MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elnn Structured version   Unicode version

Theorem elnn 6599
Description: A member of a natural number is a natural number. (Contributed by NM, 21-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
elnn  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  e.  om )  ->  A  e.  om )

Proof of Theorem elnn
StepHypRef Expression
1 ordom 6598 . 2  |-  Ord  om
2 ordtr 4844 . 2  |-  ( Ord 
om  ->  Tr  om )
3 trel 4503 . 2  |-  ( Tr 
om  ->  ( ( A  e.  B  /\  B  e.  om )  ->  A  e.  om ) )
41, 2, 3mp2b 10 1  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  e.  om )  ->  A  e.  om )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1758   Tr wtr 4496   Ord word 4829   omcom 6589
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pr 4642  ax-un 6485
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-om 6590
This theorem is referenced by:  nnaordi  7170  nnmordi  7183  pssnn  7645  ssnnfi  7646  unfilem1  7690  unfilem2  7691  inf3lem5  7952  cantnflt  7994  cantnfp1lem3  8002  cantnflem1d  8010  cantnflem1  8011  cantnfltOLD  8024  cantnfp1lem3OLD  8028  cantnflem1dOLD  8033  cantnflem1OLD  8034  cnfcomlem  8046  cnfcom  8047  cnfcomlemOLD  8054  cnfcomOLD  8055  infpssrlem4  8589  axdc3lem2  8734  pwfseqlem3  8941  elhf2  28377  hfelhf  28383  bnj1098  32129  bnj517  32230  bnj594  32257  bnj1001  32303  bnj1118  32327  bnj1128  32333  bnj1145  32336
  Copyright terms: Public domain W3C validator