Theorem elnp 5181

Description: Membership in positive reals.

Assertion

Ref	Expression
elnp	|- (A e. P. <-> (((/) (. A /\ A (. Q.) /\ A.x e. A (A.y(y <Q x -> y e. A) /\ E.y e. A x <Q y)))

Distinct variable group:   x,y,A

Proof of Theorem elnp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elisset 1855	. 2 |- (A e. P. -> A e. V)
2		pssss 2187	. . . 4 |- (A (. Q. -> A (_ Q.)
3		nqex 5138	. . . . 5 |- Q. e. V
4	3	ssex 2770	. . . 4 |- (A (_ Q. -> A e. V)
5	2, 4	syl 10	. . 3 |- (A (. Q. -> A e. V)
6	5	ad2antlr 405	. 2 |- ((((/) (. A /\ A (. Q.) /\ A.x e. A (A.y(y <Q x -> y e. A) /\ E.y e. A x <Q y)) -> A e. V)
7		psseq2 2180	. . . . 5 |- (z = A -> ((/) (. z <-> (/) (. A))
8		psseq1 2179	. . . . 5 |- (z = A -> (z (. Q. <-> A (. Q.))
9	7, 8	anbi12d 630	. . . 4 |- (z = A -> (((/) (. z /\ z (. Q.) <-> ((/) (. A /\ A (. Q.)))
10		eleq2 1572	. . . . . . . 8 |- (z = A -> (y e. z <-> y e. A))
11	10	imbi2d 614	. . . . . . 7 |- (z = A -> ((y <Q x -> y e. z) <-> (y <Q x -> y e. A)))
12	11	albidv 1311	. . . . . 6 |- (z = A -> (A.y(y <Q x -> y e. z) <-> A.y(y <Q x -> y e. A)))
13		rexeq1 1825	. . . . . 6 |- (z = A -> (E.y e. z x <Q y <-> E.y e. A x <Q y))
14	12, 13	anbi12d 630	. . . . 5 |- (z = A -> ((A.y(y <Q x -> y e. z) /\ E.y e. z x <Q y) <-> (A.y(y <Q x -> y e. A) /\ E.y e. A x <Q y)))
15	14	raleqd 1829	. . . 4 |- (z = A -> (A.x e. z (A.y(y <Q x -> y e. z) /\ E.y e. z x <Q y) <-> A.x e. A (A.y(y <Q x -> y e. A) /\ E.y e. A x <Q y)))
16	9, 15	anbi12d 630	. . 3 |- (z = A -> ((((/) (. z /\ z (. Q.) /\ A.x e. z (A.y(y <Q x -> y e. z) /\ E.y e. z x <Q y)) <-> (((/) (. A /\ A (. Q.) /\ A.x e. A (A.y(y <Q x -> y e. A) /\ E.y e. A x <Q y))))
17		df-np 5175	. . 3 |- P. = {z | (((/) (. z /\ z (. Q.) /\ A.x e. z (A.y(y <Q x -> y e. z) /\ E.y e. z x <Q y))}
18	16, 17	elab2g 1938	. 2 |- (A e. V -> (A e. P. <-> (((/) (. A /\ A (. Q.) /\ A.x e. A (A.y(y <Q x -> y e. A) /\ E.y e. A x <Q y))))
19	1, 6, 18	pm5.21nii 682	1 |- (A e. P. <-> (((/) (. A /\ A (. Q.) /\ A.x e. A (A.y(y <Q x -> y e. A) /\ E.y e. A x <Q y)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 144   /\ wa 221  A.wal 986   = wceq 988   e. wcel 990  A.wral 1683  E.wrex 1684  Vcvv 1849   (_ wss 2091   (. wpss 2092  (/)c0 2324   class class class wbr 2669  Q.cnq 5068   <Q cltq 5073  P.cnp 5074

This theorem is referenced by:  prn0 5182  prpssnq 5183  prcdpq 5186  prnmax 5188  genpcl 5200  1pr 5206  ltexprlem5 5235  reclem2pr 5246  suplem1pr 5250

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 994  ax-gen 995  ax-8 996  ax-9 997  ax-10 998  ax-11 999  ax-12 1000  ax-13 1001  ax-14 1002  ax-17 1003  ax-4 1005  ax-5o 1007  ax-6o 1010  ax-9o 1155  ax-10o 1173  ax-16 1243  ax-11o 1251  ax-ext 1494  ax-rep 2744  ax-sep 2754  ax-nul 2761  ax-pow 2794  ax-pr 2832  ax-un 2920  ax-inf2 4711

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 779  df-3an 780  df-ex 1013  df-sb 1205  df-eu 1415  df-mo 1416  df-clab 1500  df-cleq 1505  df-clel 1508  df-ne 1624  df-ral 1687  df-rex 1688  df-v 1850  df-dif 2093  df-un 2094  df-in 2095  df-ss 2097  df-pss 2099  df-nul 2325  df-if 2407  df-pw 2447  df-sn 2457  df-pr 2458  df-tp 2460  df-op 2461  df-uni 2552  df-br 2670  df-opab 2718  df-tr 2732  df-eprel 2886  df-id 2889  df-po 2894  df-so 2904  df-fr 2972  df-we 2989  df-ord 3006  df-on 3007  df-lim 3008  df-suc 3009  df-om 3193  df-xp 3239  df-rel 3240  df-cnv 3241  df-co 3242  df-dm 3243  df-rn 3244  df-res 3245  df-ima 3246  df-fun 3247  df-fn 3248  df-qs 4350  df-ni 5089  df-nq 5127  df-np 5175

Copyright terms: Public domain