MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elnnnn0 Structured version   Unicode version

Theorem elnnnn0 10611
Description: The positive integer property expressed in terms of nonnegative integers. (Contributed by NM, 10-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
elnnnn0  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  e.  CC  /\  ( N  -  1 )  e. 
NN0 ) )

Proof of Theorem elnnnn0
StepHypRef Expression
1 nncn 10318 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
2 ax-1cn 9328 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
3 npcan 9607 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
42, 3mpan2 664 . . . . 5  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( N  -  1 )  +  1 )  =  N )
54eleq1d 2499 . . . 4  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( ( N  - 
1 )  +  1 )  e.  NN  <->  N  e.  NN ) )
6 subcl 9597 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( N  -  1 )  e.  CC )
72, 6mpan2 664 . . . . 5  |-  ( N  e.  CC  ->  ( N  -  1 )  e.  CC )
87biantrurd 505 . . . 4  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( ( N  - 
1 )  +  1 )  e.  NN  <->  ( ( N  -  1 )  e.  CC  /\  (
( N  -  1 )  +  1 )  e.  NN ) ) )
95, 8bitr3d 255 . . 3  |-  ( N  e.  CC  ->  ( N  e.  NN  <->  ( ( N  -  1 )  e.  CC  /\  (
( N  -  1 )  +  1 )  e.  NN ) ) )
10 elnn0nn 10610 . . 3  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN0  <->  ( ( N  -  1 )  e.  CC  /\  ( ( N  -  1 )  +  1 )  e.  NN ) )
119, 10syl6bbr 263 . 2  |-  ( N  e.  CC  ->  ( N  e.  NN  <->  ( N  -  1 )  e. 
NN0 ) )
121, 11biadan2 635 1  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  e.  CC  /\  ( N  -  1 )  e. 
NN0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755  (class class class)co 6080   CCcc 9268   1c1 9271    + caddc 9273    - cmin 9583   NNcn 10310   NN0cn0 10567
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-ltxr 9411  df-sub 9585  df-nn 10311  df-n0 10568
This theorem is referenced by:  facnn2  12044  faclbnd4lem1  12053
  Copyright terms: Public domain W3C validator