MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elmpt2cl Unicode version

Theorem elmpt2cl 6247
Description: If a two-parameter class is not empty, constrain the implicit pair. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
elmpt2cl.f  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )
Assertion
Ref Expression
elmpt2cl  |-  ( X  e.  ( S F T )  ->  ( S  e.  A  /\  T  e.  B )
)
Distinct variable groups:    x, A, y    x, B, y
Allowed substitution hints:    C( x, y)    S( x, y)    T( x, y)    F( x, y)    X( x, y)

Proof of Theorem elmpt2cl
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elmpt2cl.f . . . . . 6  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )
2 df-mpt2 6045 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )  =  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  z  =  C
) }
31, 2eqtri 2424 . . . . 5  |-  F  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  z  =  C ) }
43dmeqi 5030 . . . 4  |-  dom  F  =  dom  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  z  =  C
) }
5 dmoprabss 6114 . . . 4  |-  dom  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  z  =  C ) }  C_  ( A  X.  B
)
64, 5eqsstri 3338 . . 3  |-  dom  F  C_  ( A  X.  B
)
7 elfvdm 5716 . . . 4  |-  ( X  e.  ( F `  <. S ,  T >. )  ->  <. S ,  T >.  e.  dom  F )
8 df-ov 6043 . . . 4  |-  ( S F T )  =  ( F `  <. S ,  T >. )
97, 8eleq2s 2496 . . 3  |-  ( X  e.  ( S F T )  ->  <. S ,  T >.  e.  dom  F
)
106, 9sseldi 3306 . 2  |-  ( X  e.  ( S F T )  ->  <. S ,  T >.  e.  ( A  X.  B ) )
11 opelxp 4867 . 2  |-  ( <. S ,  T >.  e.  ( A  X.  B
)  <->  ( S  e.  A  /\  T  e.  B ) )
1210, 11sylib 189 1  |-  ( X  e.  ( S F T )  ->  ( S  e.  A  /\  T  e.  B )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   <.cop 3777    X. cxp 4835   dom cdm 4837   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   {coprab 6041    e. cmpt2 6042
This theorem is referenced by:  elmpt2cl1  6248  elmpt2cl2  6249  elovmpt2  6250  ixxssixx  10886  funcrcl  14015  natrcl  14102  ismhm  14695  isghm  14961  isga  15023  isslw  15197  isrhm  15779  islmhm  16058  iscn2  17256  elflim2  17949  isfcls  17994  isnmhm  18733  limcrcl  19714  iscvm  24899
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-xp 4843  df-dm 4847  df-iota 5377  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045
  Copyright terms: Public domain W3C validator