Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elmbfmvol2 Structured version   Unicode version

Theorem elmbfmvol2 29041
Description: Measurable functions with respect to the Lebesgue measure. We only have the inclusion, since MblFn includes complex-valued functions. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
elmbfmvol2  |-  ( F  e.  ( dom  volMblFnM𝔅 )  ->  F  e. MblFn )

Proof of Theorem elmbfmvol2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 retopbas 21723 . . . . . 6  |-  ran  (,)  e. 
TopBases
2 bastg 19923 . . . . . 6  |-  ( ran 
(,)  e.  TopBases  ->  ran  (,)  C_  ( topGen `  ran  (,) )
)
31, 2ax-mp 5 . . . . 5  |-  ran  (,)  C_  ( topGen `  ran  (,) )
4 retop 21724 . . . . . 6  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
5 sssigagen 28919 . . . . . 6  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )  e.  Top  ->  ( topGen ` 
ran  (,) )  C_  (sigaGen `  ( topGen `  ran  (,) )
) )
64, 5ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  C_  (sigaGen `  ( topGen `  ran  (,) )
)
73, 6sstri 3416 . . . 4  |-  ran  (,)  C_  (sigaGen `  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
8 df-brsiga 28956 . . . 4  |- 𝔅  =  (sigaGen `  ( topGen `
 ran  (,) )
)
97, 8sseqtr4i 3440 . . 3  |-  ran  (,)  C_ 𝔅
10 eqid 2428 . . . . 5  |-  vol  =  vol
11 dmvlsiga 28903 . . . . . . 7  |-  dom  vol  e.  (sigAlgebra `  RR )
12 elrnsiga 28900 . . . . . . 7  |-  ( dom 
vol  e.  (sigAlgebra `  RR )  ->  dom  vol  e.  U. ran sigAlgebra )
1311, 12mp1i 13 . . . . . 6  |-  ( vol  =  vol  ->  dom  vol 
e.  U. ran sigAlgebra )
14 brsigarn 28958 . . . . . . 7  |- 𝔅  e.  (sigAlgebra `  RR )
15 elrnsiga 28900 . . . . . . 7  |-  (𝔅  e.  (sigAlgebra `  RR )  -> 𝔅  e.  U. ran sigAlgebra )
1614, 15mp1i 13 . . . . . 6  |-  ( vol  =  vol  -> 𝔅  e.  U. ran sigAlgebra )
1713, 16ismbfm 29026 . . . . 5  |-  ( vol  =  vol  ->  ( F  e.  ( dom  volMblFnM𝔅 )  <->  ( F  e.  ( U.𝔅  ^m  U. dom  vol )  /\  A. x  e. 𝔅  ( `' F "
x )  e.  dom  vol ) ) )
1810, 17ax-mp 5 . . . 4  |-  ( F  e.  ( dom  volMblFnM𝔅 )  <->  ( F  e.  ( U.𝔅  ^m  U. dom  vol )  /\  A. x  e. 𝔅  ( `' F "
x )  e.  dom  vol ) )
1918simprbi 465 . . 3  |-  ( F  e.  ( dom  volMblFnM𝔅 )  ->  A. x  e. 𝔅  ( `' F "
x )  e.  dom  vol )
20 ssralv 3468 . . 3  |-  ( ran 
(,)  C_ 𝔅  ->  ( A. x  e. 𝔅  ( `' F " x )  e.  dom  vol  ->  A. x  e.  ran  (,) ( `' F " x )  e.  dom  vol )
)
219, 19, 20mpsyl 65 . 2  |-  ( F  e.  ( dom  volMblFnM𝔅 )  ->  A. x  e.  ran  (,) ( `' F "
x )  e.  dom  vol )
2218simplbi 461 . . 3  |-  ( F  e.  ( dom  volMblFnM𝔅 )  ->  F  e.  ( U.𝔅  ^m  U. dom  vol ) )
23 elmapi 7448 . . . 4  |-  ( F  e.  ( RR  ^m  RR )  ->  F : RR
--> RR )
24 unibrsiga 28960 . . . . 5  |-  U.𝔅  =  RR
25 unidmvol 29003 . . . . 5  |-  U. dom  vol  =  RR
2624, 25oveq12i 6261 . . . 4  |-  ( U.𝔅  ^m  U. dom  vol )  =  ( RR  ^m  RR )
2723, 26eleq2s 2524 . . 3  |-  ( F  e.  ( U.𝔅  ^m  U. dom  vol )  ->  F : RR --> RR )
28 ismbf 22528 . . 3  |-  ( F : RR --> RR  ->  ( F  e. MblFn  <->  A. x  e.  ran  (,) ( `' F "
x )  e.  dom  vol ) )
2922, 27, 283syl 18 . 2  |-  ( F  e.  ( dom  volMblFnM𝔅 )  -> 
( F  e. MblFn  <->  A. x  e.  ran  (,) ( `' F " x )  e.  dom  vol )
)
3021, 29mpbird 235 1  |-  ( F  e.  ( dom  volMblFnM𝔅 )  ->  F  e. MblFn )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872   A.wral 2714    C_ wss 3379   U.cuni 4162   `'ccnv 4795   dom cdm 4796   ran crn 4797   "cima 4799   -->wf 5540   ` cfv 5544  (class class class)co 6249    ^m cmap 7427   RRcr 9489   (,)cioo 11586   topGenctg 15279   Topctop 19859   TopBasesctb 19862   volcvol 22357  MblFncmbf 22514  sigAlgebracsiga 28881  sigaGencsigagen 28912  𝔅cbrsiga 28955  MblFnMcmbfm 29024
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-inf2 8099  ax-cc 8816  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-disj 4338  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-se 4756  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-isom 5553  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-of 6489  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-2o 7138  df-oadd 7141  df-er 7318  df-map 7429  df-pm 7430  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-sup 7909  df-inf 7910  df-oi 7978  df-card 8325  df-cda 8549  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-div 10221  df-nn 10561  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10889  df-uz 11111  df-q 11216  df-rp 11254  df-xadd 11361  df-ioo 11590  df-ico 11592  df-icc 11593  df-fz 11736  df-fzo 11867  df-fl 11978  df-seq 12164  df-exp 12223  df-hash 12466  df-cj 13106  df-re 13107  df-im 13108  df-sqrt 13242  df-abs 13243  df-clim 13495  df-rlim 13496  df-sum 13696  df-topgen 15285  df-xmet 18906  df-met 18907  df-top 19863  df-bases 19864  df-ovol 22358  df-vol 22360  df-mbf 22519  df-siga 28882  df-sigagen 28913  df-brsiga 28956  df-mbfm 29025
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator