MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elnn0nn Structured version   Unicode version

Theorem elnn0nn 10879
Description: The nonnegative integer property expressed in terms of positive integers. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
elnn0nn  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  CC  /\  ( N  +  1 )  e.  NN ) )

Proof of Theorem elnn0nn
StepHypRef Expression
1 nn0cn 10846 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  CC )
2 nn0p1nn 10876 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
31, 2jca 530 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  e.  CC  /\  ( N  +  1 )  e.  NN ) )
4 simpl 455 . . . 4  |-  ( ( N  e.  CC  /\  ( N  +  1
)  e.  NN )  ->  N  e.  CC )
5 ax-1cn 9580 . . . 4  |-  1  e.  CC
6 pncan 9862 . . . 4  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
74, 5, 6sylancl 660 . . 3  |-  ( ( N  e.  CC  /\  ( N  +  1
)  e.  NN )  ->  ( ( N  +  1 )  - 
1 )  =  N )
8 nnm1nn0 10878 . . . 4  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  -  1 )  e.  NN0 )
98adantl 464 . . 3  |-  ( ( N  e.  CC  /\  ( N  +  1
)  e.  NN )  ->  ( ( N  +  1 )  - 
1 )  e.  NN0 )
107, 9eqeltrrd 2491 . 2  |-  ( ( N  e.  CC  /\  ( N  +  1
)  e.  NN )  ->  N  e.  NN0 )
113, 10impbii 187 1  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  CC  /\  ( N  +  1 )  e.  NN ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842  (class class class)co 6278   CCcc 9520   1c1 9523    + caddc 9525    - cmin 9841   NNcn 10576   NN0cn0 10836
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-ltxr 9663  df-sub 9843  df-nn 10577  df-n0 10837
This theorem is referenced by:  elnnnn0  10880
  Copyright terms: Public domain W3C validator