Theorem elnpi 9398

Description: Membership in positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 11-May-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
elnpi	|- ( A e. P. <-> ( ( A e. _V /\ (/) C. A /\ A C. Q. ) /\ A. x e. A ( A. y ( y <Q x -> y e. A ) /\ E. y e. A x <Q y ) ) )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem elnpi

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3070	. 2 |- ( A e. P. -> A e. _V )
2		simpl1 1002	. 2 |- ( ( ( A e. _V /\ (/) C. A /\ A C. Q. ) /\ A. x e. A ( A. y ( y <Q x -> y e. A ) /\ E. y e. A x <Q y ) ) -> A e. _V )
3		psseq2 3533	. . . . . 6 |- ( z = A -> ( (/) C. z <-> (/) C. A ) )
4		psseq1 3532	. . . . . 6 |- ( z = A -> ( z C. Q. <-> A C. Q. ) )
5	3, 4	anbi12d 711	. . . . 5 |- ( z = A -> ( ( (/) C. z /\ z C. Q. ) <-> ( (/) C. A /\ A C. Q. ) ) )
6		eleq2 2477	. . . . . . . . 9 |- ( z = A -> ( y e. z <-> y e. A ) )
7	6	imbi2d 316	. . . . . . . 8 |- ( z = A -> ( ( y <Q x -> y e. z ) <-> ( y <Q x -> y e. A ) ) )
8	7	albidv 1736	. . . . . . 7 |- ( z = A -> ( A. y ( y <Q x -> y e. z ) <-> A. y ( y <Q x -> y e. A ) ) )
9		rexeq 3007	. . . . . . 7 |- ( z = A -> ( E. y e. z x <Q y <-> E. y e. A x <Q y ) )
10	8, 9	anbi12d 711	. . . . . 6 |- ( z = A -> ( ( A. y ( y <Q x -> y e. z ) /\ E. y e. z x <Q y ) <-> ( A. y ( y <Q x -> y e. A ) /\ E. y e. A x <Q y ) ) )
11	10	raleqbi1dv 3014	. . . . 5 |- ( z = A -> ( A. x e. z ( A. y ( y <Q x -> y e. z ) /\ E. y e. z x <Q y ) <-> A. x e. A ( A. y ( y <Q x -> y e. A ) /\ E. y e. A x <Q y ) ) )
12	5, 11	anbi12d 711	. . . 4 |- ( z = A -> ( ( ( (/) C. z /\ z C. Q. ) /\ A. x e. z ( A. y ( y <Q x -> y e. z ) /\ E. y e. z x <Q y ) ) <-> ( ( (/) C. A /\ A C. Q. ) /\ A. x e. A ( A. y ( y <Q x -> y e. A ) /\ E. y e. A x <Q y ) ) ) )
13		df-np 9391	. . . 4 |- P. = { z | ( ( (/) C. z /\ z C. Q. ) /\ A. x e. z ( A. y ( y <Q x -> y e. z ) /\ E. y e. z x <Q y ) ) }
14	12, 13	elab2g 3200	. . 3 |- ( A e. _V -> ( A e. P. <-> ( ( (/) C. A /\ A C. Q. ) /\ A. x e. A ( A. y ( y <Q x -> y e. A ) /\ E. y e. A x <Q y ) ) ) )
15		id 23	. . . . . 6 |- ( ( A e. _V /\ (/) C. A /\ A C. Q. ) -> ( A e. _V /\ (/) C. A /\ A C. Q. ) )
16	15	3expib 1202	. . . . 5 |- ( A e. _V -> ( ( (/) C. A /\ A C. Q. ) -> ( A e. _V /\ (/) C. A /\ A C. Q. ) ) )
17		3simpc 998	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ (/) C. A /\ A C. Q. ) -> ( (/) C. A /\ A C. Q. ) )
18	16, 17	impbid1 205	. . . 4 |- ( A e. _V -> ( ( (/) C. A /\ A C. Q. ) <-> ( A e. _V /\ (/) C. A /\ A C. Q. ) ) )
19	18	anbi1d 705	. . 3 |- ( A e. _V -> ( ( ( (/) C. A /\ A C. Q. ) /\ A. x e. A ( A. y ( y <Q x -> y e. A ) /\ E. y e. A x <Q y ) ) <-> ( ( A e. _V /\ (/) C. A /\ A C. Q. ) /\ A. x e. A ( A. y ( y <Q x -> y e. A ) /\ E. y e. A x <Q y ) ) ) )
20	14, 19	bitrd 255	. 2 |- ( A e. _V -> ( A e. P. <-> ( ( A e. _V /\ (/) C. A /\ A C. Q. ) /\ A. x e. A ( A. y ( y <Q x -> y e. A ) /\ E. y e. A x <Q y ) ) ) )
21	1, 2, 20	pm5.21nii 353	1 |- ( A e. P. <-> ( ( A e. _V /\ (/) C. A /\ A C. Q. ) /\ A. x e. A ( A. y ( y <Q x -> y e. A ) /\ E. y e. A x <Q y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 186   /\ wa 369   /\ w3a 976   A.wal 1405   = wceq 1407   e. wcel 1844   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3061   C. wpss 3417   (/)c0 3740   class class class wbr 4397   Q.cnq 9262   <Q cltq 9268   P.cnp 9269

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382

This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-an 371  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-v 3063  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-np 9391

This theorem is referenced by:  prn0  9399  prpssnq  9400  prcdnq  9403  prnmax  9405