Theorem elmap 7001

Description: Membership relation for set exponentiation. (Contributed by NM, 8-Dec-2003.)

Hypotheses

Ref	Expression
elmap.1	|- A e. _V
elmap.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
elmap	|- ( F e. ( A ^m B ) <-> F : B --> A )

Proof of Theorem elmap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmap.1	. 2 |- A e. _V
2		elmap.2	. 2 |- B e. _V
3		elmapg 6990	. 2 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( F e. ( A ^m B ) <-> F : B --> A ) )
4	1, 2, 3	mp2an 654	1 |- ( F e. ( A ^m B ) <-> F : B --> A )

Syntax hints:   <-> wb 177   e. wcel 1721   _Vcvv 2916   -->wf 5409  (class class class)co 6040   ^m cmap 6977

This theorem is referenced by:  mapval2  7002  fvmptmap  7009  mapsn  7014  mapsnconst  7018  mapsncnv  7019  xpmapenlem  7233  pwfseqlem3  8491  tskcard  8612  ingru  8646  rpnnen1lem1  10556  rpnnen1lem3  10558  rpnnen1lem4  10559  rpnnen1lem5  10560  prmreclem2  13240  1arith  13250  vdwlem6  13309  vdwlem7  13310  vdwlem8  13311  vdwlem9  13312  vdwlem11  13314  vdwlem13  13316  isfunc  14016  isfuncd  14017  idfucl  14033  cofucl  14040  funcres2b  14049  wunfunc  14051  catcfuccl  14219  ismhm  14695  symgval  15049  dfrhm2  15776  isabv  15862  psrelbas  16399  psraddcl  16402  psrmulcllem  16406  psrvscacl  16412  psr0cl  16413  psrnegcl  16415  psr1cl  16421  subrgpsr  16437  mvrf  16443  mplmon  16481  mplcoe1  16483  coe1fval3  16561  00ply1bas  16589  ply1plusgfvi  16591  coe1z  16611  coe1mul2  16617  coe1tm  16620  pjdm  16889  pjfval2  16891  pnrmopn  17361  distgp  18082  indistgp  18083  elovolm  19324  elovolmr  19325  ovolmge0  19326  ovolgelb  19329  ovolunlem1a  19345  ovolunlem1  19346  ovoliunlem1  19351  ovoliunlem2  19352  ovolshftlem2  19359  ovolicc2  19371  ioombl1  19409  itg2seq  19587  coeeulem  20096  coeeq  20099  aannenlem1  20198  dvntaylp  20240  taylthlem1  20242  taylthlem2  20243  pserdvlem2  20297  sqff1o  20918  islno  22207  nmooval  22217  ajfval  22263  h2hcau  22435  h2hlm  22436  hcau  22639  hlimadd  22648  hhcms  22658  hlim0  22691  hhsscms  22732  pjmf1  23171  hosmval  23191  hommval  23192  hodmval  23193  hfsmval  23194  hfmmval  23195  elcnop  23313  ellnop  23314  elhmop  23329  hmopex  23331  nlfnval  23337  elcnfn  23338  ellnfn  23339  dmadjss  23343  dmadjop  23344  adjeu  23345  adjval  23346  hhcno  23360  hhcnf  23361  adjbdln  23539  isst  23669  ishst  23670  lgamgulmlem6  24771  elee  25737  isrngohom  26471  constmap  26657  mzpclall  26674  mzpf  26683  mzpindd  26693  mzpcompact2lem  26698  eldiophb  26705  mendrng  27368  islfl  29543  islpolN  31966

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-map 6979