MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elmpt2cl Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem elmpt2cl 6511
Description: If a two-parameter class is not empty, constrain the implicit pair. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
elmpt2cl.f  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )
Assertion
Ref Expression
elmpt2cl  |-  ( X  e.  ( S F T )  ->  ( S  e.  A  /\  T  e.  B )
)
Distinct variable groups:    x, A, y    x, B, y
Allowed substitution hints:    C( x, y)    S( x, y)    T( x, y)    F( x, y)    X( x, y)

Proof of Theorem elmpt2cl
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elmpt2cl.f . . . . . 6  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )
2 df-mpt2 6295 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )  =  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  z  =  C
) }
31, 2eqtri 2473 . . . . 5  |-  F  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  z  =  C ) }
43dmeqi 5036 . . . 4  |-  dom  F  =  dom  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  z  =  C
) }
5 dmoprabss 6378 . . . 4  |-  dom  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  z  =  C ) }  C_  ( A  X.  B
)
64, 5eqsstri 3462 . . 3  |-  dom  F  C_  ( A  X.  B
)
7 elfvdm 5891 . . . 4  |-  ( X  e.  ( F `  <. S ,  T >. )  ->  <. S ,  T >.  e.  dom  F )
8 df-ov 6293 . . . 4  |-  ( S F T )  =  ( F `  <. S ,  T >. )
97, 8eleq2s 2547 . . 3  |-  ( X  e.  ( S F T )  ->  <. S ,  T >.  e.  dom  F
)
106, 9sseldi 3430 . 2  |-  ( X  e.  ( S F T )  ->  <. S ,  T >.  e.  ( A  X.  B ) )
11 opelxp 4864 . 2  |-  ( <. S ,  T >.  e.  ( A  X.  B
)  <->  ( S  e.  A  /\  T  e.  B ) )
1210, 11sylib 200 1  |-  ( X  e.  ( S F T )  ->  ( S  e.  A  /\  T  e.  B )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887   <.cop 3974    X. cxp 4832   dom cdm 4834   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   {coprab 6291    |-> cmpt2 6292
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-xp 4840  df-dm 4844  df-iota 5546  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295
This theorem is referenced by:  elmpt2cl1  6512  elmpt2cl2  6513  elovmpt2  6514  elovmpt2rab  6515  elovmpt2rab1  6516  ixxssixx  11649  funcrcl  15768  natrcl  15855  ismhm  16584  isghm  16883  isga  16945  isslw  17260  isrhm  17949  rimrcl  17952  islmhm  18250  iscn2  20254  elflim2  20979  isfcls  21024  isnmhm  21767  limcrcl  22829  clwlkswlks  25486  clwwlkprop  25498  iscvm  29982  mclsrcl  30199  ewlkprop  39620  mgmhmrcl  39834  intop  39892  rnghmrcl  39942  rngimrcl  39950
  Copyright terms: Public domain W3C validator