MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elnp Structured version   Unicode version

Theorem elnp 9358
Description: Membership in positive reals. (Contributed by NM, 16-Feb-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
elnp  |-  ( A  e.  P.  <->  ( ( (/)  C.  A  /\  A  C.  Q. )  /\  A. x  e.  A  ( A. y ( y  <Q  x  ->  y  e.  A
)  /\  E. y  e.  A  x  <Q  y ) ) )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem elnp
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3026 . 2  |-  ( A  e.  P.  ->  A  e.  _V )
2 pssss 3498 . . . 4  |-  ( A 
C.  Q.  ->  A  C_  Q. )
3 nqex 9294 . . . . 5  |-  Q.  e.  _V
43ssex 4506 . . . 4  |-  ( A 
C_  Q.  ->  A  e. 
_V )
52, 4syl 17 . . 3  |-  ( A 
C.  Q.  ->  A  e. 
_V )
65ad2antlr 731 . 2  |-  ( ( ( (/)  C.  A  /\  A  C.  Q. )  /\  A. x  e.  A  ( A. y ( y 
<Q  x  ->  y  e.  A )  /\  E. y  e.  A  x  <Q  y ) )  ->  A  e.  _V )
7 psseq2 3491 . . . . 5  |-  ( z  =  A  ->  ( (/)  C.  z  <->  (/)  C.  A )
)
8 psseq1 3490 . . . . 5  |-  ( z  =  A  ->  (
z  C.  Q.  <->  A  C.  Q. )
)
97, 8anbi12d 715 . . . 4  |-  ( z  =  A  ->  (
( (/)  C.  z  /\  z  C.  Q. )  <->  ( (/)  C.  A  /\  A  C.  Q. )
) )
10 eleq2 2490 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  A  ->  (
y  e.  z  <->  y  e.  A ) )
1110imbi2d 317 . . . . . . 7  |-  ( z  =  A  ->  (
( y  <Q  x  ->  y  e.  z )  <-> 
( y  <Q  x  ->  y  e.  A ) ) )
1211albidv 1761 . . . . . 6  |-  ( z  =  A  ->  ( A. y ( y  <Q  x  ->  y  e.  z )  <->  A. y ( y 
<Q  x  ->  y  e.  A ) ) )
13 rexeq 2960 . . . . . 6  |-  ( z  =  A  ->  ( E. y  e.  z  x  <Q  y  <->  E. y  e.  A  x  <Q  y ) )
1412, 13anbi12d 715 . . . . 5  |-  ( z  =  A  ->  (
( A. y ( y  <Q  x  ->  y  e.  z )  /\  E. y  e.  z  x 
<Q  y )  <->  ( A. y ( y  <Q  x  ->  y  e.  A
)  /\  E. y  e.  A  x  <Q  y ) ) )
1514raleqbi1dv 2967 . . . 4  |-  ( z  =  A  ->  ( A. x  e.  z 
( A. y ( y  <Q  x  ->  y  e.  z )  /\  E. y  e.  z  x 
<Q  y )  <->  A. x  e.  A  ( A. y ( y  <Q  x  ->  y  e.  A
)  /\  E. y  e.  A  x  <Q  y ) ) )
169, 15anbi12d 715 . . 3  |-  ( z  =  A  ->  (
( ( (/)  C.  z  /\  z  C.  Q. )  /\  A. x  e.  z  ( A. y ( y  <Q  x  ->  y  e.  z )  /\  E. y  e.  z  x 
<Q  y ) )  <->  ( ( (/)  C.  A  /\  A  C.  Q. )  /\  A. x  e.  A  ( A. y ( y  <Q  x  ->  y  e.  A
)  /\  E. y  e.  A  x  <Q  y ) ) ) )
17 df-np 9352 . . 3  |-  P.  =  { z  |  ( ( (/)  C.  z  /\  z  C.  Q. )  /\  A. x  e.  z  ( A. y ( y 
<Q  x  ->  y  e.  z )  /\  E. y  e.  z  x  <Q  y ) ) }
1816, 17elab2g 3157 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  e.  P.  <->  ( ( (/)  C.  A  /\  A  C.  Q. )  /\  A. x  e.  A  ( A. y ( y  <Q  x  ->  y  e.  A
)  /\  E. y  e.  A  x  <Q  y ) ) ) )
191, 6, 18pm5.21nii 354 1  |-  ( A  e.  P.  <->  ( ( (/)  C.  A  /\  A  C.  Q. )  /\  A. x  e.  A  ( A. y ( y  <Q  x  ->  y  e.  A
)  /\  E. y  e.  A  x  <Q  y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370   A.wal 1435    = wceq 1437    e. wcel 1872   A.wral 2709   E.wrex 2710   _Vcvv 3017    C_ wss 3374    C. wpss 3375   (/)c0 3699   class class class wbr 4361   Q.cnq 9223    <Q cltq 9229   P.cnp 9230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2403  ax-sep 4484  ax-nul 4493  ax-pow 4540  ax-pr 4598  ax-un 6536  ax-inf2 8094
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2275  df-mo 2276  df-clab 2410  df-cleq 2416  df-clel 2419  df-nfc 2553  df-ne 2596  df-ral 2714  df-rex 2715  df-rab 2718  df-v 3019  df-sbc 3238  df-dif 3377  df-un 3379  df-in 3381  df-ss 3388  df-pss 3390  df-nul 3700  df-if 3850  df-pw 3921  df-sn 3937  df-pr 3939  df-tp 3941  df-op 3943  df-uni 4158  df-br 4362  df-opab 4421  df-tr 4457  df-eprel 4702  df-po 4712  df-so 4713  df-fr 4750  df-we 4752  df-xp 4797  df-rel 4798  df-ord 5383  df-on 5384  df-lim 5385  df-suc 5386  df-om 6646  df-ni 9243  df-nq 9283  df-np 9352
This theorem is referenced by:  genpcl  9379  nqpr  9385  ltexprlem5  9411  reclem2pr  9419  suplem1pr  9423
  Copyright terms: Public domain W3C validator