Theorem elni2 6157

Description: Membership in the class of positive integers.

Assertion

Ref	Expression
elni2	|- (A e. N. <-> (A e. om /\ (/) e. A))

Proof of Theorem elni2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elni 6156	. 2 |- (A e. N. <-> (A e. om /\ A =/= (/)))
2		nnord 3959	. . . 4 |- (A e. om -> Ord A)
3		ord0eln0 3717	. . . 4 |- (Ord A -> ((/) e. A <-> A =/= (/)))
4	2, 3	syl 12	. . 3 |- (A e. om -> ((/) e. A <-> A =/= (/)))
5	4	pm5.32i 707	. 2 |- ((A e. om /\ (/) e. A) <-> (A e. om /\ A =/= (/)))
6	1, 5	bitr4i 193	1 |- (A e. N. <-> (A e. om /\ (/) e. A))

Syntax hints:   <-> wb 163   /\ wa 240   e. wcel 1300   =/= wne 2017  (/)c0 2875  Ord word 3656  omcom 3949  N.cnpi 6124

This theorem is referenced by:  addclpi 6172  mulclpi 6173  mulcanpi 6179  addnidpi 6180  ltexpi 6181  ltmpi 6183  indpi 6186

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-ni 6152

Copyright terms: Public domain