MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elni2 Structured version   Unicode version

Theorem elni2 9051
Description: Membership in the class of positive integers. (Contributed by NM, 27-Nov-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
elni2  |-  ( A  e.  N.  <->  ( A  e.  om  /\  (/)  e.  A
) )

Proof of Theorem elni2
StepHypRef Expression
1 elni 9050 . 2  |-  ( A  e.  N.  <->  ( A  e.  om  /\  A  =/=  (/) ) )
2 nnord 6489 . . . 4  |-  ( A  e.  om  ->  Ord  A )
3 ord0eln0 4778 . . . 4  |-  ( Ord 
A  ->  ( (/)  e.  A  <->  A  =/=  (/) ) )
42, 3syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  om  ->  ( (/) 
e.  A  <->  A  =/=  (/) ) )
54pm5.32i 637 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  (/) 
e.  A )  <->  ( A  e.  om  /\  A  =/=  (/) ) )
61, 5bitr4i 252 1  |-  ( A  e.  N.  <->  ( A  e.  om  /\  (/)  e.  A
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1756    =/= wne 2611   (/)c0 3642   Ord word 4723   omcom 6481   N.cnpi 9016
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pr 4536  ax-un 6377
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-br 4298  df-opab 4356  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-om 6482  df-ni 9046
This theorem is referenced by:  addclpi  9066  mulclpi  9067  mulcanpi  9074  addnidpi  9075  ltexpi  9076  ltmpi  9078  indpi  9081
  Copyright terms: Public domain W3C validator