Theorem elmap 7447

Description: Membership relation for set exponentiation. (Contributed by NM, 8-Dec-2003.)

Hypotheses

Ref	Expression
elmap.1	|- A e. _V
elmap.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
elmap	|- ( F e. ( A ^m B ) <-> F : B --> A )

Proof of Theorem elmap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmap.1	. 2 |- A e. _V
2		elmap.2	. 2 |- B e. _V
3		elmapg 7433	. 2 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( F e. ( A ^m B ) <-> F : B --> A ) )
4	1, 2, 3	mp2an 672	1 |- ( F e. ( A ^m B ) <-> F : B --> A )

Syntax hints:   <-> wb 184   e. wcel 1767   _Vcvv 3113   -->wf 5584  (class class class)co 6284   ^m cmap 7420

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-map 7422

This theorem is referenced by:  mapval2  7448  fvmptmap  7455  mapsn  7460  mapsnconst  7464  mapsncnv  7465  xpmapenlem  7684  pwfseqlem3  9038  tskcard  9159  ingru  9193  rpnnen1lem1  11208  rpnnen1lem3  11210  rpnnen1lem4  11211  rpnnen1lem5  11212  prmreclem2  14294  1arith  14304  vdwlem6  14363  vdwlem7  14364  vdwlem8  14365  vdwlem9  14366  vdwlem11  14368  vdwlem13  14370  isfunc  15091  isfuncd  15092  idfucl  15108  cofucl  15115  funcres2b  15124  wunfunc  15126  catcfuccl  15294  ismhm  15788  symgval  16209  dfrhm2  17167  isabv  17268  psrelbas  17831  psraddcl  17835  psrmulcllem  17839  psrvscacl  17845  psr0cl  17846  psrnegcl  17848  psr1cl  17854  subrgpsr  17873  mvrf  17879  mplmon  17924  mplcoe1  17926  coe1fval3  18046  00ply1bas  18080  ply1plusgfvi  18082  coe1z  18103  coe1mul2  18109  coe1tm  18113  pjdm  18533  pjfval2  18535  pnrmopn  19638  distgp  20361  indistgp  20362  elovolm  21649  elovolmr  21650  ovolmge0  21651  ovolgelb  21654  ovolunlem1a  21670  ovolunlem1  21671  ovoliunlem1  21676  ovoliunlem2  21677  ovolshftlem2  21684  ovolicc2  21696  ioombl1  21735  itg2seq  21912  coeeulem  22384  coeeq  22387  aannenlem1  22486  dvntaylp  22528  taylthlem1  22530  taylthlem2  22531  pserdvlem2  22585  sqff1o  23212  elee  23901  islno  25372  nmooval  25382  ajfval  25428  h2hcau  25600  h2hlm  25601  hcau  25805  hlimadd  25814  hhcms  25824  hlim0  25857  hhsscms  25899  pjmf1  26338  hosmval  26358  hommval  26359  hodmval  26360  hfsmval  26361  hfmmval  26362  elcnop  26480  ellnop  26481  elhmop  26496  hmopex  26498  nlfnval  26504  elcnfn  26505  ellnfn  26506  dmadjss  26510  dmadjop  26511  adjeu  26512  adjval  26513  hhcno  26527  hhcnf  26528  adjbdln  26706  isst  26836  ishst  26837  maprnin  27254  eulerpartleme  27970  eulerpartlemt  27978  eulerpartlemr  27981  eulerpartlemmf  27982  eulerpartlemgvv  27983  eulerpartlemgs2  27987  eulerpartlemn  27988  lgamgulmlem6  28244  isrngohom  29999  constmap  30277  mzpclall  30291  mzpf  30300  mzpindd  30310  mzpcompact2lem  30316  eldiophb  30322  mendrng  30774  fourierdlem70  31505  iopmapxp  31960  dflinc2  32110  islfl  33875  islpolN  36298