Theorem elnpi 9420

Description: Membership in positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 11-May-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
elnpi	|- ( A e. P. <-> ( ( A e. _V /\ (/) C. A /\ A C. Q. ) /\ A. x e. A ( A. y ( y <Q x -> y e. A ) /\ E. y e. A x <Q y ) ) )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem elnpi

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3089	. 2 |- ( A e. P. -> A e. _V )
2		simpl1 1008	. 2 |- ( ( ( A e. _V /\ (/) C. A /\ A C. Q. ) /\ A. x e. A ( A. y ( y <Q x -> y e. A ) /\ E. y e. A x <Q y ) ) -> A e. _V )
3		psseq2 3553	. . . . . 6 |- ( z = A -> ( (/) C. z <-> (/) C. A ) )
4		psseq1 3552	. . . . . 6 |- ( z = A -> ( z C. Q. <-> A C. Q. ) )
5	3, 4	anbi12d 715	. . . . 5 |- ( z = A -> ( ( (/) C. z /\ z C. Q. ) <-> ( (/) C. A /\ A C. Q. ) ) )
6		eleq2 2496	. . . . . . . . 9 |- ( z = A -> ( y e. z <-> y e. A ) )
7	6	imbi2d 317	. . . . . . . 8 |- ( z = A -> ( ( y <Q x -> y e. z ) <-> ( y <Q x -> y e. A ) ) )
8	7	albidv 1761	. . . . . . 7 |- ( z = A -> ( A. y ( y <Q x -> y e. z ) <-> A. y ( y <Q x -> y e. A ) ) )
9		rexeq 3023	. . . . . . 7 |- ( z = A -> ( E. y e. z x <Q y <-> E. y e. A x <Q y ) )
10	8, 9	anbi12d 715	. . . . . 6 |- ( z = A -> ( ( A. y ( y <Q x -> y e. z ) /\ E. y e. z x <Q y ) <-> ( A. y ( y <Q x -> y e. A ) /\ E. y e. A x <Q y ) ) )
11	10	raleqbi1dv 3030	. . . . 5 |- ( z = A -> ( A. x e. z ( A. y ( y <Q x -> y e. z ) /\ E. y e. z x <Q y ) <-> A. x e. A ( A. y ( y <Q x -> y e. A ) /\ E. y e. A x <Q y ) ) )
12	5, 11	anbi12d 715	. . . 4 |- ( z = A -> ( ( ( (/) C. z /\ z C. Q. ) /\ A. x e. z ( A. y ( y <Q x -> y e. z ) /\ E. y e. z x <Q y ) ) <-> ( ( (/) C. A /\ A C. Q. ) /\ A. x e. A ( A. y ( y <Q x -> y e. A ) /\ E. y e. A x <Q y ) ) ) )
13		df-np 9413	. . . 4 |- P. = { z | ( ( (/) C. z /\ z C. Q. ) /\ A. x e. z ( A. y ( y <Q x -> y e. z ) /\ E. y e. z x <Q y ) ) }
14	12, 13	elab2g 3219	. . 3 |- ( A e. _V -> ( A e. P. <-> ( ( (/) C. A /\ A C. Q. ) /\ A. x e. A ( A. y ( y <Q x -> y e. A ) /\ E. y e. A x <Q y ) ) ) )
15		id 22	. . . . . 6 |- ( ( A e. _V /\ (/) C. A /\ A C. Q. ) -> ( A e. _V /\ (/) C. A /\ A C. Q. ) )
16	15	3expib 1208	. . . . 5 |- ( A e. _V -> ( ( (/) C. A /\ A C. Q. ) -> ( A e. _V /\ (/) C. A /\ A C. Q. ) ) )
17		3simpc 1004	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ (/) C. A /\ A C. Q. ) -> ( (/) C. A /\ A C. Q. ) )
18	16, 17	impbid1 206	. . . 4 |- ( A e. _V -> ( ( (/) C. A /\ A C. Q. ) <-> ( A e. _V /\ (/) C. A /\ A C. Q. ) ) )
19	18	anbi1d 709	. . 3 |- ( A e. _V -> ( ( ( (/) C. A /\ A C. Q. ) /\ A. x e. A ( A. y ( y <Q x -> y e. A ) /\ E. y e. A x <Q y ) ) <-> ( ( A e. _V /\ (/) C. A /\ A C. Q. ) /\ A. x e. A ( A. y ( y <Q x -> y e. A ) /\ E. y e. A x <Q y ) ) ) )
20	14, 19	bitrd 256	. 2 |- ( A e. _V -> ( A e. P. <-> ( ( A e. _V /\ (/) C. A /\ A C. Q. ) /\ A. x e. A ( A. y ( y <Q x -> y e. A ) /\ E. y e. A x <Q y ) ) ) )
21	1, 2, 20	pm5.21nii 354	1 |- ( A e. P. <-> ( ( A e. _V /\ (/) C. A /\ A C. Q. ) /\ A. x e. A ( A. y ( y <Q x -> y e. A ) /\ E. y e. A x <Q y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   /\ w3a 982   A.wal 1435   = wceq 1437   e. wcel 1872   A.wral 2771   E.wrex 2772   _Vcvv 3080   C. wpss 3437   (/)c0 3761   class class class wbr 4423   Q.cnq 9284   <Q cltq 9290   P.cnp 9291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-v 3082  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-np 9413

This theorem is referenced by:  prn0  9421  prpssnq  9422  prcdnq  9425  prnmax  9427