Theorem elmap 7233

Description: Membership relation for set exponentiation. (Contributed by NM, 8-Dec-2003.)

Hypotheses

Ref	Expression
elmap.1	|- A e. _V
elmap.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
elmap	|- ( F e. ( A ^m B ) <-> F : B --> A )

Proof of Theorem elmap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmap.1	. 2 |- A e. _V
2		elmap.2	. 2 |- B e. _V
3		elmapg 7219	. 2 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( F e. ( A ^m B ) <-> F : B --> A ) )
4	1, 2, 3	mp2an 672	1 |- ( F e. ( A ^m B ) <-> F : B --> A )

Syntax hints:   <-> wb 184   e. wcel 1756   _Vcvv 2967   -->wf 5409  (class class class)co 6086   ^m cmap 7206

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-id 4631  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-fv 5421  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-map 7208

This theorem is referenced by:  mapval2  7234  fvmptmap  7241  mapsn  7246  mapsnconst  7250  mapsncnv  7251  xpmapenlem  7470  pwfseqlem3  8819  tskcard  8940  ingru  8974  rpnnen1lem1  10971  rpnnen1lem3  10973  rpnnen1lem4  10974  rpnnen1lem5  10975  prmreclem2  13970  1arith  13980  vdwlem6  14039  vdwlem7  14040  vdwlem8  14041  vdwlem9  14042  vdwlem11  14044  vdwlem13  14046  isfunc  14766  isfuncd  14767  idfucl  14783  cofucl  14790  funcres2b  14799  wunfunc  14801  catcfuccl  14969  ismhm  15458  symgval  15875  dfrhm2  16798  isabv  16884  psrelbas  17430  psraddcl  17434  psrmulcllem  17438  psrvscacl  17444  psr0cl  17445  psrnegcl  17447  psr1cl  17453  subrgpsr  17471  mvrf  17477  mplmon  17522  mplcoe1  17524  coe1fval3  17644  00ply1bas  17675  ply1plusgfvi  17677  coe1z  17697  coe1mul2  17703  coe1tm  17706  pjdm  18112  pjfval2  18114  pnrmopn  18927  distgp  19650  indistgp  19651  elovolm  20938  elovolmr  20939  ovolmge0  20940  ovolgelb  20943  ovolunlem1a  20959  ovolunlem1  20960  ovoliunlem1  20965  ovoliunlem2  20966  ovolshftlem2  20973  ovolicc2  20985  ioombl1  21023  itg2seq  21200  coeeulem  21672  coeeq  21675  aannenlem1  21774  dvntaylp  21816  taylthlem1  21818  taylthlem2  21819  pserdvlem2  21873  sqff1o  22500  elee  23108  islno  24121  nmooval  24131  ajfval  24177  h2hcau  24349  h2hlm  24350  hcau  24554  hlimadd  24563  hhcms  24573  hlim0  24606  hhsscms  24648  pjmf1  25087  hosmval  25107  hommval  25108  hodmval  25109  hfsmval  25110  hfmmval  25111  elcnop  25229  ellnop  25230  elhmop  25245  hmopex  25247  nlfnval  25253  elcnfn  25254  ellnfn  25255  dmadjss  25259  dmadjop  25260  adjeu  25261  adjval  25262  hhcno  25276  hhcnf  25277  adjbdln  25455  isst  25585  ishst  25586  maprnin  25999  eulerpartleme  26715  eulerpartlemt  26723  eulerpartlemr  26726  eulerpartlemmf  26727  eulerpartlemgvv  26728  eulerpartlemgs2  26732  eulerpartlemn  26733  lgamgulmlem6  26989  isrngohom  28742  constmap  29020  mzpclall  29034  mzpf  29043  mzpindd  29053  mzpcompact2lem  29059  eldiophb  29066  mendrng  29520  dflinc2  30875  islfl  32598  islpolN  35021