Theorem elnnz1 6265

Description: Natural number property expressed in terms of integers.

Assertion

Ref	Expression
elnnz1	|- (N e. NN <-> (N e. ZZ /\ 1 <_ N))

Proof of Theorem elnnz1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 6263	. . 3 |- (N e. NN -> N e. ZZ)
2		nnge1 6030	. . 3 |- (N e. NN -> 1 <_ N)
3	1, 2	jca 286	. 2 |- (N e. NN -> (N e. ZZ /\ 1 <_ N))
4		lt01 5769	. . . . . . . . . 10 |- 0 < 1
5		1re 5524	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. RR
6		lt0neg2 5758	. . . . . . . . . . 11 |- (1 e. RR -> (0 < 1 <-> -u1 < 0))
7	5, 6	ax-mp 7	. . . . . . . . . 10 |- (0 < 1 <-> -u1 < 0)
8	4, 7	mpbi 187	. . . . . . . . 9 |- -u1 < 0
9		leneg 5746	. . . . . . . . . . . 12 |- ((1 e. RR /\ N e. RR) -> (1 <_ N <-> -uN <_ -u1))
10	5, 9	mpan 698	. . . . . . . . . . 11 |- (N e. RR -> (1 <_ N <-> -uN <_ -u1))
11		renegcl 5526	. . . . . . . . . . . . 13 |- (N e. RR -> -uN e. RR)
12	5	renegcli 5505	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -u1 e. RR
13		0re 5529	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. RR
14		lelttr 5612	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((-uN e. RR /\ -u1 e. RR /\ 0 e. RR) -> ((-uN <_ -u1 /\ -u1 < 0) -> -uN < 0))
15	12, 13, 14	mp3an23 911	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (-uN e. RR -> ((-uN <_ -u1 /\ -u1 < 0) -> -uN < 0))
16		ltle 5609	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((-uN e. RR /\ 0 e. RR) -> (-uN < 0 -> -uN <_ 0))
17	13, 16	mpan2 699	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (-uN e. RR -> (-uN < 0 -> -uN <_ 0))
18	15, 17	syld 27	. . . . . . . . . . . . 13 |- (-uN e. RR -> ((-uN <_ -u1 /\ -u1 < 0) -> -uN <_ 0))
19	11, 18	syl 10	. . . . . . . . . . . 12 |- (N e. RR -> ((-uN <_ -u1 /\ -u1 < 0) -> -uN <_ 0))
20	19	exp3a 374	. . . . . . . . . . 11 |- (N e. RR -> (-uN <_ -u1 -> (-u1 < 0 -> -uN <_ 0)))
21	10, 20	sylbid 201	. . . . . . . . . 10 |- (N e. RR -> (1 <_ N -> (-u1 < 0 -> -uN <_ 0)))
22	21	imp 348	. . . . . . . . 9 |- ((N e. RR /\ 1 <_ N) -> (-u1 < 0 -> -uN <_ 0))
23	8, 22	mpi 44	. . . . . . . 8 |- ((N e. RR /\ 1 <_ N) -> -uN <_ 0)
24		lenlt 5599	. . . . . . . . . . 11 |- ((-uN e. RR /\ 0 e. RR) -> (-uN <_ 0 <-> -. 0 < -uN))
25	13, 24	mpan2 699	. . . . . . . . . 10 |- (-uN e. RR -> (-uN <_ 0 <-> -. 0 < -uN))
26	11, 25	syl 10	. . . . . . . . 9 |- (N e. RR -> (-uN <_ 0 <-> -. 0 < -uN))
27	26	adantr 389	. . . . . . . 8 |- ((N e. RR /\ 1 <_ N) -> (-uN <_ 0 <-> -. 0 < -uN))
28	23, 27	mpbid 193	. . . . . . 7 |- ((N e. RR /\ 1 <_ N) -> -. 0 < -uN)
29		zre 6249	. . . . . . 7 |- (N e. ZZ -> N e. RR)
30	28, 29	sylan 450	. . . . . 6 |- ((N e. ZZ /\ 1 <_ N) -> -. 0 < -uN)
31		nngt0 6033	. . . . . 6 |- (-uN e. NN -> 0 < -uN)
32	30, 31	nsyl 115	. . . . 5 |- ((N e. ZZ /\ 1 <_ N) -> -. -uN e. NN)
33		breq2 2673	. . . . . . . . . 10 |- (N = 0 -> (1 <_ N <-> 1 <_ 0))
34	5, 13	lenlti 5667	. . . . . . . . . 10 |- (1 <_ 0 <-> -. 0 < 1)
35	33, 34	syl6bb 538	. . . . . . . . 9 |- (N = 0 -> (1 <_ N <-> -. 0 < 1))
36	35	con2bid 528	. . . . . . . 8 |- (N = 0 -> (0 < 1 <-> -. 1 <_ N))
37	4, 36	mpbii 191	. . . . . . 7 |- (N = 0 -> -. 1 <_ N)
38	37	con2i 97	. . . . . 6 |- (1 <_ N -> -. N = 0)
39	38	adantl 388	. . . . 5 |- ((N e. ZZ /\ 1 <_ N) -> -. N = 0)
40	32, 39	jca 286	. . . 4 |- ((N e. ZZ /\ 1 <_ N) -> (-. -uN e. NN /\ -. N = 0))
41		ioran 304	. . . 4 |- (-. (-uN e. NN \/ N = 0) <-> (-. -uN e. NN /\ -. N = 0))
42	40, 41	sylibr 198	. . 3 |- ((N e. ZZ /\ 1 <_ N) -> -. (-uN e. NN \/ N = 0))
43		elz 6247	. . . . . 6 |- (N e. ZZ <-> (N e. RR /\ (N = 0 \/ N e. NN \/ -uN e. NN)))
44		pm3.27 321	. . . . . . 7 |- ((N e. RR /\ (N = 0 \/ N e. NN \/ -uN e. NN)) -> (N = 0 \/ N e. NN \/ -uN e. NN))
45		3orrot 784	. . . . . . . 8 |- ((-uN e. NN \/ N = 0 \/ N e. NN) <-> (N = 0 \/ N e. NN \/ -uN e. NN))
46		df-3or 779	. . . . . . . 8 |- ((-uN e. NN \/ N = 0 \/ N e. NN) <-> ((-uN e. NN \/ N = 0) \/ N e. NN))
47	45, 46	bitr3i 173	. . . . . . 7 |- ((N = 0 \/ N e. NN \/ -uN e. NN) <-> ((-uN e. NN \/ N = 0) \/ N e. NN))
48	44, 47	sylib 196	. . . . . 6 |- ((N e. RR /\ (N = 0 \/ N e. NN \/ -uN e. NN)) -> ((-uN e. NN \/ N = 0) \/ N e. NN))
49	43, 48	sylbi 197	. . . . 5 |- (N e. ZZ -> ((-uN e. NN \/ N = 0) \/ N e. NN))
50	49	ord 230	. . . 4 |- (N e. ZZ -> (-. (-uN e. NN \/ N = 0) -> N e. NN))
51	50	adantr 389	. . 3 |- ((N e. ZZ /\ 1 <_ N) -> (-. (-uN e. NN \/ N = 0) -> N e. NN))
52	42, 51	mpd 26	. 2 |- ((N e. ZZ /\ 1 <_ N) -> N e. NN)
53	3, 52	impbii 155	1 |- (N e. NN <-> (N e. ZZ /\ 1 <_ N))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 144   \/ wo 220   /\ wa 221   \/ w3o 777   = wceq 988   e. wcel 990   class class class wbr 2669  RRcr 5322  0cc0 5323  1c1 5324  -ucneg 5382   <_ cle 5384  NNcn 5385  ZZcz 5387   < clt 5575

This theorem is referenced by:  znnnlt1 6266  nnzrab 6267  elnn0nn 6281  elnnnn0c 6284  uzindOLD 6321  flge1nn 6383  elfznn 6554  bccl2 7094  ser1f0i 7293  efaddlem2 7462  efaddlem12 7472

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 994  ax-gen 995  ax-8 996  ax-9 997  ax-10 998  ax-11 999  ax-12 1000  ax-13 1001  ax-14 1002  ax-17 1003  ax-4 1005  ax-5o 1007  ax-6o 1010  ax-9o 1155  ax-10o 1173  ax-16 1243  ax-11o 1251  ax-ext 1494  ax-rep 2744  ax-sep 2754  ax-nul 2761  ax-pow 2794  ax-pr 2832  ax-un 2920  ax-inf2 4711

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 779  df-3an 780  df-ex 1013  df-sb 1205  df-eu 1415  df-mo 1416  df-clab 1500  df-cleq 1505  df-clel 1508  df-ne 1624  df-nel 1625  df-ral 1687  df-rex 1688  df-reu 1689  df-rab 1690  df-v 1850  df-sbc 1979  df-csb 2044  df-dif 2093  df-un 2094  df-in 2095  df-ss 2097  df-pss 2099  df-nul 2325  df-if 2407  df-pw 2447  df-sn 2457  df-pr 2458  df-tp 2460  df-op 2461  df-uni 2552  df-int 2582  df-iun 2616  df-br 2670  df-opab 2718  df-tr 2732  df-eprel 2886  df-id 2889  df-po 2894  df-so 2904  df-fr 2972  df-we 2989  df-ord 3006  df-on 3007  df-lim 3008  df-suc 3009  df-om 3193  df-xp 3239  df-rel 3240  df-cnv 3241  df-co 3242  df-dm 3243  df-rn 3244  df-res 3245  df-ima 3246  df-fun 3247  df-fn 3248  df-f 3249  df-f1 3250  df-fo 3251  df-f1o 3252  df-fv 3253  df-rdg 4008  df-opr 4041  df-oprab 4042  df-1st 4157  df-2nd 4158  df-1o 4217  df-oadd 4219  df-omul 4220  df-er 4345  df-ec 4347  df-qs 4350  df-en 4455  df-dom 4456  df-sdom 4457  df-ni 5089  df-pli 5090  df-mi 5091  df-lti 5092  df-plpq 5124  df-mpq 5125  df-enq 5126  df-nq 5127  df-plq 5128  df-mq 5129  df-rq 5130  df-ltq 5131  df-1q 5132  df-np 5175  df-1p 5176  df-plp 5177  df-mp 5178  df-ltp 5179  df-plpr 5253  df-mpr 5254  df-enr 5255  df-nr 5256  df-plr 5257  df-mr 5258  df-ltr 5259  df-0r 5260  df-1r 5261  df-m1r 5262  df-c 5329  df-0 5330  df-1 5331  df-i 5332  df-r 5333  df-plus 5334  df-mul 5335  df-lt 5336  df-sub 5445  df-neg 5447  df-pnf 5576  df-mnf 5577  df-xr 5578  df-ltxr 5579  df-le 5580  df-n 6012  df-z 6246

Copyright terms: Public domain