Theorem elnp 6244

Description: Membership in positive reals.

Assertion

Ref	Expression
elnp	|- (A e. P. <-> (((/) C. A /\ A C. Q.) /\ A.x e. A (A.y(y <Q x -> y e. A) /\ E.y e. A x <Q y)))

Distinct variable group:   x,y,A

Proof of Theorem elnp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elisset 2299	. 2 |- (A e. P. -> A e. _V)
2		pssss 2705	. . . 4 |- (A C. Q. -> A C_ Q.)
3		nqex 6201	. . . . 5 |- Q. e. _V
4	3	ssex 3455	. . . 4 |- (A C_ Q. -> A e. _V)
5	2, 4	syl 12	. . 3 |- (A C. Q. -> A e. _V)
6	5	ad2antlr 441	. 2 |- ((((/) C. A /\ A C. Q.) /\ A.x e. A (A.y(y <Q x -> y e. A) /\ E.y e. A x <Q y)) -> A e. _V)
7		psseq2 2698	. . . . 5 |- (z = A -> ((/) C. z <-> (/) C. A))
8		psseq1 2697	. . . . 5 |- (z = A -> (z C. Q. <-> A C. Q.))
9	7, 8	anbi12d 690	. . . 4 |- (z = A -> (((/) C. z /\ z C. Q.) <-> ((/) C. A /\ A C. Q.)))
10		eleq2 1958	. . . . . . . 8 |- (z = A -> (y e. z <-> y e. A))
11	10	imbi2d 674	. . . . . . 7 |- (z = A -> ((y <Q x -> y e. z) <-> (y <Q x -> y e. A)))
12	11	albidv 1656	. . . . . 6 |- (z = A -> (A.y(y <Q x -> y e. z) <-> A.y(y <Q x -> y e. A)))
13		rexeq 2267	. . . . . 6 |- (z = A -> (E.y e. z x <Q y <-> E.y e. A x <Q y))
14	12, 13	anbi12d 690	. . . . 5 |- (z = A -> ((A.y(y <Q x -> y e. z) /\ E.y e. z x <Q y) <-> (A.y(y <Q x -> y e. A) /\ E.y e. A x <Q y)))
15	14	raleqbi1dv 2271	. . . 4 |- (z = A -> (A.x e. z (A.y(y <Q x -> y e. z) /\ E.y e. z x <Q y) <-> A.x e. A (A.y(y <Q x -> y e. A) /\ E.y e. A x <Q y)))
16	9, 15	anbi12d 690	. . 3 |- (z = A -> ((((/) C. z /\ z C. Q.) /\ A.x e. z (A.y(y <Q x -> y e. z) /\ E.y e. z x <Q y)) <-> (((/) C. A /\ A C. Q.) /\ A.x e. A (A.y(y <Q x -> y e. A) /\ E.y e. A x <Q y))))
17		df-np 6238	. . 3 |- P. = {z | (((/) C. z /\ z C. Q.) /\ A.x e. z (A.y(y <Q x -> y e. z) /\ E.y e. z x <Q y))}
18	16, 17	elab2g 2406	. 2 |- (A e. _V -> (A e. P. <-> (((/) C. A /\ A C. Q.) /\ A.x e. A (A.y(y <Q x -> y e. A) /\ E.y e. A x <Q y))))
19	1, 6, 18	pm5.21nii 743	1 |- (A e. P. <-> (((/) C. A /\ A C. Q.) /\ A.x e. A (A.y(y <Q x -> y e. A) /\ E.y e. A x <Q y)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106  _Vcvv 2292   C_ wss 2593   C. wpss 2594  (/)c0 2875   class class class wbr 3338  Q.cnq 6131   <Q cltq 6136  P.cnp 6137

This theorem is referenced by:  prn0 6245  prpssnq 6246  prcdpq 6249  prnmax 6251  genpcl 6263  1pr 6269  ltexprlem5 6298  reclem2pr 6309  suplem1pr 6313

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-qs 5323  df-ni 6152  df-nq 6190  df-np 6238

Copyright terms: Public domain