y  <Q  x  ->  y  e.  z )  /\  E. y  e.  z  x 
<Q  y ) )  <->  ( ( (/)  C.  A  /\  A  C.  Q. )  /\  A. x  e.  A  ( A. y ( y  <Q  x  ->  y  e.  A
)  /\  E. y  e.  A  x  <Q  y ) ) ) )
13 df-np 9413 . . . 4  |-  P.  =  { z  |  ( ( (/)  C.  z  /\  z  C.  Q. )  /\  A. x  e.  z  ( A. y ( y 
<Q  x  ->  y  e.  z )  /\  E. y  e.  z  x  <Q  y ) ) }
1412, 13elab2g 3219 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  e.  P.  <->  ( ( (/)  C.  A  /\  A  C.  Q. )  /\  A. x  e.  A  ( A. y ( y  <Q  x  ->  y  e.  A
)  /\  E. y  e.  A  x  <Q  y ) ) ) )
15 id 22 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  _V  /\  (/)  C.  A  /\  A  C.  Q. )  ->  ( A  e.  _V  /\  (/)  C.  A  /\  A  C.  Q. )
)
16153expib 1208 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( (/)  C.  A  /\  A  C.  Q. )  -> 
( A  e.  _V  /\  (/)  C.  A  /\  A  C. 
Q. ) ) )
17 3simpc 1004 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  (/)  C.  A  /\  A  C.  Q. )  ->  ( (/)  C.  A  /\  A  C.  Q. ) )
1816, 17impbid1 206 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( (/)  C.  A  /\  A  C.  Q. )  <->  ( A  e.  _V  /\  (/)  C.  A  /\  A  C.  Q. )
) )
1918anbi1d 709 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( ( (/)  C.  A  /\  A  C.  Q. )  /\  A. x  e.  A  ( A. y ( y 
<Q  x  ->  y  e.  A )  /\  E. y  e.  A  x  <Q  y ) )  <->  ( ( A  e.  _V  /\  (/)  C.  A  /\  A  C.  Q. )  /\  A. x  e.  A  ( A. y ( y 
<Q  x  ->  y  e.  A )  /\  E. y  e.  A  x  <Q  y ) ) ) )
2014, 19bitrd 256 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  e.  P.  <->  ( ( A  e.  _V  /\  (/)  C.  A  /\  A  C.  Q. )  /\  A. x  e.  A  ( A. y ( y 
<Q  x  ->  y  e.  A )  /\  E. y  e.  A  x  <Q  y ) ) ) )
211, 2, 20pm5.21nii 354 1  |-  ( A  e.  P.  <->  ( ( A  e.  _V  /\  (/)  C.  A  /\  A  C.  Q. )  /\  A. x  e.  A  ( A. y ( y 
<Q  x  ->  y  e.  A )  /\  E. y  e.  A  x  <Q  y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982   A.wal 1435    = wceq 1437    e. wcel 1872   A.wral 2771   E.wrex 2772   _Vcvv 3080    C. wpss 3437   (/)c0 3761   class class class wbr 4423   Q.cnq 9284    <Q cltq 9290   P.cnp 9291
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-v 3082  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-np 9413
This theorem is referenced by:  prn0  9421  prpssnq  9422  prcdnq  9425  prnmax  9427
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