MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elnnnn0 Structured version   Unicode version

Theorem elnnnn0 10920
Description: The positive integer property expressed in terms of nonnegative integers. (Contributed by NM, 10-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
elnnnn0  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  e.  CC  /\  ( N  -  1 )  e. 
NN0 ) )

Proof of Theorem elnnnn0
StepHypRef Expression
1 nncn 10624 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
2 npcan1 10051 . . . . 5  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( N  -  1 )  +  1 )  =  N )
32eleq1d 2491 . . . 4  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( ( N  - 
1 )  +  1 )  e.  NN  <->  N  e.  NN ) )
4 peano2cnm 9947 . . . . 5  |-  ( N  e.  CC  ->  ( N  -  1 )  e.  CC )
54biantrurd 510 . . . 4  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( ( N  - 
1 )  +  1 )  e.  NN  <->  ( ( N  -  1 )  e.  CC  /\  (
( N  -  1 )  +  1 )  e.  NN ) ) )
63, 5bitr3d 258 . . 3  |-  ( N  e.  CC  ->  ( N  e.  NN  <->  ( ( N  -  1 )  e.  CC  /\  (
( N  -  1 )  +  1 )  e.  NN ) ) )
7 elnn0nn 10919 . . 3  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN0  <->  ( ( N  -  1 )  e.  CC  /\  ( ( N  -  1 )  +  1 )  e.  NN ) )
86, 7syl6bbr 266 . 2  |-  ( N  e.  CC  ->  ( N  e.  NN  <->  ( N  -  1 )  e. 
NN0 ) )
91, 8biadan2 646 1  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  e.  CC  /\  ( N  -  1 )  e. 
NN0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 187    /\ wa 370    e. wcel 1872  (class class class)co 6305   CCcc 9544   1c1 9547    + caddc 9549    - cmin 9867   NNcn 10616   NN0cn0 10876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-er 7374  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-ltxr 9687  df-sub 9869  df-nn 10617  df-n0 10877
This theorem is referenced by:  elfzom1elp1fzo  11987  facnn2  12474  faclbnd4lem1  12484
  Copyright terms: Public domain W3C validator