MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elnnz Unicode version

Theorem elnnz 10248
Description: Natural number property expressed in terms of integers. (Contributed by NM, 8-Jan-2002.)
Assertion
Ref Expression
elnnz  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  e.  ZZ  /\  0  < 
N ) )

Proof of Theorem elnnz
StepHypRef Expression
1 nnre 9963 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
2 orc 375 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  e.  NN  \/  ( -u N  e.  NN  \/  N  =  0
) ) )
3 nngt0 9985 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
41, 2, 3jca31 521 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  e.  RR  /\  ( N  e.  NN  \/  ( -u N  e.  NN  \/  N  =  0 ) ) )  /\  0  <  N
) )
5 idd 22 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  0  <  N )  -> 
( N  e.  NN  ->  N  e.  NN ) )
6 lt0neg2 9491 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  RR  ->  (
0  <  N  <->  -u N  <  0 ) )
7 renegcl 9320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  RR  ->  -u N  e.  RR )
8 0re 9047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR
9 ltnsym 9128 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u N  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( -u N  <  0  ->  -.  0  <  -u N ) )
107, 8, 9sylancl 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  RR  ->  ( -u N  <  0  ->  -.  0  <  -u N
) )
116, 10sylbid 207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  RR  ->  (
0  <  N  ->  -.  0  <  -u N
) )
1211imp 419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  0  <  N )  ->  -.  0  <  -u N
)
13 nngt0 9985 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u N  e.  NN  ->  0  <  -u N )
1412, 13nsyl 115 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  0  <  N )  ->  -.  -u N  e.  NN )
15 gt0ne0 9449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  0  <  N )  ->  N  =/=  0 )
1615neneqd 2583 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  0  <  N )  ->  -.  N  =  0
)
17 ioran 477 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( -u N  e.  NN  \/  N  =  0 )  <->  ( -.  -u N  e.  NN  /\  -.  N  =  0
) )
1814, 16, 17sylanbrc 646 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  0  <  N )  ->  -.  ( -u N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
1918pm2.21d 100 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  0  <  N )  -> 
( ( -u N  e.  NN  \/  N  =  0 )  ->  N  e.  NN ) )
205, 19jaod 370 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  0  <  N )  -> 
( ( N  e.  NN  \/  ( -u N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )  ->  N  e.  NN ) )
2120ex 424 . . . . 5  |-  ( N  e.  RR  ->  (
0  <  N  ->  ( ( N  e.  NN  \/  ( -u N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )  ->  N  e.  NN )
) )
2221com23 74 . . . 4  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( N  e.  NN  \/  ( -u N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )  -> 
( 0  <  N  ->  N  e.  NN ) ) )
2322imp31 422 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  ( N  e.  NN  \/  ( -u N  e.  NN  \/  N  =  0 ) ) )  /\  0  <  N
)  ->  N  e.  NN )
244, 23impbii 181 . 2  |-  ( N  e.  NN  <->  ( ( N  e.  RR  /\  ( N  e.  NN  \/  ( -u N  e.  NN  \/  N  =  0
) ) )  /\  0  <  N ) )
25 elz 10240 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  <->  ( N  e.  RR  /\  ( N  =  0  \/  N  e.  NN  \/  -u N  e.  NN ) ) )
26 3orrot 942 . . . . . 6  |-  ( ( N  =  0  \/  N  e.  NN  \/  -u N  e.  NN )  <-> 
( N  e.  NN  \/  -u N  e.  NN  \/  N  =  0
) )
27 3orass 939 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  \/  -u N  e.  NN  \/  N  =  0 )  <-> 
( N  e.  NN  \/  ( -u N  e.  NN  \/  N  =  0 ) ) )
2826, 27bitri 241 . . . . 5  |-  ( ( N  =  0  \/  N  e.  NN  \/  -u N  e.  NN )  <-> 
( N  e.  NN  \/  ( -u N  e.  NN  \/  N  =  0 ) ) )
2928anbi2i 676 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( N  =  0  \/  N  e.  NN  \/  -u N  e.  NN ) )  <->  ( N  e.  RR  /\  ( N  e.  NN  \/  ( -u N  e.  NN  \/  N  =  0 ) ) ) )
3025, 29bitri 241 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  <->  ( N  e.  RR  /\  ( N  e.  NN  \/  ( -u N  e.  NN  \/  N  =  0 ) ) ) )
3130anbi1i 677 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  0  <  N )  <->  ( ( N  e.  RR  /\  ( N  e.  NN  \/  ( -u N  e.  NN  \/  N  =  0
) ) )  /\  0  <  N ) )
3224, 31bitr4i 244 1  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  e.  ZZ  /\  0  < 
N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    \/ w3o 935    = wceq 1649    e. wcel 1721   class class class wbr 4172   RRcr 8945   0cc0 8946    < clt 9076   -ucneg 9248   NNcn 9956   ZZcz 10238
This theorem is referenced by:  elnn0z  10250  nnssz  10257  elnnz1  10263  znnsub  10278  msqznn  10307  lbfzo0  11125  elfznelfzo  11147  nnesq  11458  nnabscl  12084  iseralt  12433  sqr2irrlem  12802  nndivdvds  12813  dvdslelem  12849  ndvdsadd  12883  bitsfzolem  12901  sqgcd  13013  prmind2  13045  qredeu  13062  qgt0numnn  13098  oddprm  13144  pythagtriplem6  13150  pythagtriplem11  13154  pythagtriplem13  13156  pythagtriplem19  13162  pc2dvds  13207  pcadd  13213  prmreclem3  13241  4sqlem11  13278  4sqlem12  13279  subgmulg  14913  znidomb  16797  sgmnncl  20883  dvdsdivcl  20919  muinv  20931  mersenne  20964  bposlem6  21026  lgseisenlem1  21086  lgsquadlem1  21091  lgsquadlem2  21092  2sqlem8  21109  dchrisum0flblem2  21156  mblfinlem  26143  nn0prpwlem  26215  irrapxlem4  26778  rmspecnonsq  26860  rmynn  26911  jm2.24  26918  jm2.23  26957  jm2.20nn  26958  jm2.27a  26966  jm2.27c  26968  rmydioph  26975  jm3.1lem3  26980  fzo1fzo0n0  27988
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-z 10239
  Copyright terms: Public domain W3C validator