MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elnn0z Structured version   Unicode version

Theorem elnn0z 10883
Description: Nonnegative integer property expressed in terms of integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
elnn0z  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N ) )

Proof of Theorem elnn0z
StepHypRef Expression
1 elnn0 10803 . 2  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
2 elnnz 10880 . . 3  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  e.  ZZ  /\  0  < 
N ) )
3 eqcom 2452 . . 3  |-  ( N  =  0  <->  0  =  N )
42, 3orbi12i 521 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  \/  N  =  0 )  <-> 
( ( N  e.  ZZ  /\  0  < 
N )  \/  0  =  N ) )
5 id 22 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  ZZ )
6 0z 10881 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
7 eleq1 2515 . . . . . . 7  |-  ( 0  =  N  ->  (
0  e.  ZZ  <->  N  e.  ZZ ) )
86, 7mpbii 211 . . . . . 6  |-  ( 0  =  N  ->  N  e.  ZZ )
95, 8jaoi 379 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  \/  0  =  N )  ->  N  e.  ZZ )
10 orc 385 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ZZ  \/  0  =  N )
)
119, 10impbii 188 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  \/  0  =  N )  <->  N  e.  ZZ )
1211anbi1i 695 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  \/  0  =  N
)  /\  ( 0  <  N  \/  0  =  N ) )  <-> 
( N  e.  ZZ  /\  ( 0  <  N  \/  0  =  N
) ) )
13 ordir 865 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  0  <  N )  \/  0  =  N )  <->  ( ( N  e.  ZZ  \/  0  =  N )  /\  ( 0  <  N  \/  0  =  N
) ) )
14 0re 9599 . . . . 5  |-  0  e.  RR
15 zre 10874 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
16 leloe 9674 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( 0  <_  N  <->  ( 0  <  N  \/  0  =  N )
) )
1714, 15, 16sylancr 663 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  <_  N  <->  ( 0  <  N  \/  0  =  N ) ) )
1817pm5.32i 637 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N )  <->  ( N  e.  ZZ  /\  ( 0  <  N  \/  0  =  N ) ) )
1912, 13, 183bitr4i 277 . 2  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  0  <  N )  \/  0  =  N )  <->  ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N ) )
201, 4, 193bitri 271 1  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   class class class wbr 4437   RRcr 9494   0cc0 9495    < clt 9631    <_ cle 9632   NNcn 10542   NN0cn0 10801   ZZcz 10870
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-n0 10802  df-z 10871
This theorem is referenced by:  nn0zrab  10899  znn0sub  10917  nn0ind  10965  fnn0ind  10968  fznn0  11778  elfz0ubfz0  11786  elfz0fzfz0  11787  fz0fzelfz0  11788  elfzmlbp  11794  difelfzle  11796  difelfznle  11797  elfzo0z  11844  fzofzim  11848  ubmelm1fzo  11887  flge0nn0  11933  zmodcl  11994  zsqcl2  12224  wrdsymb0  12554  swrdswrdlem  12663  swrdswrd  12664  swrdccatin2  12691  swrdccatin12lem2  12693  swrdccatin12lem3  12694  repswswrd  12735  cshwidxmod  12753  nn0abscl  13124  iseralt  13486  oexpneg  13926  divalglem2  13930  divalglem8  13935  divalglem10  13937  divalgb  13939  bitsinv1lem  13968  algcvga  14085  iserodd  14236  pockthlem  14300  4sqlem14  14353  cshwshashlem2  14458  chfacfscmul0  19232  chfacfpmmul0  19236  taylfvallem1  22624  tayl0  22629  leibpilem1  23143  basellem3  23228  bcmono  23424  clwlkisclwwlklem2a1  24651  clwlkisclwwlklem2fv2  24655  clwlkisclwwlklem2a  24657  wwlksubclwwlk  24676  binomrisefac  29139  irrapxlem1  30733  rmynn0  30870  rmyabs  30871  jm2.22  30912  jm2.23  30913  jm2.27a  30922  jm2.27c  30924  hashgcdlem  31133  wallispilem4  31739  stirlinglem5  31749  zm1nn  32163  lesubnn0  32164  eluzge0nn0  32167  elfz2z  32169  2elfz2melfz  32172  subsubelfzo0  32176
  Copyright terms: Public domain W3C validator