HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem elnnz 6255
Description: Natural number property expressed in terms of integers.
Assertion
Ref Expression
elnnz |- (N e. NN <-> (N e. ZZ /\ 0 < N))
Proof of Theorem elnnz
StepHypRef Expression
1 nnre 6016 . . . . 5 |- (N e. NN -> N e. RR)
2 orc 267 . . . . 5 |- (N e. NN -> (N e. NN \/ (-uN e. NN \/ N = 0)))
31, 2jca 286 . . . 4 |- (N e. NN -> (N e. RR /\ (N e. NN \/ (-uN e. NN \/ N = 0))))
4 nngt0 6033 . . . 4 |- (N e. NN -> 0 < N)
53, 4jca 286 . . 3 |- (N e. NN -> ((N e. RR /\ (N e. NN \/ (-uN e. NN \/ N = 0))) /\ 0 < N))
6 idd 61 . . . . . . 7 |- ((N e. RR /\ 0 < N) -> (N e. NN -> N e. NN))
7 lt0neg2 5758 . . . . . . . . . . . . 13 |- (N e. RR -> (0 < N <-> -uN < 0))
8 renegcl 5526 . . . . . . . . . . . . . 14 |- (N e. RR -> -uN e. RR)
9 0re 5529 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. RR
10 ltnsym 5621 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((-uN e. RR /\ 0 e. RR) -> (-uN < 0 -> -. 0 < -uN))
119, 10mpan2 699 . . . . . . . . . . . . . 14 |- (-uN e. RR -> (-uN < 0 -> -. 0 < -uN))
128, 11syl 10 . . . . . . . . . . . . 13 |- (N e. RR -> (-uN < 0 -> -. 0 < -uN))
137, 12sylbid 201 . . . . . . . . . . . 12 |- (N e. RR -> (0 < N -> -. 0 < -uN))
1413imp 348 . . . . . . . . . . 11 |- ((N e. RR /\ 0 < N) -> -. 0 < -uN)
15 nngt0 6033 . . . . . . . . . . 11 |- (-uN e. NN -> 0 < -uN)
1614, 15nsyl 115 . . . . . . . . . 10 |- ((N e. RR /\ 0 < N) -> -. -uN e. NN)
17 gt0ne0 5707 . . . . . . . . . . 11 |- ((N e. RR /\ 0 < N) -> N =/= 0)
18 df-ne 1624 . . . . . . . . . . 11 |- (N =/= 0 <-> -. N = 0)
1917, 18sylib 196 . . . . . . . . . 10 |- ((N e. RR /\ 0 < N) -> -. N = 0)
2016, 19jca 286 . . . . . . . . 9 |- ((N e. RR /\ 0 < N) -> (-. -uN e. NN /\ -. N = 0))
21 ioran 304 . . . . . . . . 9 |- (-. (-uN e. NN \/ N = 0) <-> (-. -uN e. NN /\ -. N = 0))
2220, 21sylibr 198 . . . . . . . 8 |- ((N e. RR /\ 0 < N) -> -. (-uN e. NN \/ N = 0))
2322pm2.21d 78 . . . . . . 7 |- ((N e. RR /\ 0 < N) -> ((-uN e. NN \/ N = 0) -> N e. NN))
246, 23jaod 424 . . . . . 6 |- ((N e. RR /\ 0 < N) -> ((N e. NN \/ (-uN e. NN \/ N = 0)) -> N e. NN))
2524ex 371 . . . . 5 |- (N e. RR -> (0 < N -> ((N e. NN \/ (-uN e. NN \/ N = 0)) -> N e. NN)))
2625com23 32 . . . 4 |- (N e. RR -> ((N e. NN \/ (-uN e. NN \/ N = 0)) -> (0 < N -> N e. NN)))
2726imp31 360 . . 3 |- (((N e. RR /\ (N e. NN \/ (-uN e. NN \/ N = 0))) /\ 0 < N) -> N e. NN)
285, 27impbii 155 . 2 |- (N e. NN <-> ((N e. RR /\ (N e. NN \/ (-uN e. NN \/ N = 0))) /\ 0 < N))
29 elz 6247 . . . 4 |- (N e. ZZ <-> (N e. RR /\ (N = 0 \/ N e. NN \/ -uN e. NN)))
30 3orrot 784 . . . . . 6 |- ((N = 0 \/ N e. NN \/ -uN e. NN) <-> (N e. NN \/ -uN e. NN \/ N = 0))
31 3orass 781 . . . . . 6 |- ((N e. NN \/ -uN e. NN \/ N = 0) <-> (N e. NN \/ (-uN e. NN \/ N = 0)))
3230, 31bitri 171 . . . . 5 |- ((N = 0 \/ N e. NN \/ -uN e. NN) <-> (N e. NN \/ (-uN e. NN \/ N = 0)))
3332anbi2i 482 . . . 4 |- ((N e. RR /\ (N = 0 \/ N e. NN \/ -uN e. NN)) <-> (N e. RR /\ (N e. NN \/ (-uN e. NN \/ N = 0))))
3429, 33bitri 171 . . 3 |- (N e. ZZ <-> (N e. RR /\ (N e. NN \/ (-uN e. NN \/ N = 0))))
3534anbi1i 483 . 2 |- ((N e. ZZ /\ 0 < N) <-> ((N e. RR /\ (N e. NN \/ (-uN e. NN \/ N = 0))) /\ 0 < N))
3628, 35bitr4i 174 1 |- (N e. NN <-> (N e. ZZ /\ 0 < N))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 144   \/ wo 220   /\ wa 221   \/ w3o 777   = wceq 988   e. wcel 990   =/= wne 1622   class class class wbr 2669  RRcr 5322  0cc0 5323  -ucneg 5382  NNcn 5385  ZZcz 5387   < clt 5575
This theorem is referenced by:  elnn0z 6257  nnssz 6261  nn0sub 6271  elnn0nn 6281  elnnnn0b 6283  znnsub 6287  msqznn 6309  sqr2irr 6852  eftlexiOLD 7500
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 994  ax-gen 995  ax-8 996  ax-9 997  ax-10 998  ax-11 999  ax-12 1000  ax-13 1001  ax-14 1002  ax-17 1003  ax-4 1005  ax-5o 1007  ax-6o 1010  ax-9o 1155  ax-10o 1173  ax-16 1243  ax-11o 1251  ax-ext 1494  ax-rep 2744  ax-sep 2754  ax-nul 2761  ax-pow 2794  ax-pr 2832  ax-un 2920  ax-inf2 4711
This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 779  df-3an 780  df-ex 1013  df-sb 1205  df-eu 1415  df-mo 1416  df-clab 1500  df-cleq 1505  df-clel 1508  df-ne 1624  df-nel 1625  df-ral 1687  df-rex 1688  df-reu 1689  df-rab 1690  df-v 1850  df-sbc 1979  df-csb 2044  df-dif 2093  df-un 2094  df-in 2095  df-ss 2097  df-pss 2099  df-nul 2325  df-if 2407  df-pw 2447  df-sn 2457  df-pr 2458  df-tp 2460  df-op 2461  df-uni 2552  df-int 2582  df-iun 2616  df-br 2670  df-opab 2718  df-tr 2732  df-eprel 2886  df-id 2889  df-po 2894  df-so 2904  df-fr 2972  df-we 2989  df-ord 3006  df-on 3007  df-lim 3008  df-suc 3009  df-om 3193  df-xp 3239  df-rel 3240  df-cnv 3241  df-co 3242  df-dm 3243  df-rn 3244  df-res 3245  df-ima 3246  df-fun 3247  df-fn 3248  df-f 3249  df-f1 3250  df-fo 3251  df-f1o 3252  df-fv 3253  df-rdg 4008  df-opr 4041  df-oprab 4042  df-1st 4157  df-2nd 4158  df-1o 4217  df-oadd 4219  df-omul 4220  df-er 4345  df-ec 4347  df-qs 4350  df-en 4455  df-dom 4456  df-sdom 4457  df-ni 5089  df-pli 5090  df-mi 5091  df-lti 5092  df-plpq 5124  df-mpq 5125  df-enq 5126  df-nq 5127  df-plq 5128  df-mq 5129  df-rq 5130  df-ltq 5131  df-1q 5132  df-np 5175  df-1p 5176  df-plp 5177  df-mp 5178  df-ltp 5179  df-plpr 5253  df-mpr 5254  df-enr 5255  df-nr 5256  df-plr 5257  df-mr 5258  df-ltr 5259  df-0r 5260  df-1r 5261  df-m1r 5262  df-c 5329  df-0 5330  df-1 5331  df-i 5332  df-r 5333  df-plus 5334  df-mul 5335  df-lt 5336  df-sub 5445  df-neg 5447  df-pnf 5576  df-mnf 5577  df-xr 5578  df-ltxr 5579  df-le 5580  df-n 6012  df-z 6246
Copyright terms: Public domain