MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elmapi Unicode version

Theorem elmapi 6997
Description: A mapping is a function, forward direction only with superfluous antecedent removed. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
elmapi  |-  ( A  e.  ( B  ^m  C )  ->  A : C --> B )

Proof of Theorem elmapi
StepHypRef Expression
1 elmapex 6996 . . 3  |-  ( A  e.  ( B  ^m  C )  ->  ( B  e.  _V  /\  C  e.  _V ) )
2 elmapg 6990 . . 3  |-  ( ( B  e.  _V  /\  C  e.  _V )  ->  ( A  e.  ( B  ^m  C )  <-> 
A : C --> B ) )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( A  e.  ( B  ^m  C )  ->  ( A  e.  ( B  ^m  C )  <->  A : C
--> B ) )
43ibi 233 1  |-  ( A  e.  ( B  ^m  C )  ->  A : C --> B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1721   _Vcvv 2916   -->wf 5409  (class class class)co 6040    ^m cmap 6977
This theorem is referenced by:  mapsspm  7006  map0b  7011  mapss  7015  mapsncnv  7019  mapen  7230  mapxpen  7232  mapunen  7235  wemaplem2  7472  wemappo  7474  wemapso2lem  7475  wemapso  7476  wemapso2  7477  mapfien  7609  wemapwe  7610  iunmapdisj  7860  fseqenlem1  7861  fseqenlem2  7862  numacn  7886  finacn  7887  acndom  7888  acndom2  7891  infpwfien  7899  infmap2  8054  fin23lem40  8187  isf32lem12  8200  isf34lem6  8216  acncc  8276  pwfseqlem3  8491  pwxpndom2  8496  ramval  13331  ramub  13336  ramcl  13352  imasdsval2  13697  funcf2  14020  funcpropd  14052  ltbwe  16488  psr1baslem  16538  psr1basf  16554  fvcoe1  16560  coe1mul2lem1  16615  ply1coe  16639  pnrmopn  17361  xkoptsub  17639  xkopt  17640  tmdgsum  18078  imasdsf1olem  18356  ovolscalem2  19363  uniioombl  19434  tdeglem2  19937  plypf1  20084  ulmclm  20256  ulmcaulem  20263  ulmcau  20264  ulmss  20266  ulmbdd  20267  ulmcn  20268  ulmdvlem1  20269  ulmdvlem2  20270  ulmdvlem3  20271  mtest  20273  mtestbdd  20274  mbfulm  20275  iblulm  20276  itgulm  20277  itgulm2  20278  adjval2  23347  mbfmfun  24557  mbfmf  24558  elmbfmvol2  24570  mblfinlem2  26144  mblfinlem3  26145  ismblfin  26146  rrnmet  26428  rrndstprj1  26429  rrndstprj2  26430  rrncmslem  26431  rrnequiv  26434  ralxpmap  26632  elmapfun  26658  mapco2g  26659  elmapssres  26661  mapfzcons1  26663  mapfzcons2  26665  mzpcompact2lem  26698  eldiophb  26705  elmapresaun  26719  elmapresaunres2  26720  eq0rabdioph  26725  rexrabdioph  26744  eldioph4b  26762  diophren  26764  rmydioph  26975  rmxdioph  26977  expdiophlem2  26983  expdioph  26984  pw2f1o2val2  27001  wepwsolem  27006  pwfi2f1o  27128  islindf4  27176  mndvcl  27314  mndvass  27315  mndvlid  27316  mndvrid  27317  grpvlinv  27318  grpvrinv  27319  mhmvlin  27320  mamucl  27324  mamulid  27326  mamurid  27327  mamuass  27328  mamudi  27329  mamudir  27330  mamuvs1  27331  mamuvs2  27332  matbas2  27343
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-map 6979
  Copyright terms: Public domain W3C validator