Theorem elnpi 9362

Description: Membership in positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 11-May-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
elnpi	|- ( A e. P. <-> ( ( A e. _V /\ (/) C. A /\ A C. Q. ) /\ A. x e. A ( A. y ( y <Q x -> y e. A ) /\ E. y e. A x <Q y ) ) )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem elnpi

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3122	. 2 |- ( A e. P. -> A e. _V )
2		simpl1 999	. 2 |- ( ( ( A e. _V /\ (/) C. A /\ A C. Q. ) /\ A. x e. A ( A. y ( y <Q x -> y e. A ) /\ E. y e. A x <Q y ) ) -> A e. _V )
3		psseq2 3592	. . . . . 6 |- ( z = A -> ( (/) C. z <-> (/) C. A ) )
4		psseq1 3591	. . . . . 6 |- ( z = A -> ( z C. Q. <-> A C. Q. ) )
5	3, 4	anbi12d 710	. . . . 5 |- ( z = A -> ( ( (/) C. z /\ z C. Q. ) <-> ( (/) C. A /\ A C. Q. ) ) )
6		eleq2 2540	. . . . . . . . 9 |- ( z = A -> ( y e. z <-> y e. A ) )
7	6	imbi2d 316	. . . . . . . 8 |- ( z = A -> ( ( y <Q x -> y e. z ) <-> ( y <Q x -> y e. A ) ) )
8	7	albidv 1689	. . . . . . 7 |- ( z = A -> ( A. y ( y <Q x -> y e. z ) <-> A. y ( y <Q x -> y e. A ) ) )
9		rexeq 3059	. . . . . . 7 |- ( z = A -> ( E. y e. z x <Q y <-> E. y e. A x <Q y ) )
10	8, 9	anbi12d 710	. . . . . 6 |- ( z = A -> ( ( A. y ( y <Q x -> y e. z ) /\ E. y e. z x <Q y ) <-> ( A. y ( y <Q x -> y e. A ) /\ E. y e. A x <Q y ) ) )
11	10	raleqbi1dv 3066	. . . . 5 |- ( z = A -> ( A. x e. z ( A. y ( y <Q x -> y e. z ) /\ E. y e. z x <Q y ) <-> A. x e. A ( A. y ( y <Q x -> y e. A ) /\ E. y e. A x <Q y ) ) )
12	5, 11	anbi12d 710	. . . 4 |- ( z = A -> ( ( ( (/) C. z /\ z C. Q. ) /\ A. x e. z ( A. y ( y <Q x -> y e. z ) /\ E. y e. z x <Q y ) ) <-> ( ( (/) C. A /\ A C. Q. ) /\ A. x e. A ( A. y ( y <Q x -> y e. A ) /\ E. y e. A x <Q y ) ) ) )
13		df-np 9355	. . . 4 |- P. = { z | ( ( (/) C. z /\ z C. Q. ) /\ A. x e. z ( A. y ( y <Q x -> y e. z ) /\ E. y e. z x <Q y ) ) }
14	12, 13	elab2g 3252	. . 3 |- ( A e. _V -> ( A e. P. <-> ( ( (/) C. A /\ A C. Q. ) /\ A. x e. A ( A. y ( y <Q x -> y e. A ) /\ E. y e. A x <Q y ) ) ) )
15		id 22	. . . . . 6 |- ( ( A e. _V /\ (/) C. A /\ A C. Q. ) -> ( A e. _V /\ (/) C. A /\ A C. Q. ) )
16	15	3expib 1199	. . . . 5 |- ( A e. _V -> ( ( (/) C. A /\ A C. Q. ) -> ( A e. _V /\ (/) C. A /\ A C. Q. ) ) )
17		3simpc 995	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ (/) C. A /\ A C. Q. ) -> ( (/) C. A /\ A C. Q. ) )
18	16, 17	impbid1 203	. . . 4 |- ( A e. _V -> ( ( (/) C. A /\ A C. Q. ) <-> ( A e. _V /\ (/) C. A /\ A C. Q. ) ) )
19	18	anbi1d 704	. . 3 |- ( A e. _V -> ( ( ( (/) C. A /\ A C. Q. ) /\ A. x e. A ( A. y ( y <Q x -> y e. A ) /\ E. y e. A x <Q y ) ) <-> ( ( A e. _V /\ (/) C. A /\ A C. Q. ) /\ A. x e. A ( A. y ( y <Q x -> y e. A ) /\ E. y e. A x <Q y ) ) ) )
20	14, 19	bitrd 253	. 2 |- ( A e. _V -> ( A e. P. <-> ( ( A e. _V /\ (/) C. A /\ A C. Q. ) /\ A. x e. A ( A. y ( y <Q x -> y e. A ) /\ E. y e. A x <Q y ) ) ) )
21	1, 2, 20	pm5.21nii 353	1 |- ( A e. P. <-> ( ( A e. _V /\ (/) C. A /\ A C. Q. ) /\ A. x e. A ( A. y ( y <Q x -> y e. A ) /\ E. y e. A x <Q y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   A.wal 1377   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113   C. wpss 3477   (/)c0 3785   class class class wbr 4447   Q.cnq 9226   <Q cltq 9232   P.cnp 9233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-v 3115  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-np 9355

This theorem is referenced by:  prn0  9363  prpssnq  9364  prcdnq  9367  prnmax  9369