MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elnn0z Structured version   Unicode version

Theorem elnn0z 10760
Description: Nonnegative integer property expressed in terms of integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
elnn0z  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N ) )

Proof of Theorem elnn0z
StepHypRef Expression
1 elnn0 10682 . 2  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
2 elnnz 10757 . . 3  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  e.  ZZ  /\  0  < 
N ) )
3 eqcom 2460 . . 3  |-  ( N  =  0  <->  0  =  N )
42, 3orbi12i 521 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  \/  N  =  0 )  <-> 
( ( N  e.  ZZ  /\  0  < 
N )  \/  0  =  N ) )
5 id 22 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  ZZ )
6 0z 10758 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
7 eleq1 2523 . . . . . . 7  |-  ( 0  =  N  ->  (
0  e.  ZZ  <->  N  e.  ZZ ) )
86, 7mpbii 211 . . . . . 6  |-  ( 0  =  N  ->  N  e.  ZZ )
95, 8jaoi 379 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  \/  0  =  N )  ->  N  e.  ZZ )
10 orc 385 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ZZ  \/  0  =  N )
)
119, 10impbii 188 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  \/  0  =  N )  <->  N  e.  ZZ )
1211anbi1i 695 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  \/  0  =  N
)  /\  ( 0  <  N  \/  0  =  N ) )  <-> 
( N  e.  ZZ  /\  ( 0  <  N  \/  0  =  N
) ) )
13 ordir 860 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  0  <  N )  \/  0  =  N )  <->  ( ( N  e.  ZZ  \/  0  =  N )  /\  ( 0  <  N  \/  0  =  N
) ) )
14 0re 9487 . . . . 5  |-  0  e.  RR
15 zre 10751 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
16 leloe 9562 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( 0  <_  N  <->  ( 0  <  N  \/  0  =  N )
) )
1714, 15, 16sylancr 663 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  <_  N  <->  ( 0  <  N  \/  0  =  N ) ) )
1817pm5.32i 637 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N )  <->  ( N  e.  ZZ  /\  ( 0  <  N  \/  0  =  N ) ) )
1912, 13, 183bitr4i 277 . 2  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  0  <  N )  \/  0  =  N )  <->  ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N ) )
201, 4, 193bitri 271 1  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   class class class wbr 4390   RRcr 9382   0cc0 9383    < clt 9519    <_ cle 9520   NNcn 10423   NN0cn0 10680   ZZcz 10747
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-er 7201  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-nn 10424  df-n0 10681  df-z 10748
This theorem is referenced by:  nn0zrab  10776  znn0sub  10793  nn0ind  10839  fnn0ind  10842  elfzelfzelfz  11585  elfz0fzfz0  11586  fz0fzelfz0  11587  elfzmlbp  11592  fznn0  11625  elfzo0z  11690  fzofzim  11694  ubmelm1fzo  11724  flge0nn0  11767  zmodcl  11828  zsqcl2  12044  wrdsymb0  12361  swrdswrdlem  12455  swrdswrd  12456  swrdccatin2  12480  swrdccatin12lem2  12482  swrdccatin12lem3  12483  repswswrd  12524  cshwidxmod  12542  nn0abscl  12903  iseralt  13264  oexpneg  13697  divalglem2  13701  divalglem8  13706  divalglem10  13708  divalgb  13710  bitsinv1lem  13739  algcvga  13856  iserodd  14004  pockthlem  14068  4sqlem14  14121  cshwshashlem2  14225  taylfvallem1  21938  tayl0  21943  leibpilem1  22451  basellem3  22536  bcmono  22732  binomrisefac  27679  irrapxlem1  29301  rmynn0  29438  rmyabs  29439  jm2.22  29482  jm2.23  29483  jm2.27a  29492  jm2.27c  29494  hashgcdlem  29703  wallispilem4  30001  stirlinglem5  30011  lesubnn0  30319  eluzge0nn0  30327  elfz2z  30336  2elfz2melfz  30340  subsubelfzo0  30348  clwlkisclwwlklem2a1  30579  clwlkisclwwlklem2fv2  30583  clwlkisclwwlklem2a  30585  wwlksubclwwlk  30604  zm1nn  30606  difelfzle  30625  difelfznle  30626  chfacfscmul0  31312  chfacfpmmul0  31316
  Copyright terms: Public domain W3C validator