MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elnn0z Structured version   Unicode version

Theorem elnn0z 10868
Description: Nonnegative integer property expressed in terms of integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
elnn0z  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N ) )

Proof of Theorem elnn0z
StepHypRef Expression
1 elnn0 10788 . 2  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
2 elnnz 10865 . . 3  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  e.  ZZ  /\  0  < 
N ) )
3 eqcom 2471 . . 3  |-  ( N  =  0  <->  0  =  N )
42, 3orbi12i 521 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  \/  N  =  0 )  <-> 
( ( N  e.  ZZ  /\  0  < 
N )  \/  0  =  N ) )
5 id 22 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  ZZ )
6 0z 10866 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
7 eleq1 2534 . . . . . . 7  |-  ( 0  =  N  ->  (
0  e.  ZZ  <->  N  e.  ZZ ) )
86, 7mpbii 211 . . . . . 6  |-  ( 0  =  N  ->  N  e.  ZZ )
95, 8jaoi 379 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  \/  0  =  N )  ->  N  e.  ZZ )
10 orc 385 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ZZ  \/  0  =  N )
)
119, 10impbii 188 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  \/  0  =  N )  <->  N  e.  ZZ )
1211anbi1i 695 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  \/  0  =  N
)  /\  ( 0  <  N  \/  0  =  N ) )  <-> 
( N  e.  ZZ  /\  ( 0  <  N  \/  0  =  N
) ) )
13 ordir 861 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  0  <  N )  \/  0  =  N )  <->  ( ( N  e.  ZZ  \/  0  =  N )  /\  ( 0  <  N  \/  0  =  N
) ) )
14 0re 9587 . . . . 5  |-  0  e.  RR
15 zre 10859 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
16 leloe 9662 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( 0  <_  N  <->  ( 0  <  N  \/  0  =  N )
) )
1714, 15, 16sylancr 663 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  <_  N  <->  ( 0  <  N  \/  0  =  N ) ) )
1817pm5.32i 637 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N )  <->  ( N  e.  ZZ  /\  ( 0  <  N  \/  0  =  N ) ) )
1912, 13, 183bitr4i 277 . 2  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  0  <  N )  \/  0  =  N )  <->  ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N ) )
201, 4, 193bitri 271 1  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   class class class wbr 4442   RRcr 9482   0cc0 9483    < clt 9619    <_ cle 9620   NNcn 10527   NN0cn0 10786   ZZcz 10855
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-n0 10787  df-z 10856
This theorem is referenced by:  nn0zrab  10884  znn0sub  10901  nn0ind  10948  fnn0ind  10951  fznn0  11760  elfz0ubfz0  11767  elfz0fzfz0  11768  fz0fzelfz0  11769  elfzmlbp  11774  difelfzle  11776  difelfznle  11777  elfzo0z  11824  fzofzim  11828  ubmelm1fzo  11867  flge0nn0  11912  zmodcl  11973  zsqcl2  12202  wrdsymb0  12529  swrdswrdlem  12636  swrdswrd  12637  swrdccatin2  12664  swrdccatin12lem2  12666  swrdccatin12lem3  12667  repswswrd  12708  cshwidxmod  12726  nn0abscl  13097  iseralt  13458  oexpneg  13899  divalglem2  13903  divalglem8  13908  divalglem10  13910  divalgb  13912  bitsinv1lem  13941  algcvga  14058  iserodd  14209  pockthlem  14273  4sqlem14  14326  cshwshashlem2  14430  chfacfscmul0  19121  chfacfpmmul0  19125  taylfvallem1  22481  tayl0  22486  leibpilem1  22994  basellem3  23079  bcmono  23275  clwlkisclwwlklem2a1  24443  clwlkisclwwlklem2fv2  24447  clwlkisclwwlklem2a  24449  wwlksubclwwlk  24468  binomrisefac  28729  irrapxlem1  30351  rmynn0  30488  rmyabs  30489  jm2.22  30532  jm2.23  30533  jm2.27a  30542  jm2.27c  30544  hashgcdlem  30753  wallispilem4  31325  stirlinglem5  31335  zm1nn  31751  lesubnn0  31752  eluzge0nn0  31755  elfz2z  31757  2elfz2melfz  31760  subsubelfzo0  31764
  Copyright terms: Public domain W3C validator