Theorem elnn0 7310

Description: Nonnegative integers expressed in terms of naturals and zero. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Assertion

Ref	Expression
elnn0	|- (A e. NN0 <-> (A e. NN \/ A = 0))

Proof of Theorem elnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 7309	. . 3 |- NN0 = (NN u. {0})
2	1	eleq2i 1961	. 2 |- (A e. NN0 <-> A e. (NN u. {0}))
3		elun 2741	. 2 |- (A e. (NN u. {0}) <-> (A e. NN \/ A e. {0}))
4		0cn 6481	. . . . 5 |- 0 e. CC
5	4	elisseti 2301	. . . 4 |- 0 e. _V
6	5	elsnc2 3071	. . 3 |- (A e. {0} <-> A = 0)
7	6	orbi2i 275	. 2 |- ((A e. NN \/ A e. {0}) <-> (A e. NN \/ A = 0))
8	2, 3, 7	3bitri 194	1 |- (A e. NN0 <-> (A e. NN \/ A = 0))

Syntax hints:   <-> wb 163   \/ wo 239   = wceq 1298   e. wcel 1300   u. cun 2591  {csn 3044  CCcc 6384  0cc0 6386  NNcn 6449  NN0cn0 6450

This theorem is referenced by:  dfn2 7321  0nn0 7322  lt0nnn0 7325  nn0addcl 7329  nn0mulcli 7331  nnnn0addcl 7334  nn0ltp1le 7336  elnn0z 7356  elznn0nn 7357  elznn0 7358  elznn 7359  nn0sub 7370  elnn0nn 7380  zltp1le 7390  nn0ind-raph 7426  expp1 7817  expcllem 7818  expne0i 7830  expge0 7833  expge1 7835  exple1 7852  facp1 8188  faclbnd 8197  faclbnd3 8199  faclbnd4lem1 8200  faclbnd4lem3 8202  faclbnd4 8204  bcpasci 8221  bccl2 8223  binomi 8332  gxnn0neg 9386  gxnn0suc 9387  eucalgf 13751  eucalginv 13752  eucalglt 13753  divexp 15779

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-n0 7309

Copyright terms: Public domain