MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elni2 Structured version   Unicode version

Theorem elni2 9253
Description: Membership in the class of positive integers. (Contributed by NM, 27-Nov-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
elni2  |-  ( A  e.  N.  <->  ( A  e.  om  /\  (/)  e.  A
) )

Proof of Theorem elni2
StepHypRef Expression
1 elni 9252 . 2  |-  ( A  e.  N.  <->  ( A  e.  om  /\  A  =/=  (/) ) )
2 nnord 6658 . . . 4  |-  ( A  e.  om  ->  Ord  A )
3 ord0eln0 5439 . . . 4  |-  ( Ord 
A  ->  ( (/)  e.  A  <->  A  =/=  (/) ) )
42, 3syl 17 . . 3  |-  ( A  e.  om  ->  ( (/) 
e.  A  <->  A  =/=  (/) ) )
54pm5.32i 641 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  (/) 
e.  A )  <->  ( A  e.  om  /\  A  =/=  (/) ) )
61, 5bitr4i 255 1  |-  ( A  e.  N.  <->  ( A  e.  om  /\  (/)  e.  A
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 187    /\ wa 370    e. wcel 1872    =/= wne 2599   (/)c0 3704   Ord word 5384   omcom 6650   N.cnpi 9220
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pr 4603  ax-un 6541
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-ral 2719  df-rex 2720  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-br 4367  df-opab 4426  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-om 6651  df-ni 9248
This theorem is referenced by:  addclpi  9268  mulclpi  9269  mulcanpi  9276  addnidpi  9277  ltexpi  9278  ltmpi  9280  indpi  9283
  Copyright terms: Public domain W3C validator