MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elnn0z Structured version   Unicode version

Theorem elnn0z 10651
Description: Nonnegative integer property expressed in terms of integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
elnn0z  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N ) )

Proof of Theorem elnn0z
StepHypRef Expression
1 elnn0 10573 . 2  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
2 elnnz 10648 . . 3  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  e.  ZZ  /\  0  < 
N ) )
3 eqcom 2439 . . 3  |-  ( N  =  0  <->  0  =  N )
42, 3orbi12i 521 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  \/  N  =  0 )  <-> 
( ( N  e.  ZZ  /\  0  < 
N )  \/  0  =  N ) )
5 id 22 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  ZZ )
6 0z 10649 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
7 eleq1 2497 . . . . . . 7  |-  ( 0  =  N  ->  (
0  e.  ZZ  <->  N  e.  ZZ ) )
86, 7mpbii 211 . . . . . 6  |-  ( 0  =  N  ->  N  e.  ZZ )
95, 8jaoi 379 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  \/  0  =  N )  ->  N  e.  ZZ )
10 orc 385 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ZZ  \/  0  =  N )
)
119, 10impbii 188 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  \/  0  =  N )  <->  N  e.  ZZ )
1211anbi1i 695 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  \/  0  =  N
)  /\  ( 0  <  N  \/  0  =  N ) )  <-> 
( N  e.  ZZ  /\  ( 0  <  N  \/  0  =  N
) ) )
13 ordir 860 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  0  <  N )  \/  0  =  N )  <->  ( ( N  e.  ZZ  \/  0  =  N )  /\  ( 0  <  N  \/  0  =  N
) ) )
14 0re 9378 . . . . 5  |-  0  e.  RR
15 zre 10642 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
16 leloe 9453 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( 0  <_  N  <->  ( 0  <  N  \/  0  =  N )
) )
1714, 15, 16sylancr 663 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  <_  N  <->  ( 0  <  N  \/  0  =  N ) ) )
1817pm5.32i 637 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N )  <->  ( N  e.  ZZ  /\  ( 0  <  N  \/  0  =  N ) ) )
1912, 13, 183bitr4i 277 . 2  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  0  <  N )  \/  0  =  N )  <->  ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N ) )
201, 4, 193bitri 271 1  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   class class class wbr 4285   RRcr 9273   0cc0 9274    < clt 9410    <_ cle 9411   NNcn 10314   NN0cn0 10571   ZZcz 10638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2418  ax-sep 4406  ax-nul 4414  ax-pow 4463  ax-pr 4524  ax-un 6367  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rab 2718  df-v 2968  df-sbc 3180  df-csb 3282  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3631  df-if 3785  df-pw 3855  df-sn 3871  df-pr 3873  df-tp 3875  df-op 3877  df-uni 4085  df-iun 4166  df-br 4286  df-opab 4344  df-mpt 4345  df-tr 4379  df-eprel 4624  df-id 4628  df-po 4633  df-so 4634  df-fr 4671  df-we 4673  df-ord 4714  df-on 4715  df-lim 4716  df-suc 4717  df-xp 4838  df-rel 4839  df-cnv 4840  df-co 4841  df-dm 4842  df-rn 4843  df-res 4844  df-ima 4845  df-iota 5374  df-fun 5413  df-fn 5414  df-f 5415  df-f1 5416  df-fo 5417  df-f1o 5418  df-fv 5419  df-riota 6045  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-n0 10572  df-z 10639
This theorem is referenced by:  nn0zrab  10667  znn0sub  10684  nn0ind  10730  fnn0ind  10733  elfzelfzelfz  11476  elfz0fzfz0  11477  fz0fzelfz0  11478  elfzmlbp  11483  fznn0  11516  elfzo0z  11581  fzofzim  11585  ubmelm1fzo  11615  flge0nn0  11658  zmodcl  11719  zsqcl2  11935  wrdsymb0  12251  swrdswrdlem  12345  swrdswrd  12346  swrdccatin2  12370  swrdccatin12lem2  12372  swrdccatin12lem3  12373  repswswrd  12414  cshwidxmod  12432  nn0abscl  12793  iseralt  13154  oexpneg  13587  divalglem2  13591  divalglem8  13596  divalglem10  13598  divalgb  13600  bitsinv1lem  13629  algcvga  13746  iserodd  13894  pockthlem  13958  4sqlem14  14011  cshwshashlem2  14115  taylfvallem1  21791  tayl0  21796  leibpilem1  22304  basellem3  22389  bcmono  22585  binomrisefac  27492  irrapxlem1  29106  rmynn0  29243  rmyabs  29244  jm2.22  29287  jm2.23  29288  jm2.27a  29297  jm2.27c  29299  hashgcdlem  29508  wallispilem4  29806  stirlinglem5  29816  lesubnn0  30124  eluzge0nn0  30132  elfz2z  30141  2elfz2melfz  30145  subsubelfzo0  30153  clwlkisclwwlklem2a1  30384  clwlkisclwwlklem2fv2  30388  clwlkisclwwlklem2a  30390  wwlksubclwwlk  30409  zm1nn  30411  difelfzle  30430  difelfznle  30431
  Copyright terms: Public domain W3C validator