Theorem elmopn2 21033

Description: A defining property of an open set of a metric space. (Contributed by NM, 5-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mopnval.1	|- J = ( MetOpen ` D )

Assertion

Ref	Expression
elmopn2	|- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( A e. J <-> ( A C_ X /\ A. x e. A E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ A ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, D, y   x, X, y

Allowed substitution hints:   J( x, y)

Proof of Theorem elmopn2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mopnval.1	. . 3 |- J = ( MetOpen ` D )
2	1	elmopn 21030	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( A e. J <-> ( A C_ X /\ A. x e. A E. z e. ran ( ball ` D ) ( x e. z /\ z C_ A ) ) ) )
3		ssel2 3412	. . . . . 6 |- ( ( A C_ X /\ x e. A ) -> x e. X )
4		blssex 21015	. . . . . 6 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) -> ( E. z e. ran ( ball ` D ) ( x e. z /\ z C_ A ) <-> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ A ) )
5	3, 4	sylan2 472	. . . . 5 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ x e. A ) ) -> ( E. z e. ran ( ball ` D ) ( x e. z /\ z C_ A ) <-> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ A ) )
6	5	anassrs 646	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A C_ X ) /\ x e. A ) -> ( E. z e. ran ( ball ` D ) ( x e. z /\ z C_ A ) <-> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ A ) )
7	6	ralbidva 2818	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A C_ X ) -> ( A. x e. A E. z e. ran ( ball ` D ) ( x e. z /\ z C_ A ) <-> A. x e. A E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ A ) )
8	7	pm5.32da 639	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( ( A C_ X /\ A. x e. A E. z e. ran ( ball ` D ) ( x e. z /\ z C_ A ) ) <-> ( A C_ X /\ A. x e. A E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ A ) ) )
9	2, 8	bitrd 253	1 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( A e. J <-> ( A C_ X /\ A. x e. A E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   = wceq 1399   e. wcel 1826   A.wral 2732   E.wrex 2733   C_ wss 3389   ran crn 4914   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   RR+crp 11139   *Metcxmt 18516   ballcbl 18518   MetOpencmopn 18521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-er 7229  df-map 7340  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-sup 7816  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-q 11102  df-rp 11140  df-xneg 11239  df-xadd 11240  df-xmul 11241  df-topgen 14851  df-psmet 18524  df-xmet 18525  df-bl 18527  df-mopn 18528  df-bases 19486

This theorem is referenced by:  metrest  21112  tgioo  21386  xrsmopn  21402  recld2  21404  tpr2rico  28048  dya2icoseg2  28405  opnrebl  30304  opnrebl2  30305