MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elnn0z Structured version   Unicode version

Theorem elnn0z 10873
Description: Nonnegative integer property expressed in terms of integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
elnn0z  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N ) )

Proof of Theorem elnn0z
StepHypRef Expression
1 elnn0 10793 . 2  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
2 elnnz 10870 . . 3  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  e.  ZZ  /\  0  < 
N ) )
3 eqcom 2463 . . 3  |-  ( N  =  0  <->  0  =  N )
42, 3orbi12i 519 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  \/  N  =  0 )  <-> 
( ( N  e.  ZZ  /\  0  < 
N )  \/  0  =  N ) )
5 id 22 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  ZZ )
6 0z 10871 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
7 eleq1 2526 . . . . . . 7  |-  ( 0  =  N  ->  (
0  e.  ZZ  <->  N  e.  ZZ ) )
86, 7mpbii 211 . . . . . 6  |-  ( 0  =  N  ->  N  e.  ZZ )
95, 8jaoi 377 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  \/  0  =  N )  ->  N  e.  ZZ )
10 orc 383 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ZZ  \/  0  =  N )
)
119, 10impbii 188 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  \/  0  =  N )  <->  N  e.  ZZ )
1211anbi1i 693 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  \/  0  =  N
)  /\  ( 0  <  N  \/  0  =  N ) )  <-> 
( N  e.  ZZ  /\  ( 0  <  N  \/  0  =  N
) ) )
13 ordir 863 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  0  <  N )  \/  0  =  N )  <->  ( ( N  e.  ZZ  \/  0  =  N )  /\  ( 0  <  N  \/  0  =  N
) ) )
14 0re 9585 . . . . 5  |-  0  e.  RR
15 zre 10864 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
16 leloe 9660 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( 0  <_  N  <->  ( 0  <  N  \/  0  =  N )
) )
1714, 15, 16sylancr 661 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  <_  N  <->  ( 0  <  N  \/  0  =  N ) ) )
1817pm5.32i 635 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N )  <->  ( N  e.  ZZ  /\  ( 0  <  N  \/  0  =  N ) ) )
1912, 13, 183bitr4i 277 . 2  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  0  <  N )  \/  0  =  N )  <->  ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N ) )
201, 4, 193bitri 271 1  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   class class class wbr 4439   RRcr 9480   0cc0 9481    < clt 9617    <_ cle 9618   NNcn 10531   NN0cn0 10791   ZZcz 10860
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-n0 10792  df-z 10861
This theorem is referenced by:  nn0zrab  10889  znn0sub  10907  nn0ind  10955  fnn0ind  10959  fznn0  11774  elfz0ubfz0  11782  elfz0fzfz0  11783  fz0fzelfz0  11784  elfzmlbp  11790  difelfzle  11792  difelfznle  11793  elfzo0z  11842  fzofzim  11846  ubmelm1fzo  11889  flge0nn0  11936  zmodcl  11997  zsqcl2  12227  swrdswrdlem  12675  swrdswrd  12676  swrdccatin2  12703  swrdccatin12lem2  12705  swrdccatin12lem3  12706  repswswrd  12747  cshwidxmod  12765  nn0abscl  13227  iseralt  13589  oexpneg  14133  divalglem2  14137  divalglem8  14142  divalglem10  14144  divalgb  14146  bitsinv1lem  14175  algcvga  14292  iserodd  14443  pockthlem  14507  4sqlem14  14560  cshwshashlem2  14665  chfacfscmul0  19526  chfacfpmmul0  19530  taylfvallem1  22918  tayl0  22923  leibpilem1  23468  basellem3  23554  bcmono  23750  clwlkisclwwlklem2a1  24981  clwlkisclwwlklem2fv2  24985  clwlkisclwwlklem2a  24987  wwlksubclwwlk  25006  binomrisefac  29405  irrapxlem1  30997  rmynn0  31134  rmyabs  31135  jm2.22  31176  jm2.23  31177  jm2.27a  31186  jm2.27c  31188  hashgcdlem  31398  dvnprodlem1  31982  wallispilem4  32089  stirlinglem5  32099  elaa2lem  32255  etransclem3  32259  etransclem7  32263  etransclem10  32266  etransclem19  32275  etransclem20  32276  etransclem21  32277  etransclem22  32278  etransclem24  32280  etransclem27  32283  oexpnegALTV  32583  nn0oALTV  32602  nn0e  32603  pfxccatin12lem2  32652  zm1nn  32699  lesubnn0  32700  eluzge0nn0  32703  elfz2z  32705  2elfz2melfz  32708  subsubelfzo0  32712  nn0eo  33399  dig1  33483
  Copyright terms: Public domain W3C validator