MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elnn0z Structured version   Unicode version

Theorem elnn0z 10901
Description: Nonnegative integer property expressed in terms of integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
elnn0z  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N ) )

Proof of Theorem elnn0z
StepHypRef Expression
1 elnn0 10822 . 2  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
2 elnnz 10898 . . 3  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  e.  ZZ  /\  0  < 
N ) )
3 eqcom 2435 . . 3  |-  ( N  =  0  <->  0  =  N )
42, 3orbi12i 523 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  \/  N  =  0 )  <-> 
( ( N  e.  ZZ  /\  0  < 
N )  \/  0  =  N ) )
5 id 22 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  ZZ )
6 0z 10899 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
7 eleq1 2494 . . . . . . 7  |-  ( 0  =  N  ->  (
0  e.  ZZ  <->  N  e.  ZZ ) )
86, 7mpbii 214 . . . . . 6  |-  ( 0  =  N  ->  N  e.  ZZ )
95, 8jaoi 380 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  \/  0  =  N )  ->  N  e.  ZZ )
10 orc 386 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ZZ  \/  0  =  N )
)
119, 10impbii 190 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  \/  0  =  N )  <->  N  e.  ZZ )
1211anbi1i 699 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  \/  0  =  N
)  /\  ( 0  <  N  \/  0  =  N ) )  <-> 
( N  e.  ZZ  /\  ( 0  <  N  \/  0  =  N
) ) )
13 ordir 873 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  0  <  N )  \/  0  =  N )  <->  ( ( N  e.  ZZ  \/  0  =  N )  /\  ( 0  <  N  \/  0  =  N
) ) )
14 0re 9594 . . . . 5  |-  0  e.  RR
15 zre 10892 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
16 leloe 9671 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( 0  <_  N  <->  ( 0  <  N  \/  0  =  N )
) )
1714, 15, 16sylancr 667 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  <_  N  <->  ( 0  <  N  \/  0  =  N ) ) )
1817pm5.32i 641 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N )  <->  ( N  e.  ZZ  /\  ( 0  <  N  \/  0  =  N ) ) )
1912, 13, 183bitr4i 280 . 2  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  0  <  N )  \/  0  =  N )  <->  ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N ) )
201, 4, 193bitri 274 1  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872   class class class wbr 4366   RRcr 9489   0cc0 9490    < clt 9626    <_ cle 9627   NNcn 10560   NN0cn0 10820   ZZcz 10888
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-er 7318  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-nn 10561  df-n0 10821  df-z 10889
This theorem is referenced by:  nn0zrab  10917  znn0sub  10935  nn0ind  10981  fnn0ind  10985  fznn0  11837  elfz0ubfz0  11845  elfz0fzfz0  11846  fz0fzelfz0  11847  elfzmlbp  11853  difelfzle  11855  difelfznle  11856  elfzo0z  11909  fzofzim  11913  ubmelm1fzo  11957  flge0nn0  12004  zmodcl  12066  zsqcl2  12302  swrdswrdlem  12761  swrdswrd  12762  swrdccatin2  12789  swrdccatin12lem2  12791  swrdccatin12lem3  12792  repswswrd  12833  cshwidxmod  12851  nn0abscl  13319  iseralt  13694  binomrisefac  14038  oexpneg  14311  divalglem2  14316  divalglem2OLD  14317  divalglem8  14323  divalglem10  14326  divalgb  14328  bitsinv1lem  14358  algcvga  14481  iserodd  14728  pockthlem  14792  4sqlem14OLD  14845  4sqlem14  14851  cshwshashlem2  15010  chfacfscmul0  19824  chfacfpmmul0  19828  taylfvallem1  23254  tayl0  23259  leibpilem1  23808  basellem3  23951  bcmono  24147  clwlkisclwwlklem2a1  25449  clwlkisclwwlklem2fv2  25453  clwlkisclwwlklem2a  25455  wwlksubclwwlk  25474  irrapxlem1  35579  rmynn0  35720  rmyabs  35721  jm2.22  35763  jm2.23  35764  jm2.27a  35773  jm2.27c  35775  hashgcdlem  35987  dvnprodlem1  37704  wallispilem4  37813  stirlinglem5  37823  elaa2lem  37980  elaa2lemOLD  37981  etransclem3  37985  etransclem7  37989  etransclem10  37992  etransclem19  38001  etransclem20  38002  etransclem21  38003  etransclem22  38004  etransclem24  38006  etransclem27  38009  oexpnegALTV  38619  nn0oALTV  38638  nn0e  38639  pfxccatin12lem2  38778  zm1nn  38846  lesubnn0  38847  eluzge0nn0  38850  elfz2z  38852  2elfz2melfz  38855  subsubelfzo0  38859  nn0eo  39928  dig1  40012
  Copyright terms: Public domain W3C validator