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Theorem elmrsubrn 29164
Description: Characterization of the substitutions as functions from expressions to expressions that distribute under concatenation and map constants to themselves. (The constant part uses  ( C  \  V ) because we don't know that  C and  V are disjoint until we get to ismfs 29193.) (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mrsubccat.s  |-  S  =  (mRSubst `  T )
mrsubccat.r  |-  R  =  (mREx `  T )
mrsubcn.v  |-  V  =  (mVR `  T )
mrsubcn.c  |-  C  =  (mCN `  T )
Assertion
Ref Expression
elmrsubrn  |-  ( T  e.  W  ->  ( F  e.  ran  S  <->  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C  \  V ) ( F `
 <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, c,
y, C    x, R, y    S, c, x, y   
x, T, y    F, c, x, y    V, c, x, y    x, W, y
Allowed substitution hints:    R( c)    T( c)    W( c)

Proof of Theorem elmrsubrn
Dummy variables  r 
v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mrsubccat.s . . . 4  |-  S  =  (mRSubst `  T )
2 mrsubccat.r . . . 4  |-  R  =  (mREx `  T )
31, 2mrsubf 29161 . . 3  |-  ( F  e.  ran  S  ->  F : R --> R )
4 mrsubcn.v . . . . 5  |-  V  =  (mVR `  T )
5 mrsubcn.c . . . . 5  |-  C  =  (mCN `  T )
61, 2, 4, 5mrsubcn 29163 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ran  S  /\  c  e.  ( C  \  V ) )  ->  ( F `  <" c "> )  =  <" c "> )
76ralrimiva 2871 . . 3  |-  ( F  e.  ran  S  ->  A. c  e.  ( C  \  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c "> )
81, 2mrsubccat 29162 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ran  S  /\  x  e.  R  /\  y  e.  R
)  ->  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y
) ) )
983expb 1197 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ran  S  /\  ( x  e.  R  /\  y  e.  R
) )  ->  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) )
109ralrimivva 2878 . . 3  |-  ( F  e.  ran  S  ->  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) )
113, 7, 103jca 1176 . 2  |-  ( F  e.  ran  S  -> 
( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C  \  V
) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y
) ) ) )
125, 4, 2mrexval 29145 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  W  ->  R  = Word  ( C  u.  V
) )
1312adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  ->  R  = Word  ( C  u.  V
) )
14 s1eq 12621 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  v  ->  <" w ">  =  <" v "> )
1514fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  v  ->  ( F `  <" w "> )  =  ( F `  <" v "> ) )
16 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  V  |->  ( F `
 <" w "> ) )  =  ( w  e.  V  |->  ( F `  <" w "> )
)
17 fvex 5882 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F `
 <" v "> )  e.  _V
1815, 16, 17fvmpt 5956 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  e.  V  ->  (
( w  e.  V  |->  ( F `  <" w "> )
) `  v )  =  ( F `  <" v "> ) )
1918adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  /\  v  e.  ( C  u.  V
) )  /\  v  e.  V )  ->  (
( w  e.  V  |->  ( F `  <" w "> )
) `  v )  =  ( F `  <" v "> ) )
20 difun2 3910 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( C  u.  V ) 
\  V )  =  ( C  \  V
)
2120eleq2i 2535 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  e.  ( ( C  u.  V )  \  V )  <->  v  e.  ( C  \  V ) )
22 eldif 3481 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  e.  ( ( C  u.  V )  \  V )  <->  ( v  e.  ( C  u.  V
)  /\  -.  v  e.  V ) )
2321, 22bitr3i 251 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  e.  ( C  \  V )  <->  ( v  e.  ( C  u.  V
)  /\  -.  v  e.  V ) )
24 simpr2 1003 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  ->  A. c  e.  ( C  \  V
) ( F `  <" c "> )  =  <" c "> )
25 s1eq 12621 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( c  =  v  ->  <" c ">  =  <" v "> )
2625fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( c  =  v  ->  ( F `  <" c "> )  =  ( F `  <" v "> ) )
2726, 25eqeq12d 2479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( c  =  v  ->  (
( F `  <" c "> )  =  <" c ">  <->  ( F `  <" v "> )  =  <" v "> ) )
2827rspccva 3209 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. c  e.  ( C  \  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  v  e.  ( C  \  V ) )  ->  ( F `  <" v "> )  =  <" v "> )
2924, 28sylan 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C  \  V
) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y
) ) ) )  /\  v  e.  ( C  \  V ) )  ->  ( F `  <" v "> )  =  <" v "> )
3023, 29sylan2br 476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C  \  V
) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y
) ) ) )  /\  ( v  e.  ( C  u.  V
)  /\  -.  v  e.  V ) )  -> 
( F `  <" v "> )  =  <" v "> )
3130anassrs 648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  /\  v  e.  ( C  u.  V
) )  /\  -.  v  e.  V )  ->  ( F `  <" v "> )  =  <" v "> )
3231eqcomd 2465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  /\  v  e.  ( C  u.  V
) )  /\  -.  v  e.  V )  ->  <" v ">  =  ( F `
 <" v "> ) )
3319, 32ifeqda 3977 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C  \  V
) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y
) ) ) )  /\  v  e.  ( C  u.  V ) )  ->  if (
v  e.  V , 
( ( w  e.  V  |->  ( F `  <" w "> ) ) `  v
) ,  <" v "> )  =  ( F `  <" v "> ) )
3433mpteq2dva 4543 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  ->  ( v  e.  ( C  u.  V
)  |->  if ( v  e.  V ,  ( ( w  e.  V  |->  ( F `  <" w "> )
) `  v ) ,  <" v "> ) )  =  ( v  e.  ( C  u.  V ) 
|->  ( F `  <" v "> )
) )
3534coeq1d 5174 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  ->  ( (
v  e.  ( C  u.  V )  |->  if ( v  e.  V ,  ( ( w  e.  V  |->  ( F `
 <" w "> ) ) `  v ) ,  <" v "> )
)  o.  r )  =  ( ( v  e.  ( C  u.  V )  |->  ( F `
 <" v "> ) )  o.  r ) )
3635oveq2d 6312 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  ->  ( (freeMnd `  ( C  u.  V
) )  gsumg  ( ( v  e.  ( C  u.  V
)  |->  if ( v  e.  V ,  ( ( w  e.  V  |->  ( F `  <" w "> )
) `  v ) ,  <" v "> ) )  o.  r ) )  =  ( (freeMnd `  ( C  u.  V )
)  gsumg  ( ( v  e.  ( C  u.  V
)  |->  ( F `  <" v "> ) )  o.  r
) ) )
3713, 36mpteq12dv 4535 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  ->  ( r  e.  R  |->  ( (freeMnd `  ( C  u.  V
) )  gsumg  ( ( v  e.  ( C  u.  V
)  |->  if ( v  e.  V ,  ( ( w  e.  V  |->  ( F `  <" w "> )
) `  v ) ,  <" v "> ) )  o.  r ) ) )  =  ( r  e. Word 
( C  u.  V
)  |->  ( (freeMnd `  ( C  u.  V )
)  gsumg  ( ( v  e.  ( C  u.  V
)  |->  ( F `  <" v "> ) )  o.  r
) ) ) )
38 elun2 3668 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  V  ->  v  e.  ( C  u.  V
) )
39 simpr1 1002 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  ->  F : R
--> R )
4039adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C  \  V
) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y
) ) ) )  /\  v  e.  ( C  u.  V ) )  ->  F : R
--> R )
41 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C  \  V
) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y
) ) ) )  /\  v  e.  ( C  u.  V ) )  ->  v  e.  ( C  u.  V
) )
4241s1cld 12624 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C  \  V
) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y
) ) ) )  /\  v  e.  ( C  u.  V ) )  ->  <" v ">  e. Word  ( C  u.  V ) )
4312ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C  \  V
) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y
) ) ) )  /\  v  e.  ( C  u.  V ) )  ->  R  = Word  ( C  u.  V
) )
4442, 43eleqtrrd 2548 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C  \  V
) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y
) ) ) )  /\  v  e.  ( C  u.  V ) )  ->  <" v ">  e.  R )
4540, 44ffvelrnd 6033 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C  \  V
) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y
) ) ) )  /\  v  e.  ( C  u.  V ) )  ->  ( F `  <" v "> )  e.  R
)
4638, 45sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C  \  V
) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y
) ) ) )  /\  v  e.  V
)  ->  ( F `  <" v "> )  e.  R
)
4715cbvmptv 4548 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  V  |->  ( F `
 <" w "> ) )  =  ( v  e.  V  |->  ( F `  <" v "> )
)
4846, 47fmptd 6056 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  ->  ( w  e.  V  |->  ( F `
 <" w "> ) ) : V --> R )
49 ssid 3518 . . . . . 6  |-  V  C_  V
50 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  (freeMnd `  ( C  u.  V )
)  =  (freeMnd `  ( C  u.  V )
)
515, 4, 2, 1, 50mrsubfval 29152 . . . . . 6  |-  ( ( ( w  e.  V  |->  ( F `  <" w "> )
) : V --> R  /\  V  C_  V )  -> 
( S `  (
w  e.  V  |->  ( F `  <" w "> ) ) )  =  ( r  e.  R  |->  ( (freeMnd `  ( C  u.  V )
)  gsumg  ( ( v  e.  ( C  u.  V
)  |->  if ( v  e.  V ,  ( ( w  e.  V  |->  ( F `  <" w "> )
) `  v ) ,  <" v "> ) )  o.  r ) ) ) )
5248, 49, 51sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  ->  ( S `  ( w  e.  V  |->  ( F `  <" w "> )
) )  =  ( r  e.  R  |->  ( (freeMnd `  ( C  u.  V ) )  gsumg  ( ( v  e.  ( C  u.  V )  |->  if ( v  e.  V ,  ( ( w  e.  V  |->  ( F `
 <" w "> ) ) `  v ) ,  <" v "> )
)  o.  r ) ) ) )
53 fvex 5882 . . . . . . . . . 10  |-  (mCN `  T )  e.  _V
545, 53eqeltri 2541 . . . . . . . . 9  |-  C  e. 
_V
55 fvex 5882 . . . . . . . . . 10  |-  (mVR `  T )  e.  _V
564, 55eqeltri 2541 . . . . . . . . 9  |-  V  e. 
_V
5754, 56unex 6597 . . . . . . . 8  |-  ( C  u.  V )  e. 
_V
5850frmdmnd 16245 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  u.  V )  e.  _V  ->  (freeMnd `  ( C  u.  V
) )  e.  Mnd )
5957, 58ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  (freeMnd `  ( C  u.  V )
)  e.  Mnd
6059a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  ->  (freeMnd `  ( C  u.  V )
)  e.  Mnd )
6157a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  ->  ( C  u.  V )  e.  _V )
6245, 43eleqtrd 2547 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C  \  V
) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y
) ) ) )  /\  v  e.  ( C  u.  V ) )  ->  ( F `  <" v "> )  e. Word  ( C  u.  V )
)
63 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ( v  e.  ( C  u.  V )  |->  ( F `
 <" v "> ) )  =  ( v  e.  ( C  u.  V ) 
|->  ( F `  <" v "> )
)
6462, 63fmptd 6056 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  ->  ( v  e.  ( C  u.  V
)  |->  ( F `  <" v "> ) ) : ( C  u.  V ) -->Word  ( C  u.  V
) )
6513, 13feq23d 5732 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  ->  ( F : R --> R  <->  F :Word  ( C  u.  V
) -->Word  ( C  u.  V ) ) )
6639, 65mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  ->  F :Word  ( C  u.  V
) -->Word  ( C  u.  V ) )
67 simpr3 1004 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  ->  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y
) ) )
68 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T  e.  W  /\  F : R --> R )  /\  ( x  e.  R  /\  y  e.  R ) )  ->  x  e.  R )
6912adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( T  e.  W  /\  F : R --> R )  ->  R  = Word  ( C  u.  V )
)
7069adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T  e.  W  /\  F : R --> R )  /\  ( x  e.  R  /\  y  e.  R ) )  ->  R  = Word  ( C  u.  V ) )
7168, 70eleqtrd 2547 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T  e.  W  /\  F : R --> R )  /\  ( x  e.  R  /\  y  e.  R ) )  ->  x  e. Word  ( C  u.  V ) )
72 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T  e.  W  /\  F : R --> R )  /\  ( x  e.  R  /\  y  e.  R ) )  -> 
y  e.  R )
7372, 70eleqtrd 2547 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T  e.  W  /\  F : R --> R )  /\  ( x  e.  R  /\  y  e.  R ) )  -> 
y  e. Word  ( C  u.  V ) )
74 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Base `  (freeMnd `  ( C  u.  V ) ) )  =  ( Base `  (freeMnd `  ( C  u.  V
) ) )
7550, 74frmdbas 16238 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( C  u.  V )  e.  _V  ->  ( Base `  (freeMnd `  ( C  u.  V )
) )  = Word  ( C  u.  V )
)
7657, 75ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Base `  (freeMnd `  ( C  u.  V ) ) )  = Word  ( C  u.  V )
7776eqcomi 2470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |- Word  ( C  u.  V )  =  ( Base `  (freeMnd `  ( C  u.  V
) ) )
78 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( +g  `  (freeMnd `  ( C  u.  V ) ) )  =  ( +g  `  (freeMnd `  ( C  u.  V
) ) )
7950, 77, 78frmdadd 16241 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e. Word  ( C  u.  V )  /\  y  e. Word  ( C  u.  V ) )  -> 
( x ( +g  `  (freeMnd `  ( C  u.  V ) ) ) y )  =  ( x ++  y ) )
8071, 73, 79syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T  e.  W  /\  F : R --> R )  /\  ( x  e.  R  /\  y  e.  R ) )  -> 
( x ( +g  `  (freeMnd `  ( C  u.  V ) ) ) y )  =  ( x ++  y ) )
8180fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T  e.  W  /\  F : R --> R )  /\  ( x  e.  R  /\  y  e.  R ) )  -> 
( F `  (
x ( +g  `  (freeMnd `  ( C  u.  V
) ) ) y ) )  =  ( F `  ( x ++  y ) ) )
82 ffvelrn 6030 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : R --> R  /\  x  e.  R )  ->  ( F `  x
)  e.  R )
8382ad2ant2lr 747 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T  e.  W  /\  F : R --> R )  /\  ( x  e.  R  /\  y  e.  R ) )  -> 
( F `  x
)  e.  R )
8483, 70eleqtrd 2547 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T  e.  W  /\  F : R --> R )  /\  ( x  e.  R  /\  y  e.  R ) )  -> 
( F `  x
)  e. Word  ( C  u.  V ) )
85 ffvelrn 6030 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : R --> R  /\  y  e.  R )  ->  ( F `  y
)  e.  R )
8685ad2ant2l 745 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T  e.  W  /\  F : R --> R )  /\  ( x  e.  R  /\  y  e.  R ) )  -> 
( F `  y
)  e.  R )
8786, 70eleqtrd 2547 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T  e.  W  /\  F : R --> R )  /\  ( x  e.  R  /\  y  e.  R ) )  -> 
( F `  y
)  e. Word  ( C  u.  V ) )
8850, 77, 78frmdadd 16241 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  x
)  e. Word  ( C  u.  V )  /\  ( F `  y )  e. Word  ( C  u.  V
) )  ->  (
( F `  x
) ( +g  `  (freeMnd `  ( C  u.  V
) ) ) ( F `  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y
) ) )
8984, 87, 88syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T  e.  W  /\  F : R --> R )  /\  ( x  e.  R  /\  y  e.  R ) )  -> 
( ( F `  x ) ( +g  `  (freeMnd `  ( C  u.  V ) ) ) ( F `  y
) )  =  ( ( F `  x
) ++  ( F `  y ) ) )
9081, 89eqeq12d 2479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T  e.  W  /\  F : R --> R )  /\  ( x  e.  R  /\  y  e.  R ) )  -> 
( ( F `  ( x ( +g  `  (freeMnd `  ( C  u.  V ) ) ) y ) )  =  ( ( F `  x ) ( +g  `  (freeMnd `  ( C  u.  V ) ) ) ( F `  y
) )  <->  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y
) ) ) )
91902ralbidva 2899 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  W  /\  F : R --> R )  ->  ( A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ( +g  `  (freeMnd `  ( C  u.  V ) ) ) y ) )  =  ( ( F `  x ) ( +g  `  (freeMnd `  ( C  u.  V ) ) ) ( F `  y
) )  <->  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y
) ) ) )
9269raleqdv 3060 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  W  /\  F : R --> R )  ->  ( A. y  e.  R  ( F `  ( x ( +g  `  (freeMnd `  ( C  u.  V ) ) ) y ) )  =  ( ( F `  x ) ( +g  `  (freeMnd `  ( C  u.  V ) ) ) ( F `  y
) )  <->  A. y  e. Word  ( C  u.  V
) ( F `  ( x ( +g  `  (freeMnd `  ( C  u.  V ) ) ) y ) )  =  ( ( F `  x ) ( +g  `  (freeMnd `  ( C  u.  V ) ) ) ( F `  y
) ) ) )
9369, 92raleqbidv 3068 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  W  /\  F : R --> R )  ->  ( A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ( +g  `  (freeMnd `  ( C  u.  V ) ) ) y ) )  =  ( ( F `  x ) ( +g  `  (freeMnd `  ( C  u.  V ) ) ) ( F `  y
) )  <->  A. x  e. Word  ( C  u.  V
) A. y  e. Word 
( C  u.  V
) ( F `  ( x ( +g  `  (freeMnd `  ( C  u.  V ) ) ) y ) )  =  ( ( F `  x ) ( +g  `  (freeMnd `  ( C  u.  V ) ) ) ( F `  y
) ) ) )
9491, 93bitr3d 255 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  W  /\  F : R --> R )  ->  ( A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y
) )  <->  A. x  e. Word  ( C  u.  V
) A. y  e. Word 
( C  u.  V
) ( F `  ( x ( +g  `  (freeMnd `  ( C  u.  V ) ) ) y ) )  =  ( ( F `  x ) ( +g  `  (freeMnd `  ( C  u.  V ) ) ) ( F `  y
) ) ) )
95943ad2antr1 1161 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  ->  ( A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) )  <->  A. x  e. Word  ( C  u.  V
) A. y  e. Word 
( C  u.  V
) ( F `  ( x ( +g  `  (freeMnd `  ( C  u.  V ) ) ) y ) )  =  ( ( F `  x ) ( +g  `  (freeMnd `  ( C  u.  V ) ) ) ( F `  y
) ) ) )
9667, 95mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  ->  A. x  e. Word  ( C  u.  V
) A. y  e. Word 
( C  u.  V
) ( F `  ( x ( +g  `  (freeMnd `  ( C  u.  V ) ) ) y ) )  =  ( ( F `  x ) ( +g  `  (freeMnd `  ( C  u.  V ) ) ) ( F `  y
) ) )
97 wrd0 12573 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  e. Word  ( C  u.  V )
98 ffvelrn 6030 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F :Word  ( C  u.  V ) -->Word  ( C  u.  V )  /\  (/)  e. Word  ( C  u.  V ) )  -> 
( F `  (/) )  e. Word 
( C  u.  V
) )
9966, 97, 98sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  ->  ( F `  (/) )  e. Word  ( C  u.  V )
)
100 lencl 12569 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  (/) )  e. Word 
( C  u.  V
)  ->  ( # `  ( F `  (/) ) )  e.  NN0 )
10199, 100syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  ->  ( # `  ( F `  (/) ) )  e.  NN0 )
102101nn0cnd 10875 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  ->  ( # `  ( F `  (/) ) )  e.  CC )
103 0cnd 9606 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  ->  0  e.  CC )
104102addid1d 9797 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  ->  ( ( # `
 ( F `  (/) ) )  +  0 )  =  ( # `  ( F `  (/) ) ) )
10597, 13syl5eleqr 2552 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  ->  (/)  e.  R
)
106 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x ++  y )  =  (
(/) ++  y ) )
107106fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  (/)  ->  ( F `
 ( x ++  y
) )  =  ( F `  ( (/) ++  y ) ) )
108 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  (/)  ->  ( F `
 x )  =  ( F `  (/) ) )
109108oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y
) )  =  ( ( F `  (/) ) ++  ( F `  y ) ) )
110107, 109eqeq12d 2479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) )  <->  ( F `  ( (/) ++  y )
)  =  ( ( F `  (/) ) ++  ( F `  y ) ) ) )
111 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  (/)  ->  ( (/) ++  y )  =  ( (/) ++  (/) ) )
112 ccatlid 12612 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (/)  e. Word  ( C  u.  V
)  ->  ( (/) ++  (/) )  =  (/) )
11397, 112ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (/) ++  (/) )  =  (/)
114111, 113syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  (/)  ->  ( (/) ++  y )  =  (/) )
115114fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  (/)  ->  ( F `
 ( (/) ++  y ) )  =  ( F `
 (/) ) )
116 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  (/)  ->  ( F `
 y )  =  ( F `  (/) ) )
117116oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  (/)  ->  ( ( F `  (/) ) ++  ( F `  y ) )  =  ( ( F `  (/) ) ++  ( F `  (/) ) ) )
118115, 117eqeq12d 2479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  (/)  ->  ( ( F `  ( (/) ++  y ) )  =  ( ( F `  (/) ) ++  ( F `  y ) )  <->  ( F `  (/) )  =  ( ( F `  (/) ) ++  ( F `  (/) ) ) ) )
119110, 118rspc2va 3220 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( (/)  e.  R  /\  (/)  e.  R )  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y )
)  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y
) ) )  -> 
( F `  (/) )  =  ( ( F `  (/) ) ++  ( F `  (/) ) ) )
120105, 105, 67, 119syl21anc 1227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  ->  ( F `  (/) )  =  ( ( F `  (/) ) ++  ( F `  (/) ) ) )
121120fveq2d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  ->  ( # `  ( F `  (/) ) )  =  ( # `  (
( F `  (/) ) ++  ( F `  (/) ) ) ) )
122 ccatlen 12603 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  (/) )  e. Word 
( C  u.  V
)  /\  ( F `  (/) )  e. Word  ( C  u.  V )
)  ->  ( # `  (
( F `  (/) ) ++  ( F `  (/) ) ) )  =  ( (
# `  ( F `  (/) ) )  +  ( # `  ( F `  (/) ) ) ) )
12399, 99, 122syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  ->  ( # `  (
( F `  (/) ) ++  ( F `  (/) ) ) )  =  ( (
# `  ( F `  (/) ) )  +  ( # `  ( F `  (/) ) ) ) )
124104, 121, 1233eqtrrd 2503 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  ->  ( ( # `
 ( F `  (/) ) )  +  (
# `  ( F `  (/) ) ) )  =  ( ( # `  ( F `  (/) ) )  +  0 ) )
125102, 102, 103, 124addcanad 9802 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  ->  ( # `  ( F `  (/) ) )  =  0 )
126 fvex 5882 . . . . . . . . 9  |-  ( F `
 (/) )  e.  _V
127 hasheq0 12436 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  (/) )  e. 
_V  ->  ( ( # `  ( F `  (/) ) )  =  0  <->  ( F `  (/) )  =  (/) ) )
128126, 127ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  ( F `  (/) ) )  =  0  <->  ( F `  (/) )  =  (/) )
129125, 128sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  ->  ( F `  (/) )  =  (/) )
13059, 59pm3.2i 455 . . . . . . . 8  |-  ( (freeMnd `  ( C  u.  V
) )  e.  Mnd  /\  (freeMnd `  ( C  u.  V ) )  e. 
Mnd )
13150frmd0 16246 . . . . . . . . 9  |-  (/)  =  ( 0g `  (freeMnd `  ( C  u.  V )
) )
13277, 77, 78, 78, 131, 131ismhm 16186 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( (freeMnd `  ( C  u.  V )
) MndHom  (freeMnd `  ( C  u.  V ) ) )  <-> 
( ( (freeMnd `  ( C  u.  V )
)  e.  Mnd  /\  (freeMnd `  ( C  u.  V ) )  e. 
Mnd )  /\  ( F :Word  ( C  u.  V ) -->Word  ( C  u.  V )  /\  A. x  e. Word  ( C  u.  V ) A. y  e. Word  ( C  u.  V
) ( F `  ( x ( +g  `  (freeMnd `  ( C  u.  V ) ) ) y ) )  =  ( ( F `  x ) ( +g  `  (freeMnd `  ( C  u.  V ) ) ) ( F `  y
) )  /\  ( F `  (/) )  =  (/) ) ) )
133130, 132mpbiran 918 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( (freeMnd `  ( C  u.  V )
) MndHom  (freeMnd `  ( C  u.  V ) ) )  <-> 
( F :Word  ( C  u.  V ) -->Word  ( C  u.  V
)  /\  A. x  e. Word  ( C  u.  V
) A. y  e. Word 
( C  u.  V
) ( F `  ( x ( +g  `  (freeMnd `  ( C  u.  V ) ) ) y ) )  =  ( ( F `  x ) ( +g  `  (freeMnd `  ( C  u.  V ) ) ) ( F `  y
) )  /\  ( F `  (/) )  =  (/) ) )
13466, 96, 129, 133syl3anbrc 1180 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  ->  F  e.  ( (freeMnd `  ( C  u.  V ) ) MndHom  (freeMnd `  ( C  u.  V
) ) ) )
135 eqid 2457 . . . . . . . . . 10  |-  (varFMnd `  ( C  u.  V )
)  =  (varFMnd `  ( C  u.  V )
)
136135vrmdf 16244 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  u.  V )  e.  _V  ->  (varFMnd `  ( C  u.  V )
) : ( C  u.  V ) -->Word  ( C  u.  V ) )
13757, 136ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  (varFMnd `  ( C  u.  V )
) : ( C  u.  V ) -->Word  ( C  u.  V )
138 fcompt 6068 . . . . . . . 8  |-  ( ( F :Word  ( C  u.  V ) -->Word  ( C  u.  V )  /\  (varFMnd `  ( C  u.  V
) ) : ( C  u.  V ) -->Word  ( C  u.  V
) )  ->  ( F  o.  (varFMnd `  ( C  u.  V
) ) )  =  ( v  e.  ( C  u.  V ) 
|->  ( F `  (
(varFMnd `  ( C  u.  V
) ) `  v
) ) ) )
13966, 137, 138sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  ->  ( F  o.  (varFMnd `  ( C  u.  V
) ) )  =  ( v  e.  ( C  u.  V ) 
|->  ( F `  (
(varFMnd `  ( C  u.  V
) ) `  v
) ) ) )
140135vrmdval 16243 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  u.  V
)  e.  _V  /\  v  e.  ( C  u.  V ) )  -> 
( (varFMnd `  ( C  u.  V
) ) `  v
)  =  <" v "> )
14161, 140sylan 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C  \  V
) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y
) ) ) )  /\  v  e.  ( C  u.  V ) )  ->  ( (varFMnd `  ( C  u.  V )
) `  v )  =  <" v "> )
142141fveq2d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C  \  V
) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y
) ) ) )  /\  v  e.  ( C  u.  V ) )  ->  ( F `  ( (varFMnd `  ( C  u.  V
) ) `  v
) )  =  ( F `  <" v "> ) )
143142mpteq2dva 4543 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  ->  ( v  e.  ( C  u.  V
)  |->  ( F `  ( (varFMnd `  ( C  u.  V
) ) `  v
) ) )  =  ( v  e.  ( C  u.  V ) 
|->  ( F `  <" v "> )
) )
144139, 143eqtrd 2498 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  ->  ( F  o.  (varFMnd `  ( C  u.  V
) ) )  =  ( v  e.  ( C  u.  V ) 
|->  ( F `  <" v "> )
) )
14550, 77, 135frmdup3lem 16252 . . . . . 6  |-  ( ( ( (freeMnd `  ( C  u.  V )
)  e.  Mnd  /\  ( C  u.  V
)  e.  _V  /\  ( v  e.  ( C  u.  V ) 
|->  ( F `  <" v "> )
) : ( C  u.  V ) -->Word  ( C  u.  V ) )  /\  ( F  e.  ( (freeMnd `  ( C  u.  V )
) MndHom  (freeMnd `  ( C  u.  V ) ) )  /\  ( F  o.  (varFMnd `  ( C  u.  V
) ) )  =  ( v  e.  ( C  u.  V ) 
|->  ( F `  <" v "> )
) ) )  ->  F  =  ( r  e. Word  ( C  u.  V
)  |->  ( (freeMnd `  ( C  u.  V )
)  gsumg  ( ( v  e.  ( C  u.  V
)  |->  ( F `  <" v "> ) )  o.  r
) ) ) )
14660, 61, 64, 134, 144, 145syl32anc 1236 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  ->  F  =  ( r  e. Word  ( C  u.  V )  |->  ( (freeMnd `  ( C  u.  V )
)  gsumg  ( ( v  e.  ( C  u.  V
)  |->  ( F `  <" v "> ) )  o.  r
) ) ) )
14737, 52, 1463eqtr4rd 2509 . . . 4  |-  ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  ->  F  =  ( S `  ( w  e.  V  |->  ( F `
 <" w "> ) ) ) )
1484, 2, 1mrsubff 29156 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  W  ->  S : ( R  ^pm  V ) --> ( R  ^m  R ) )
149 ffn 5737 . . . . . . 7  |-  ( S : ( R  ^pm  V ) --> ( R  ^m  R )  ->  S  Fn  ( R  ^pm  V
) )
150148, 149syl 16 . . . . . 6  |-  ( T  e.  W  ->  S  Fn  ( R  ^pm  V
) )
151150adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  ->  S  Fn  ( R  ^pm  V ) )
152 fvex 5882 . . . . . . . 8  |-  (mREx `  T )  e.  _V
1532, 152eqeltri 2541 . . . . . . 7  |-  R  e. 
_V
154 elpm2r 7455 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  _V  /\  V  e.  _V )  /\  ( ( w  e.  V  |->  ( F `  <" w "> ) ) : V --> R  /\  V  C_  V
) )  ->  (
w  e.  V  |->  ( F `  <" w "> ) )  e.  ( R  ^pm  V
) )
155153, 56, 154mpanl12 682 . . . . . 6  |-  ( ( ( w  e.  V  |->  ( F `  <" w "> )
) : V --> R  /\  V  C_  V )  -> 
( w  e.  V  |->  ( F `  <" w "> )
)  e.  ( R 
^pm  V ) )
15648, 49, 155sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  ->  ( w  e.  V  |->  ( F `
 <" w "> ) )  e.  ( R  ^pm  V
) )
157 fnfvelrn 6029 . . . . 5  |-  ( ( S  Fn  ( R 
^pm  V )  /\  ( w  e.  V  |->  ( F `  <" w "> )
)  e.  ( R 
^pm  V ) )  ->  ( S `  ( w  e.  V  |->  ( F `  <" w "> )
) )  e.  ran  S )
158151, 156, 157syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  ->  ( S `  ( w  e.  V  |->  ( F `  <" w "> )
) )  e.  ran  S )
159147, 158eqeltrd 2545 . . 3  |-  ( ( T  e.  W  /\  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C 
\  V ) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) )  ->  F  e.  ran  S )
160159ex 434 . 2  |-  ( T  e.  W  ->  (
( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C  \  V
) ( F `  <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y
) ) )  ->  F  e.  ran  S ) )
16111, 160impbid2 204 1  |-  ( T  e.  W  ->  ( F  e.  ran  S  <->  ( F : R --> R  /\  A. c  e.  ( C  \  V ) ( F `
 <" c "> )  =  <" c ">  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  R  ( F `  ( x ++  y ) )  =  ( ( F `  x ) ++  ( F `  y ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   _Vcvv 3109    \ cdif 3468    u. cun 3469    C_ wss 3471   (/)c0 3793   ifcif 3944    |-> cmpt 4515   ran crn 5009    o. ccom 5012    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    ^m cmap 7438    ^pm cpm 7439   0cc0 9509    + caddc 9512   NN0cn0 10816   #chash 12408  Word cword 12538   ++ cconcat 12540   <"cs1 12541   Basecbs 14735   +g cplusg 14803    gsumg cgsu 14949   Mndcmnd 16137   MndHom cmhm 16182  freeMndcfrmd 16233  varFMndcvrmd 16234  mCNcmcn 29104  mVRcmvar 29105  mRExcmrex 29110  mRSubstcmrsub 29114
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-hash 12409  df-word 12546  df-lsw 12547  df-concat 12548  df-s1 12549  df-substr 12550  df-struct 14737  df-ndx 14738  df-slot 14739  df-base 14740  df-sets 14741  df-ress 14742  df-plusg 14816  df-0g 14950  df-gsum 14951  df-mgm 16090  df-sgrp 16129  df-mnd 16139  df-mhm 16184  df-submnd 16185  df-frmd 16235  df-vrmd 16236  df-mrex 29130  df-mrsub 29134
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