MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elnn Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem elnn 6702
Description: A member of a natural number is a natural number. (Contributed by NM, 21-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
elnn  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  e.  om )  ->  A  e.  om )

Proof of Theorem elnn
StepHypRef Expression
1 ordom 6701 . 2  |-  Ord  om
2 ordtr 5437 . 2  |-  ( Ord 
om  ->  Tr  om )
3 trel 4504 . 2  |-  ( Tr 
om  ->  ( ( A  e.  B  /\  B  e.  om )  ->  A  e.  om ) )
41, 2, 3mp2b 10 1  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  e.  om )  ->  A  e.  om )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    e. wcel 1887   Tr wtr 4497   Ord word 5422   omcom 6692
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pr 4639  ax-un 6583
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-om 6693
This theorem is referenced by:  nnaordi  7319  nnmordi  7332  pssnn  7790  ssnnfi  7791  unfilem1  7835  unfilem2  7836  inf3lem5  8137  cantnflt  8177  cantnfp1lem3  8185  cantnflem1d  8193  cantnflem1  8194  cnfcomlem  8204  cnfcom  8205  infpssrlem4  8736  axdc3lem2  8881  pwfseqlem3  9085  bnj1098  29595  bnj517  29696  bnj594  29723  bnj1001  29769  bnj1118  29793  bnj1128  29799  bnj1145  29802  elhf2  30942  hfelhf  30948
  Copyright terms: Public domain W3C validator