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Theorem elmrsubrn 30110
Description: Characterization of the substitutions as functions from expressions to expressions that distribute under concatenation and map constants to themselves. (The constant part uses  ( C  \  V ) because we don't know that  C and  V are disjoint until we get to ismfs 30139.) (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mrsubccat.s  |-  S  =  (mRSubst `  T )
mrsubccat.r  |-  R  =  (mREx `  T )
mrsubcn.v  |-  V  =  (mVR `  T )
mrsubcn.c  |-  C  =  (mCN `  T )
Assertion
Ref Expression
elmrsubrn  |-  ( T  e.  W  ->  ( F  e.  ran  S  <->  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C  \  V ) ( F `
 <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, c,
y, C    x, R, y    S, c, x, y   
x, T, y    F, c, x, y    V, c, x, y    x, W, y
Allowed substitution hints:    R( c)    T( c)    W( c)

Proof of Theorem elmrsubrn
Dummy variables  r 
v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mrsubccat.s . . . 4  |-  S  =  (mRSubst `  T )
2 mrsubccat.r . . . 4  |-  R  =  (mREx `  T )
31, 2mrsubf 30107 . . 3  |-  ( F  e.  ran  S  ->  F : R --> R )
4 mrsubcn.v . . . . 5  |-  V  =  (mVR `  T )
5 mrsubcn.c . . . . 5  |-  C  =  (mCN `  T )
61, 2, 4, 5mrsubcn 30109 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ran  S  /\  c  e.  ( C  \  V ) )  ->  ( F `  <" c "> )  =  <" c "> )
76ralrimiva 2779 . . 3  |-  ( F  e.  ran  S  ->  A. c  e.  ( C  \  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c "> )
81, 2mrsubccat 30108 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ran  S  /\  x  e.  R  /\  y  e.  R
)  ->  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y
) ) )
983expb 1206 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ran  S  /\  ( x  e.  R  /\  y  e.  R
) )  ->  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) )
109ralrimivva 2786 . . 3  |-  ( F  e.  ran  S  ->  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) )
113, 7, 103jca 1185 . 2  |-  ( F  e.  ran  S  -> 
( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C  \  V
) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y
) ) ) )
125, 4, 2mrexval 30091 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  W  ->  R  = Word  ( C  u.  V
) )
1312adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  ->  R  = Word  ( C  u.  V
) )
14 s1eq 12687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  v  ->  <" w ">  =  <" v "> )
1514fveq2d 5829 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  v  ->  ( F `  <" w "> )  =  ( F `  <" v "> ) )
16 eqid 2428 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  V  |->  ( F `
 <" w "> ) )  =  ( w  e.  V  |->  ( F `  <" w "> )
)
17 fvex 5835 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F `
 <" v "> )  e.  _V
1815, 16, 17fvmpt 5908 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  e.  V  ->  (
( w  e.  V  |->  ( F `  <" w "> )
) `  v )  =  ( F `  <" v "> ) )
1918adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  /\  v  e.  ( C  u.  V
) )  /\  v  e.  V )  ->  (
( w  e.  V  |->  ( F `  <" w "> )
) `  v )  =  ( F `  <" v "> ) )
20 difun2 3820 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( C  u.  V ) 
\  V )  =  ( C  \  V
)
2120eleq2i 2498 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  e.  ( ( C  u.  V )  \  V )  <->  v  e.  ( C  \  V ) )
22 eldif 3389 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  e.  ( ( C  u.  V )  \  V )  <->  ( v  e.  ( C  u.  V
)  /\  -.  v  e.  V ) )
2321, 22bitr3i 254 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  e.  ( C  \  V )  <->  ( v  e.  ( C  u.  V
)  /\  -.  v  e.  V ) )
24 simpr2 1012 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  ->  A. c  e.  ( C  \  V
) ( F `  <" c "> )  =  <" c "> )
25 s1eq 12687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( c  =  v  ->  <" c ">  =  <" v "> )
2625fveq2d 5829 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( c  =  v  ->  ( F `  <" c "> )  =  ( F `  <" v "> ) )
2726, 25eqeq12d 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( c  =  v  ->  (
( F `  <" c "> )  =  <" c ">  <->  ( F `  <" v "> )  =  <" v "> ) )
2827rspccva 3124 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. c  e.  ( C  \  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  v  e.  ( C  \  V ) )  ->  ( F `  <" v "> )  =  <" v "> )
2924, 28sylan 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C  \  V
) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y
) ) ) )  /\  v  e.  ( C  \  V ) )  ->  ( F `  <" v "> )  =  <" v "> )
3023, 29sylan2br 478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C  \  V
) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y
) ) ) )  /\  ( v  e.  ( C  u.  V
)  /\  -.  v  e.  V ) )  -> 
( F `  <" v "> )  =  <" v "> )
3130anassrs 652 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  /\  v  e.  ( C  u.  V
) )  /\  -.  v  e.  V )  ->  ( F `  <" v "> )  =  <" v "> )
3231eqcomd 2434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  /\  v  e.  ( C  u.  V
) )  /\  -.  v  e.  V )  ->  <" v ">  =  ( F `
 <" v "> ) )
3319, 32ifeqda 3887 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C  \  V
) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y
) ) ) )  /\  v  e.  ( C  u.  V ) )  ->  if (
v  e.  V , 
( ( w  e.  V  |->  ( F `  <" w "> ) ) `  v
) ,  <" v "> )  =  ( F `  <" v "> ) )
3433mpteq2dva 4453 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  ->  ( v  e.  ( C  u.  V
)  |->  if ( v  e.  V ,  ( ( w  e.  V  |->  ( F `  <" w "> )
) `  v ) ,  <" v "> ) )  =  ( v  e.  ( C  u.  V ) 
|->  ( F `  <" v "> )
) )
3534coeq1d 4958 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  ->  ( (
v  e.  ( C  u.  V )  |->  if ( v  e.  V ,  ( ( w  e.  V  |->  ( F `
 <" w "> ) ) `  v ) ,  <" v "> )
)  o.  r )  =  ( ( v  e.  ( C  u.  V )  |->  ( F `
 <" v "> ) )  o.  r ) )
3635oveq2d 6265 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  ->  ( (freeMnd `  ( C  u.  V
) )  gsumg  ( ( v  e.  ( C  u.  V
)  |->  if ( v  e.  V ,  ( ( w  e.  V  |->  ( F `  <" w "> )
) `  v ) ,  <" v "> ) )  o.  r ) )  =  ( (freeMnd `  ( C  u.  V )
)  gsumg  ( ( v  e.  ( C  u.  V
)  |->  ( F `  <" v "> ) )  o.  r
) ) )
3713, 36mpteq12dv 4445 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  ->  ( r  e.  R  |->  ( (freeMnd `  ( C  u.  V
) )  gsumg  ( ( v  e.  ( C  u.  V
)  |->  if ( v  e.  V ,  ( ( w  e.  V  |->  ( F `  <" w "> )
) `  v ) ,  <" v "> ) )  o.  r ) ) )  =  ( r  e. Word 
( C  u.  V
)  |->  ( (freeMnd `  ( C  u.  V )
)  gsumg  ( ( v  e.  ( C  u.  V
)  |->  ( F `  <" v "> ) )  o.  r
) ) ) )
38 elun2 3577 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  V  ->  v  e.  ( C  u.  V
) )
39 simpr1 1011 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  ->  F : R
--> R )
4039adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C  \  V
) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y
) ) ) )  /\  v  e.  ( C  u.  V ) )  ->  F : R
--> R )
41 simpr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C  \  V
) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y
) ) ) )  /\  v  e.  ( C  u.  V ) )  ->  v  e.  ( C  u.  V
) )
4241s1cld 12690 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C  \  V
) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y
) ) ) )  /\  v  e.  ( C  u.  V ) )  ->  <" v ">  e. Word  ( C  u.  V ) )
4312ad2antrr 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C  \  V
) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y
) ) ) )  /\  v  e.  ( C  u.  V ) )  ->  R  = Word  ( C  u.  V
) )
4442, 43eleqtrrd 2509 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C  \  V
) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y
) ) ) )  /\  v  e.  ( C  u.  V ) )  ->  <" v ">  e.  R )
4540, 44ffvelrnd 5982 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C  \  V
) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y
) ) ) )  /\  v  e.  ( C  u.  V ) )  ->  ( F `  <" v "> )  e.  R
)
4638, 45sylan2 476 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C  \  V
) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y
) ) ) )  /\  v  e.  V
)  ->  ( F `  <" v "> )  e.  R
)
4715cbvmptv 4459 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  V  |->  ( F `
 <" w "> ) )  =  ( v  e.  V  |->  ( F `  <" v "> )
)
4846, 47fmptd 6005 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  ->  ( w  e.  V  |->  ( F `
 <" w "> ) ) : V --> R )
49 ssid 3426 . . . . . 6  |-  V  C_  V
50 eqid 2428 . . . . . . 7  |-  (freeMnd `  ( C  u.  V )
)  =  (freeMnd `  ( C  u.  V )
)
515, 4, 2, 1, 50mrsubfval 30098 . . . . . 6  |-  ( ( ( w  e.  V  |->  ( F `  <" w "> )
) : V --> R  /\  V  C_  V )  -> 
( S `  (
w  e.  V  |->  ( F `  <" w "> ) ) )  =  ( r  e.  R  |->  ( (freeMnd `  ( C  u.  V )
)  gsumg  ( ( v  e.  ( C  u.  V
)  |->  if ( v  e.  V ,  ( ( w  e.  V  |->  ( F `  <" w "> )
) `  v ) ,  <" v "> ) )  o.  r ) ) ) )
5248, 49, 51sylancl 666 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  ->  ( S `  ( w  e.  V  |->  ( F `  <" w "> )
) )  =  ( r  e.  R  |->  ( (freeMnd `  ( C  u.  V ) )  gsumg  ( ( v  e.  ( C  u.  V )  |->  if ( v  e.  V ,  ( ( w  e.  V  |->  ( F `
 <" w "> ) ) `  v ) ,  <" v "> )
)  o.  r ) ) ) )
53 fvex 5835 . . . . . . . . . 10  |-  (mCN `  T )  e.  _V
545, 53eqeltri 2502 . . . . . . . . 9  |-  C  e. 
_V
55 fvex 5835 . . . . . . . . . 10  |-  (mVR `  T )  e.  _V
564, 55eqeltri 2502 . . . . . . . . 9  |-  V  e. 
_V
5754, 56unex 6547 . . . . . . . 8  |-  ( C  u.  V )  e. 
_V
5850frmdmnd 16586 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  u.  V )  e.  _V  ->  (freeMnd `  ( C  u.  V
) )  e.  Mnd )
5957, 58ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  (freeMnd `  ( C  u.  V )
)  e.  Mnd
6059a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  ->  (freeMnd `  ( C  u.  V )
)  e.  Mnd )
6157a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  ->  ( C  u.  V )  e.  _V )
6245, 43eleqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C  \  V
) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y
) ) ) )  /\  v  e.  ( C  u.  V ) )  ->  ( F `  <" v "> )  e. Word  ( C  u.  V )
)
63 eqid 2428 . . . . . . 7  |-  ( v  e.  ( C  u.  V )  |->  ( F `
 <" v "> ) )  =  ( v  e.  ( C  u.  V ) 
|->  ( F `  <" v "> )
)
6462, 63fmptd 6005 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  ->  ( v  e.  ( C  u.  V
)  |->  ( F `  <" v "> ) ) : ( C  u.  V ) -->Word  ( C  u.  V
) )
6513, 13feq23d 5684 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  ->  ( F : R --> R  <->  F :Word  ( C  u.  V
) -->Word  ( C  u.  V ) ) )
6639, 65mpbid 213 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  ->  F :Word  ( C  u.  V
) -->Word  ( C  u.  V ) )
67 simpr3 1013 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  ->  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y
) ) )
68 simprl 762 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T  e.  W  /\  F : R --> R )  /\  ( x  e.  R  /\  y  e.  R ) )  ->  x  e.  R )
6912adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( T  e.  W  /\  F : R --> R )  ->  R  = Word  ( C  u.  V )
)
7069adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T  e.  W  /\  F : R --> R )  /\  ( x  e.  R  /\  y  e.  R ) )  ->  R  = Word  ( C  u.  V ) )
7168, 70eleqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T  e.  W  /\  F : R --> R )  /\  ( x  e.  R  /\  y  e.  R ) )  ->  x  e. Word  ( C  u.  V ) )
72 simprr 764 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T  e.  W  /\  F : R --> R )  /\  ( x  e.  R  /\  y  e.  R ) )  -> 
y  e.  R )
7372, 70eleqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T  e.  W  /\  F : R --> R )  /\  ( x  e.  R  /\  y  e.  R ) )  -> 
y  e. Word  ( C  u.  V ) )
74 eqid 2428 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Base `  (freeMnd `  ( C  u.  V ) ) )  =  ( Base `  (freeMnd `  ( C  u.  V
) ) )
7550, 74frmdbas 16579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( C  u.  V )  e.  _V  ->  ( Base `  (freeMnd `  ( C  u.  V )
) )  = Word  ( C  u.  V )
)
7657, 75ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Base `  (freeMnd `  ( C  u.  V ) ) )  = Word  ( C  u.  V )
7776eqcomi 2437 . . . . . . . . . . . . . . 15  |- Word  ( C  u.  V )  =  ( Base `  (freeMnd `  ( C  u.  V
) ) )
78 eqid 2428 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( +g  `  (freeMnd `  ( C  u.  V ) ) )  =  ( +g  `  (freeMnd `  ( C  u.  V
) ) )
7950, 77, 78frmdadd 16582 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e. Word  ( C  u.  V )  /\  y  e. Word  ( C  u.  V ) )  -> 
( x ( +g  `  (freeMnd `  ( C  u.  V ) ) ) y )  =  ( x ++  y ) )
8071, 73, 79syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T  e.  W  /\  F : R --> R )  /\  ( x  e.  R  /\  y  e.  R ) )  -> 
( x ( +g  `  (freeMnd `  ( C  u.  V ) ) ) y )  =  ( x ++  y ) )
8180fveq2d 5829 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T  e.  W  /\  F : R --> R )  /\  ( x  e.  R  /\  y  e.  R ) )  -> 
( F `  (
x ( +g  `  (freeMnd `  ( C  u.  V
) ) ) y ) )  =  ( F `  ( x ++  y ) ) )
82 ffvelrn 5979 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : R --> R  /\  x  e.  R )  ->  ( F `  x
)  e.  R )
8382ad2ant2lr 752 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T  e.  W  /\  F : R --> R )  /\  ( x  e.  R  /\  y  e.  R ) )  -> 
( F `  x
)  e.  R )
8483, 70eleqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T  e.  W  /\  F : R --> R )  /\  ( x  e.  R  /\  y  e.  R ) )  -> 
( F `  x
)  e. Word  ( C  u.  V ) )
85 ffvelrn 5979 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : R --> R  /\  y  e.  R )  ->  ( F `  y
)  e.  R )
8685ad2ant2l 750 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T  e.  W  /\  F : R --> R )  /\  ( x  e.  R  /\  y  e.  R ) )  -> 
( F `  y
)  e.  R )
8786, 70eleqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T  e.  W  /\  F : R --> R )  /\  ( x  e.  R  /\  y  e.  R ) )  -> 
( F `  y
)  e. Word  ( C  u.  V ) )
8850, 77, 78frmdadd 16582 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  x
)  e. Word  ( C  u.  V )  /\  ( F `  y )  e. Word  ( C  u.  V
) )  ->  (
( F `  x
) ( +g  `  (freeMnd `  ( C  u.  V
) ) ) ( F `  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y
) ) )
8984, 87, 88syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T  e.  W  /\  F : R --> R )  /\  ( x  e.  R  /\  y  e.  R ) )  -> 
( ( F `  x ) ( +g  `  (freeMnd `  ( C  u.  V ) ) ) ( F `  y
) )  =  ( ( F `  x
) ++  ( F `  y ) ) )
9081, 89eqeq12d 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T  e.  W  /\  F : R --> R )  /\  ( x  e.  R  /\  y  e.  R ) )  -> 
( ( F `  ( x ( +g  `  (freeMnd `  ( C  u.  V ) ) ) y ) )  =  ( ( F `  x ) ( +g  `  (freeMnd `  ( C  u.  V ) ) ) ( F `  y
) )  <->  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y
) ) ) )
91902ralbidva 2807 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  W  /\  F : R --> R )  ->  ( A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ( +g  `  (freeMnd `  ( C  u.  V ) ) ) y ) )  =  ( ( F `  x ) ( +g  `  (freeMnd `  ( C  u.  V ) ) ) ( F `  y
) )  <->  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y
) ) ) )
9269raleqdv 2970 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  W  /\  F : R --> R )  ->  ( A. y  e.  R  ( F `  ( x ( +g  `  (freeMnd `  ( C  u.  V ) ) ) y ) )  =  ( ( F `  x ) ( +g  `  (freeMnd `  ( C  u.  V ) ) ) ( F `  y
) )  <->  A. y  e. Word  ( C  u.  V
) ( F `  ( x ( +g  `  (freeMnd `  ( C  u.  V ) ) ) y ) )  =  ( ( F `  x ) ( +g  `  (freeMnd `  ( C  u.  V ) ) ) ( F `  y
) ) ) )
9369, 92raleqbidv 2978 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  W  /\  F : R --> R )  ->  ( A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ( +g  `  (freeMnd `  ( C  u.  V ) ) ) y ) )  =  ( ( F `  x ) ( +g  `  (freeMnd `  ( C  u.  V ) ) ) ( F `  y
) )  <->  A. x  e. Word  ( C  u.  V
) A. y  e. Word 
( C  u.  V
) ( F `  ( x ( +g  `  (freeMnd `  ( C  u.  V ) ) ) y ) )  =  ( ( F `  x ) ( +g  `  (freeMnd `  ( C  u.  V ) ) ) ( F `  y
) ) ) )
9491, 93bitr3d 258 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  W  /\  F : R --> R )  ->  ( A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y
) )  <->  A. x  e. Word  ( C  u.  V
) A. y  e. Word 
( C  u.  V
) ( F `  ( x ( +g  `  (freeMnd `  ( C  u.  V ) ) ) y ) )  =  ( ( F `  x ) ( +g  `  (freeMnd `  ( C  u.  V ) ) ) ( F `  y
) ) ) )
95943ad2antr1 1170 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  ->  ( A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) )  <->  A. x  e. Word  ( C  u.  V
) A. y  e. Word 
( C  u.  V
) ( F `  ( x ( +g  `  (freeMnd `  ( C  u.  V ) ) ) y ) )  =  ( ( F `  x ) ( +g  `  (freeMnd `  ( C  u.  V ) ) ) ( F `  y
) ) ) )
9667, 95mpbid 213 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  ->  A. x  e. Word  ( C  u.  V
) A. y  e. Word 
( C  u.  V
) ( F `  ( x ( +g  `  (freeMnd `  ( C  u.  V ) ) ) y ) )  =  ( ( F `  x ) ( +g  `  (freeMnd `  ( C  u.  V ) ) ) ( F `  y
) ) )
97 wrd0 12639 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  e. Word  ( C  u.  V )
98 ffvelrn 5979 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F :Word  ( C  u.  V ) -->Word  ( C  u.  V )  /\  (/)  e. Word  ( C  u.  V ) )  -> 
( F `  (/) )  e. Word 
( C  u.  V
) )
9966, 97, 98sylancl 666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  ->  ( F `  (/) )  e. Word  ( C  u.  V )
)
100 lencl 12635 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  (/) )  e. Word 
( C  u.  V
)  ->  ( # `  ( F `  (/) ) )  e.  NN0 )
10199, 100syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  ->  ( # `  ( F `  (/) ) )  e.  NN0 )
102101nn0cnd 10878 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  ->  ( # `  ( F `  (/) ) )  e.  CC )
103 0cnd 9587 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  ->  0  e.  CC )
104102addid1d 9784 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  ->  ( ( # `
 ( F `  (/) ) )  +  0 )  =  ( # `  ( F `  (/) ) ) )
10597, 13syl5eleqr 2513 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  ->  (/)  e.  R
)
106 oveq1 6256 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x ++  y )  =  (
(/) ++  y ) )
107106fveq2d 5829 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  (/)  ->  ( F `
 ( x ++  y
) )  =  ( F `  ( (/) ++  y ) ) )
108 fveq2 5825 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  (/)  ->  ( F `
 x )  =  ( F `  (/) ) )
109108oveq1d 6264 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y
) )  =  ( ( F `  (/) ) ++  ( F `  y ) ) )
110107, 109eqeq12d 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) )  <->  ( F `  ( (/) ++  y )
)  =  ( ( F `  (/) ) ++  ( F `  y ) ) ) )
111 oveq2 6257 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  (/)  ->  ( (/) ++  y )  =  ( (/) ++  (/) ) )
112 ccatlid 12678 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (/)  e. Word  ( C  u.  V
)  ->  ( (/) ++  (/) )  =  (/) )
11397, 112ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (/) ++  (/) )  =  (/)
114111, 113syl6eq 2478 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  (/)  ->  ( (/) ++  y )  =  (/) )
115114fveq2d 5829 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  (/)  ->  ( F `
 ( (/) ++  y ) )  =  ( F `
 (/) ) )
116 fveq2 5825 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  (/)  ->  ( F `
 y )  =  ( F `  (/) ) )
117116oveq2d 6265 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  (/)  ->  ( ( F `  (/) ) ++  ( F `  y ) )  =  ( ( F `  (/) ) ++  ( F `  (/) ) ) )
118115, 117eqeq12d 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  (/)  ->  ( ( F `  ( (/) ++  y ) )  =  ( ( F `  (/) ) ++  ( F `  y ) )  <->  ( F `  (/) )  =  ( ( F `  (/) ) ++  ( F `  (/) ) ) ) )
119110, 118rspc2va 3135 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( (/)  e.  R  /\  (/)  e.  R )  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y )
)  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y
) ) )  -> 
( F `  (/) )  =  ( ( F `  (/) ) ++  ( F `  (/) ) ) )
120105, 105, 67, 119syl21anc 1263 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  ->  ( F `  (/) )  =  ( ( F `  (/) ) ++  ( F `  (/) ) ) )
121120fveq2d 5829 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  ->  ( # `  ( F `  (/) ) )  =  ( # `  (
( F `  (/) ) ++  ( F `  (/) ) ) ) )
122 ccatlen 12669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  (/) )  e. Word 
( C  u.  V
)  /\  ( F `  (/) )  e. Word  ( C  u.  V )
)  ->  ( # `  (
( F `  (/) ) ++  ( F `  (/) ) ) )  =  ( (
# `  ( F `  (/) ) )  +  ( # `  ( F `  (/) ) ) ) )
12399, 99, 122syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  ->  ( # `  (
( F `  (/) ) ++  ( F `  (/) ) ) )  =  ( (
# `  ( F `  (/) ) )  +  ( # `  ( F `  (/) ) ) ) )
124104, 121, 1233eqtrrd 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  ->  ( ( # `
 ( F `  (/) ) )  +  (
# `  ( F `  (/) ) ) )  =  ( ( # `  ( F `  (/) ) )  +  0 ) )
125102, 102, 103, 124addcanad 9789 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  ->  ( # `  ( F `  (/) ) )  =  0 )
126 fvex 5835 . . . . . . . . 9  |-  ( F `
 (/) )  e.  _V
127 hasheq0 12494 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  (/) )  e. 
_V  ->  ( ( # `  ( F `  (/) ) )  =  0  <->  ( F `  (/) )  =  (/) ) )
128126, 127ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  ( F `  (/) ) )  =  0  <->  ( F `  (/) )  =  (/) )
129125, 128sylib 199 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  ->  ( F `  (/) )  =  (/) )
13059, 59pm3.2i 456 . . . . . . . 8  |-  ( (freeMnd `  ( C  u.  V
) )  e.  Mnd  /\  (freeMnd `  ( C  u.  V ) )  e. 
Mnd )
13150frmd0 16587 . . . . . . . . 9  |-  (/)  =  ( 0g `  (freeMnd `  ( C  u.  V )
) )
13277, 77, 78, 78, 131, 131ismhm 16527 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( (freeMnd `  ( C  u.  V )
) MndHom  (freeMnd `  ( C  u.  V ) ) )  <-> 
( ( (freeMnd `  ( C  u.  V )
)  e.  Mnd  /\  (freeMnd `  ( C  u.  V ) )  e. 
Mnd )  /\  ( F :Word  ( C  u.  V ) -->Word  ( C  u.  V )  /\  A. x  e. Word  ( C  u.  V ) A. y  e. Word  ( C  u.  V
) ( F `  ( x ( +g  `  (freeMnd `  ( C  u.  V ) ) ) y ) )  =  ( ( F `  x ) ( +g  `  (freeMnd `  ( C  u.  V ) ) ) ( F `  y
) )  /\  ( F `  (/) )  =  (/) ) ) )
133130, 132mpbiran 926 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( (freeMnd `  ( C  u.  V )
) MndHom  (freeMnd `  ( C  u.  V ) ) )  <-> 
( F :Word  ( C  u.  V ) -->Word  ( C  u.  V
)  /\  A. x  e. Word  ( C  u.  V
) A. y  e. Word 
( C  u.  V
) ( F `  ( x ( +g  `  (freeMnd `  ( C  u.  V ) ) ) y ) )  =  ( ( F `  x ) ( +g  `  (freeMnd `  ( C  u.  V ) ) ) ( F `  y
) )  /\  ( F `  (/) )  =  (/) ) )
13466, 96, 129, 133syl3anbrc 1189 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  ->  F  e.  ( (freeMnd `  ( C  u.  V ) ) MndHom  (freeMnd `  ( C  u.  V
) ) ) )
135 eqid 2428 . . . . . . . . . 10  |-  (varFMnd `  ( C  u.  V )
)  =  (varFMnd `  ( C  u.  V )
)
136135vrmdf 16585 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  u.  V )  e.  _V  ->  (varFMnd `  ( C  u.  V )
) : ( C  u.  V ) -->Word  ( C  u.  V ) )
13757, 136ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  (varFMnd `  ( C  u.  V )
) : ( C  u.  V ) -->Word  ( C  u.  V )
138 fcompt 6018 . . . . . . . 8  |-  ( ( F :Word  ( C  u.  V ) -->Word  ( C  u.  V )  /\  (varFMnd `  ( C  u.  V
) ) : ( C  u.  V ) -->Word  ( C  u.  V
) )  ->  ( F  o.  (varFMnd `  ( C  u.  V
) ) )  =  ( v  e.  ( C  u.  V ) 
|->  ( F `  (
(varFMnd `  ( C  u.  V
) ) `  v
) ) ) )
13966, 137, 138sylancl 666 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  ->  ( F  o.  (varFMnd `  ( C  u.  V
) ) )  =  ( v  e.  ( C  u.  V ) 
|->  ( F `  (
(varFMnd `  ( C  u.  V
) ) `  v
) ) ) )
140135vrmdval 16584 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  u.  V
)  e.  _V  /\  v  e.  ( C  u.  V ) )  -> 
( (varFMnd `  ( C  u.  V
) ) `  v
)  =  <" v "> )
14161, 140sylan 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C  \  V
) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y
) ) ) )  /\  v  e.  ( C  u.  V ) )  ->  ( (varFMnd `  ( C  u.  V )
) `  v )  =  <" v "> )
142141fveq2d 5829 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C  \  V
) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y
) ) ) )  /\  v  e.  ( C  u.  V ) )  ->  ( F `  ( (varFMnd `  ( C  u.  V
) ) `  v
) )  =  ( F `  <" v "> ) )
143142mpteq2dva 4453 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  ->  ( v  e.  ( C  u.  V
)  |->  ( F `  ( (varFMnd `  ( C  u.  V
) ) `  v
) ) )  =  ( v  e.  ( C  u.  V ) 
|->  ( F `  <" v "> )
) )
144139, 143eqtrd 2462 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  ->  ( F  o.  (varFMnd `  ( C  u.  V
) ) )  =  ( v  e.  ( C  u.  V ) 
|->  ( F `  <" v "> )
) )
14550, 77, 135frmdup3lem 16593 . . . . . 6  |-  ( ( ( (freeMnd `  ( C  u.  V )
)  e.  Mnd  /\  ( C  u.  V
)  e.  _V  /\  ( v  e.  ( C  u.  V ) 
|->  ( F `  <" v "> )
) : ( C  u.  V ) -->Word  ( C  u.  V ) )  /\  ( F  e.  ( (freeMnd `  ( C  u.  V )
) MndHom  (freeMnd `  ( C  u.  V ) ) )  /\  ( F  o.  (varFMnd `  ( C  u.  V
) ) )  =  ( v  e.  ( C  u.  V ) 
|->  ( F `  <" v "> )
) ) )  ->  F  =  ( r  e. Word  ( C  u.  V
)  |->  ( (freeMnd `  ( C  u.  V )
)  gsumg  ( ( v  e.  ( C  u.  V
)  |->  ( F `  <" v "> ) )  o.  r
) ) ) )
14660, 61, 64, 134, 144, 145syl32anc 1272 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  ->  F  =  ( r  e. Word  ( C  u.  V )  |->  ( (freeMnd `  ( C  u.  V )
)  gsumg  ( ( v  e.  ( C  u.  V
)  |->  ( F `  <" v "> ) )  o.  r
) ) ) )
14737, 52, 1463eqtr4rd 2473 . . . 4  |-  ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  ->  F  =  ( S `  ( w  e.  V  |->  ( F `
 <" w "> ) ) ) )
1484, 2, 1mrsubff 30102 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  W  ->  S : ( R  ^pm  V ) --> ( R  ^m  R ) )
149 ffn 5689 . . . . . . 7  |-  ( S : ( R  ^pm  V ) --> ( R  ^m  R )  ->  S  Fn  ( R  ^pm  V
) )
150148, 149syl 17 . . . . . 6  |-  ( T  e.  W  ->  S  Fn  ( R  ^pm  V
) )
151150adantr 466 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  ->  S  Fn  ( R  ^pm  V ) )
152 fvex 5835 . . . . . . . 8  |-  (mREx `  T )  e.  _V
1532, 152eqeltri 2502 . . . . . . 7  |-  R  e. 
_V
154 elpm2r 7444 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  _V  /\  V  e.  _V )  /\  ( ( w  e.  V  |->  ( F `  <" w "> ) ) : V --> R  /\  V  C_  V
) )  ->  (
w  e.  V  |->  ( F `  <" w "> ) )  e.  ( R  ^pm  V
) )
155153, 56, 154mpanl12 686 . . . . . 6  |-  ( ( ( w  e.  V  |->  ( F `  <" w "> )
) : V --> R  /\  V  C_  V )  -> 
( w  e.  V  |->  ( F `  <" w "> )
)  e.  ( R 
^pm  V ) )
15648, 49, 155sylancl 666 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  ->  ( w  e.  V  |->  ( F `
 <" w "> ) )  e.  ( R  ^pm  V
) )
157 fnfvelrn 5978 . . . . 5  |-  ( ( S  Fn  ( R 
^pm  V )  /\  ( w  e.  V  |->  ( F `  <" w "> )
)  e.  ( R 
^pm  V ) )  ->  ( S `  ( w  e.  V  |->  ( F `  <" w "> )
) )  e.  ran  S )
158151, 156, 157syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  ->  ( S `  ( w  e.  V  |->  ( F `  <" w "> )
) )  e.  ran  S )
159147, 158eqeltrd 2506 . . 3  |-  ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  ->  F  e.  ran  S )
160159ex 435 . 2  |-  ( T  e.  W  ->  (
( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C  \  V
) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y
) ) )  ->  F  e.  ran  S ) )
16111, 160impbid2 207 1  |-  ( T  e.  W  ->  ( F  e.  ran  S  <->  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C  \  V ) ( F `
 <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872   A.wral 2714   _Vcvv 3022    \ cdif 3376    u. cun 3377    C_ wss 3379   (/)c0 3704   ifcif 3854    |-> cmpt 4425   ran crn 4797    o. ccom 4800    Fn wfn 5539   -->wf 5540   ` cfv 5544  (class class class)co 6249    ^m cmap 7427    ^pm cpm 7428   0cc0 9490    + caddc 9493   NN0cn0 10820   #chash 12465  Word cword 12604   ++ cconcat 12606   <"cs1 12607   Basecbs 15064   +g cplusg 15133    gsumg cgsu 15282   Mndcmnd 16478   MndHom cmhm 16523  freeMndcfrmd 16574  varFMndcvrmd 16575  mCNcmcn 30050  mVRcmvar 30051  mRExcmrex 30056  mRSubstcmrsub 30060
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-oadd 7141  df-er 7318  df-map 7429  df-pm 7430  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-card 8325  df-cda 8549  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-nn 10561  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10889  df-uz 11111  df-fz 11736  df-fzo 11867  df-seq 12164  df-hash 12466  df-word 12612  df-lsw 12613  df-concat 12614  df-s1 12615  df-substr 12616  df-struct 15066  df-ndx 15067  df-slot 15068  df-base 15069  df-sets 15070  df-ress 15071  df-plusg 15146  df-0g 15283  df-gsum 15284  df-mgm 16431  df-sgrp 16470  df-mnd 16480  df-mhm 16525  df-submnd 16526  df-frmd 16576  df-vrmd 16577  df-mrex 30076  df-mrsub 30080
This theorem is referenced by:  mrsubco  30111
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