Theorem elmopn2 19862

Description: A defining property of an open set of a metric space. (Contributed by NM, 5-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mopnval.1	|- J = ( MetOpen ` D )

Assertion

Ref	Expression
elmopn2	|- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( A e. J <-> ( A C_ X /\ A. x e. A E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ A ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, D, y   x, X, y

Allowed substitution hints:   J( x, y)

Proof of Theorem elmopn2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mopnval.1	. . 3 |- J = ( MetOpen ` D )
2	1	elmopn 19859	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( A e. J <-> ( A C_ X /\ A. x e. A E. z e. ran ( ball ` D ) ( x e. z /\ z C_ A ) ) ) )
3		ssel2 3339	. . . . . 6 |- ( ( A C_ X /\ x e. A ) -> x e. X )
4		blssex 19844	. . . . . 6 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) -> ( E. z e. ran ( ball ` D ) ( x e. z /\ z C_ A ) <-> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ A ) )
5	3, 4	sylan2 471	. . . . 5 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ x e. A ) ) -> ( E. z e. ran ( ball ` D ) ( x e. z /\ z C_ A ) <-> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ A ) )
6	5	anassrs 641	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A C_ X ) /\ x e. A ) -> ( E. z e. ran ( ball ` D ) ( x e. z /\ z C_ A ) <-> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ A ) )
7	6	ralbidva 2721	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A C_ X ) -> ( A. x e. A E. z e. ran ( ball ` D ) ( x e. z /\ z C_ A ) <-> A. x e. A E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ A ) )
8	7	pm5.32da 634	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( ( A C_ X /\ A. x e. A E. z e. ran ( ball ` D ) ( x e. z /\ z C_ A ) ) <-> ( A C_ X /\ A. x e. A E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ A ) ) )
9	2, 8	bitrd 253	1 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( A e. J <-> ( A C_ X /\ A. x e. A E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1362   e. wcel 1755   A.wral 2705   E.wrex 2706   C_ wss 3316   ran crn 4828   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   RR+crp 10979   *Metcxmt 17645   ballcbl 17647   MetOpencmopn 17650

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-map 7204  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-sup 7679  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850  df-q 10942  df-rp 10980  df-xneg 11077  df-xadd 11078  df-xmul 11079  df-topgen 14365  df-psmet 17653  df-xmet 17654  df-bl 17656  df-mopn 17657  df-bases 18347

This theorem is referenced by:  metrest  19941  tgioo  20215  xrsmopn  20231  recld2  20233  tpr2rico  26196  dya2icoseg2  26547  opnrebl  28359  opnrebl2  28360