MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elnn Structured version   Unicode version

Theorem elnn 6705
Description: A member of a natural number is a natural number. (Contributed by NM, 21-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
elnn  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  e.  om )  ->  A  e.  om )

Proof of Theorem elnn
StepHypRef Expression
1 ordom 6704 . 2  |-  Ord  om
2 ordtr 4898 . 2  |-  ( Ord 
om  ->  Tr  om )
3 trel 4553 . 2  |-  ( Tr 
om  ->  ( ( A  e.  B  /\  B  e.  om )  ->  A  e.  om ) )
41, 2, 3mp2b 10 1  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  e.  om )  ->  A  e.  om )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1767   Tr wtr 4546   Ord word 4883   omcom 6695
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-om 6696
This theorem is referenced by:  nnaordi  7279  nnmordi  7292  pssnn  7750  ssnnfi  7751  unfilem1  7796  unfilem2  7797  inf3lem5  8061  cantnflt  8103  cantnfp1lem3  8111  cantnflem1d  8119  cantnflem1  8120  cantnfltOLD  8133  cantnfp1lem3OLD  8137  cantnflem1dOLD  8142  cantnflem1OLD  8143  cnfcomlem  8155  cnfcom  8156  cnfcomlemOLD  8163  cnfcomOLD  8164  infpssrlem4  8698  axdc3lem2  8843  pwfseqlem3  9050  elhf2  29759  hfelhf  29765  bnj1098  33322  bnj517  33423  bnj594  33450  bnj1001  33496  bnj1118  33520  bnj1128  33526  bnj1145  33529
  Copyright terms: Public domain W3C validator