MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elmapfn Structured version   Unicode version

Theorem elmapfn 7441
Description: A mapping is a function with the appropriate domain. (Contributed by AV, 6-Apr-2019.)
Assertion
Ref Expression
elmapfn  |-  ( A  e.  ( B  ^m  C )  ->  A  Fn  C )

Proof of Theorem elmapfn
StepHypRef Expression
1 elmapi 7440 . 2  |-  ( A  e.  ( B  ^m  C )  ->  A : C --> B )
2 ffn 5731 . 2  |-  ( A : C --> B  ->  A  Fn  C )
31, 2syl 16 1  |-  ( A  e.  ( B  ^m  C )  ->  A  Fn  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1767    Fn wfn 5583   -->wf 5584  (class class class)co 6284    ^m cmap 7420
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-map 7422
This theorem is referenced by:  fsuppmapnn0fiublem  12064  fsuppmapnn0fiub  12065  fsuppmapnn0fiub0  12067  suppssfz  12068  fsuppmapnn0ub  12069  frlmbas  18581  frlmsslsp  18624  eqmat  18721  matplusgcell  18730  matsubgcell  18731  matvscacell  18733  tmdgsum  20357  iopmapxp  31960  mndpsuppss  32063  mndpfsupp  32068  lincsum  32129  lincresunit2  32178
  Copyright terms: Public domain W3C validator