MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elmapg Unicode version

Theorem elmapg 6990
Description: Membership relation for set exponentiation. (Contributed by NM, 17-Oct-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
elmapg  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( C  e.  ( A  ^m  B )  <-> 
C : B --> A ) )

Proof of Theorem elmapg
Dummy variable  g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapvalg 6987 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  ^m  B
)  =  { g  |  g : B --> A } )
21eleq2d 2471 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( C  e.  ( A  ^m  B )  <-> 
C  e.  { g  |  g : B --> A } ) )
3 fex2 5562 . . . . 5  |-  ( ( C : B --> A  /\  B  e.  W  /\  A  e.  V )  ->  C  e.  _V )
433com13 1158 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C : B --> A )  ->  C  e.  _V )
543expia 1155 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( C : B --> A  ->  C  e.  _V ) )
6 feq1 5535 . . . 4  |-  ( g  =  C  ->  (
g : B --> A  <->  C : B
--> A ) )
76elab3g 3048 . . 3  |-  ( ( C : B --> A  ->  C  e.  _V )  ->  ( C  e.  {
g  |  g : B --> A }  <->  C : B
--> A ) )
85, 7syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( C  e.  {
g  |  g : B --> A }  <->  C : B
--> A ) )
92, 8bitrd 245 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( C  e.  ( A  ^m  B )  <-> 
C : B --> A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1721   {cab 2390   _Vcvv 2916   -->wf 5409  (class class class)co 6040    ^m cmap 6977
This theorem is referenced by:  elmapi  6997  elmap  7001  map0e  7010  map0g  7012  mapss  7015  fdiagfn  7016  ixpssmap2g  7050  map1  7144  pw2f1olem  7171  mapen  7230  mapxpen  7232  mapunen  7235  f1finf1o  7294  cantnfs  7577  mapfien  7609  fseqenlem1  7861  fseqdom  7863  acni  7882  infpwfien  7899  infmap2  8054  fin23lem17  8174  fin23lem32  8180  fin23lem39  8186  isf34lem6  8216  iundom2g  8371  wunf  8558  gruurn  8629  intgru  8645  grutsk1  8652  hashfacen  11658  hashf1lem1  11659  hashf1lem2  11660  wrdval  11685  vdwlem4  13307  vdwlem9  13312  vdwlem10  13313  vdwlem11  13314  vdwlem13  13316  vdw  13317  vdwnnlem1  13318  rami  13338  ramcl  13352  prdsplusg  13636  prdsmulr  13637  prdsvsca  13638  pwselbasb  13665  elsetchom  14191  setcco  14193  isga  15023  symgbas  15050  psrbag  16386  iscn  17253  iscnp  17255  cndis  17309  cnindis  17310  cnpdis  17311  hausmapdom  17516  xkoptsub  17639  xkopjcn  17641  indishmph  17783  pt1hmeo  17791  flfval  17975  fcfval  18018  tmdgsum2  18079  symgtgp  18084  tsmsxplem2  18136  isucn  18261  ispsmet  18288  ismet  18306  isxmet  18307  imasdsf1olem  18356  elcncf  18872  metcld2  19212  evlsval2  19894  elply2  20068  plyf  20070  elplyr  20073  plyeq0lem  20082  plyeq0  20083  plyaddlem  20087  plymullem  20088  dgrlem  20101  coeidlem  20109  ulmval  20249  ulmss  20266  ulmcn  20268  mtest  20273  pserulm  20291  dchrfi  20992  isch2  22679  indf1ofs  24376  mbfmcst  24562  1stmbfm  24563  2ndmbfm  24564  imambfm  24565  mbfmco  24567  mbfmcnt  24571  sibfof  24607  isrrvv  24654  deranglem  24805  indispcon  24874  fvopabf4g  26312  sdclem2  26336  sdclem1  26337  ismtyval  26399  rrncmslem  26431  ralxpmap  26632  mapco2g  26659  elmapssres  26661  mapfzcons  26662  mzpindd  26693  mzpsubst  26695  mzprename  26696  diophrw  26707  elmapresaun  26719  pw2f1ocnv  26998  frlmbas  27091  frlmbasf  27096  uvcff  27108  frlmsplit2  27111  elfilspd  27123  mndvcl  27314  mamucl  27324  mamudiagcl  27325  mamuvs1  27331  mamuvs2  27332
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-map 6979
  Copyright terms: Public domain W3C validator