Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ellz1 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ellz1 35654
Description: Membership in a lower set of integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
ellz1  |-  ( B  e.  ZZ  ->  ( A  e.  ( ZZ  \  ( ZZ>= `  ( B  +  1 ) ) )  <->  ( A  e.  ZZ  /\  A  <_  B ) ) )

Proof of Theorem ellz1
StepHypRef Expression
1 eldif 3426 . 2  |-  ( A  e.  ( ZZ  \ 
( ZZ>= `  ( B  +  1 ) ) )  <->  ( A  e.  ZZ  /\  -.  A  e.  ( ZZ>= `  ( B  +  1 ) ) ) )
2 zltp1le 11015 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( B  <  A  <->  ( B  +  1 )  <_  A ) )
32notbid 300 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( -.  B  < 
A  <->  -.  ( B  +  1 )  <_  A ) )
4 zre 10970 . . . . 5  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  RR )
5 zre 10970 . . . . 5  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  RR )
6 lenlt 9738 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
74, 5, 6syl2anr 485 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
8 peano2z 11007 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ZZ  ->  ( B  +  1 )  e.  ZZ )
9 eluz 11201 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  +  1 )  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( A  e.  (
ZZ>= `  ( B  + 
1 ) )  <->  ( B  +  1 )  <_  A ) )
108, 9sylan 478 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( A  e.  (
ZZ>= `  ( B  + 
1 ) )  <->  ( B  +  1 )  <_  A ) )
1110notbid 300 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( -.  A  e.  ( ZZ>= `  ( B  +  1 ) )  <->  -.  ( B  +  1 )  <_  A )
)
123, 7, 113bitr4rd 294 . . 3  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( -.  A  e.  ( ZZ>= `  ( B  +  1 ) )  <-> 
A  <_  B )
)
1312pm5.32da 651 . 2  |-  ( B  e.  ZZ  ->  (
( A  e.  ZZ  /\ 
-.  A  e.  (
ZZ>= `  ( B  + 
1 ) ) )  <-> 
( A  e.  ZZ  /\  A  <_  B )
) )
141, 13syl5bb 265 1  |-  ( B  e.  ZZ  ->  ( A  e.  ( ZZ  \  ( ZZ>= `  ( B  +  1 ) ) )  <->  ( A  e.  ZZ  /\  A  <_  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    e. wcel 1898    \ cdif 3413   class class class wbr 4416   ` cfv 5601  (class class class)co 6315   RRcr 9564   1c1 9566    + caddc 9568    < clt 9701    <_ cle 9702   ZZcz 10966   ZZ>=cuz 11188
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-iun 4294  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-om 6720  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-er 7389  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889  df-nn 10638  df-n0 10899  df-z 10967  df-uz 11189
This theorem is referenced by:  lzunuz  35655  fz1eqin  35656  lzenom  35657
  Copyright terms: Public domain W3C validator