Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elmbfmvol2 Structured version   Unicode version

Theorem elmbfmvol2 28411
Description: Measurable functions with respect to the Lebesgue measure. We only have the inclusion, since MblFn includes complex-valued functions. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
elmbfmvol2  |-  ( F  e.  ( dom  volMblFnM𝔅 )  ->  F  e. MblFn )

Proof of Theorem elmbfmvol2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 retopbas 21393 . . . . . 6  |-  ran  (,)  e. 
TopBases
2 bastg 19594 . . . . . 6  |-  ( ran 
(,)  e.  TopBases  ->  ran  (,)  C_  ( topGen `  ran  (,) )
)
31, 2ax-mp 5 . . . . 5  |-  ran  (,)  C_  ( topGen `  ran  (,) )
4 retop 21394 . . . . . 6  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
5 sssigagen 28318 . . . . . 6  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )  e.  Top  ->  ( topGen ` 
ran  (,) )  C_  (sigaGen `  ( topGen `  ran  (,) )
) )
64, 5ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  C_  (sigaGen `  ( topGen `  ran  (,) )
)
73, 6sstri 3508 . . . 4  |-  ran  (,)  C_  (sigaGen `  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
8 df-brsiga 28326 . . . 4  |- 𝔅  =  (sigaGen `  ( topGen `
 ran  (,) )
)
97, 8sseqtr4i 3532 . . 3  |-  ran  (,)  C_ 𝔅
10 eqid 2457 . . . . 5  |-  vol  =  vol
11 dmvlsiga 28302 . . . . . . 7  |-  dom  vol  e.  (sigAlgebra `  RR )
12 elrnsiga 28299 . . . . . . 7  |-  ( dom 
vol  e.  (sigAlgebra `  RR )  ->  dom  vol  e.  U. ran sigAlgebra )
1311, 12mp1i 12 . . . . . 6  |-  ( vol  =  vol  ->  dom  vol 
e.  U. ran sigAlgebra )
14 brsigarn 28328 . . . . . . 7  |- 𝔅  e.  (sigAlgebra `  RR )
15 elrnsiga 28299 . . . . . . 7  |-  (𝔅  e.  (sigAlgebra `  RR )  -> 𝔅  e.  U. ran sigAlgebra )
1614, 15mp1i 12 . . . . . 6  |-  ( vol  =  vol  -> 𝔅  e.  U. ran sigAlgebra )
1713, 16ismbfm 28396 . . . . 5  |-  ( vol  =  vol  ->  ( F  e.  ( dom  volMblFnM𝔅 )  <->  ( F  e.  ( U.𝔅  ^m  U. dom  vol )  /\  A. x  e. 𝔅  ( `' F "
x )  e.  dom  vol ) ) )
1810, 17ax-mp 5 . . . 4  |-  ( F  e.  ( dom  volMblFnM𝔅 )  <->  ( F  e.  ( U.𝔅  ^m  U. dom  vol )  /\  A. x  e. 𝔅  ( `' F "
x )  e.  dom  vol ) )
1918simprbi 464 . . 3  |-  ( F  e.  ( dom  volMblFnM𝔅 )  ->  A. x  e. 𝔅  ( `' F "
x )  e.  dom  vol )
20 ssralv 3560 . . 3  |-  ( ran 
(,)  C_ 𝔅  ->  ( A. x  e. 𝔅  ( `' F " x )  e.  dom  vol  ->  A. x  e.  ran  (,) ( `' F " x )  e.  dom  vol )
)
219, 19, 20mpsyl 63 . 2  |-  ( F  e.  ( dom  volMblFnM𝔅 )  ->  A. x  e.  ran  (,) ( `' F "
x )  e.  dom  vol )
2218simplbi 460 . . 3  |-  ( F  e.  ( dom  volMblFnM𝔅 )  ->  F  e.  ( U.𝔅  ^m  U. dom  vol ) )
23 elmapi 7459 . . . 4  |-  ( F  e.  ( RR  ^m  RR )  ->  F : RR
--> RR )
24 unibrsiga 28330 . . . . 5  |-  U.𝔅  =  RR
25 unidmvol 28373 . . . . 5  |-  U. dom  vol  =  RR
2624, 25oveq12i 6308 . . . 4  |-  ( U.𝔅  ^m  U. dom  vol )  =  ( RR  ^m  RR )
2723, 26eleq2s 2565 . . 3  |-  ( F  e.  ( U.𝔅  ^m  U. dom  vol )  ->  F : RR --> RR )
28 ismbf 22163 . . 3  |-  ( F : RR --> RR  ->  ( F  e. MblFn  <->  A. x  e.  ran  (,) ( `' F "
x )  e.  dom  vol ) )
2922, 27, 283syl 20 . 2  |-  ( F  e.  ( dom  volMblFnM𝔅 )  -> 
( F  e. MblFn  <->  A. x  e.  ran  (,) ( `' F " x )  e.  dom  vol )
)
3021, 29mpbird 232 1  |-  ( F  e.  ( dom  volMblFnM𝔅 )  ->  F  e. MblFn )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807    C_ wss 3471   U.cuni 4251   `'ccnv 5007   dom cdm 5008   ran crn 5009   "cima 5011   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    ^m cmap 7438   RRcr 9508   (,)cioo 11554   topGenctg 14855   Topctop 19521   TopBasesctb 19525   volcvol 22001  MblFncmbf 22149  sigAlgebracsiga 28280  sigaGencsigagen 28311  𝔅cbrsiga 28325  MblFnMcmbfm 28394
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cc 8832  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-disj 4428  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xadd 11344  df-ioo 11558  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-sum 13521  df-topgen 14861  df-xmet 18539  df-met 18540  df-top 19526  df-bases 19528  df-ovol 22002  df-vol 22003  df-mbf 22154  df-siga 28281  df-sigagen 28312  df-brsiga 28326  df-mbfm 28395
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator