MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elnnnn0c Structured version   Unicode version

Theorem elnnnn0c 10881
Description: The positive integer property expressed in terms of nonnegative integers. (Contributed by NM, 10-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
elnnnn0c  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  e.  NN0  /\  1  <_  N ) )

Proof of Theorem elnnnn0c
StepHypRef Expression
1 nnnn0 10842 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
2 nnge1 10601 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  1  <_  N )
31, 2jca 530 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  e.  NN0  /\  1  <_  N ) )
4 0lt1 10114 . . . . 5  |-  0  <  1
5 nn0re 10844 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
6 0re 9625 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
7 1re 9624 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
8 ltletr 9706 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( 0  <  1  /\  1  <_  N )  ->  0  <  N
) )
96, 7, 8mp3an12 1316 . . . . . 6  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( 0  <  1  /\  1  <_  N )  ->  0  <  N
) )
105, 9syl 17 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 0  <  1  /\  1  <_  N )  ->  0  <  N ) )
114, 10mpani 674 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 1  <_  N  ->  0  <  N ) )
1211imdistani 688 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  1  <_  N )  -> 
( N  e.  NN0  /\  0  <  N ) )
13 elnnnn0b 10880 . . 3  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  e.  NN0  /\  0  < 
N ) )
1412, 13sylibr 212 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  1  <_  N )  ->  N  e.  NN )
153, 14impbii 188 1  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  e.  NN0  /\  1  <_  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    e. wcel 1842   class class class wbr 4394   RRcr 9520   0cc0 9521   1c1 9522    < clt 9657    <_ cle 9658   NNcn 10575   NN0cn0 10835
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-n0 10836
This theorem is referenced by:  nn0ge2m1nn  10901  nn01to3  11219  wrdsymb1  12629  lswccats1fst  12691  pcelnn  14600  lgsabs1  23988  wlkiswwlk2lem1  25095  wwlkm1edg  25139  clwlkisclwwlklem1  25191  fourierdlem52  37290  pfx2  37880  nn0o1gt2  38628
  Copyright terms: Public domain W3C validator