Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ellspdOLD Structured version   Unicode version

Theorem ellspdOLD 18604
 Description: The elements of the span of an indexed collection of basic vectors are those vectors which can be written as finite linear combinations of basic vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Feb-2015.) Obsolete version of ellspd 18603 as of 24-Jun-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ellspd.n
ellspd.v
ellspd.k
ellspd.s Scalar
ellspd.z
ellspd.t
ellspd.f
ellspd.m
ellspd.i
Assertion
Ref Expression
ellspdOLD g
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem ellspdOLD
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ellspd.f . . . . . 6
2 ffn 5729 . . . . . 6
3 fnima 5697 . . . . . 6
41, 2, 33syl 20 . . . . 5
54fveq2d 5868 . . . 4
6 eqid 2467 . . . . . 6 freeLMod g freeLMod g
76rnmpt 5246 . . . . 5 freeLMod g freeLMod g
8 eqid 2467 . . . . . 6 freeLMod freeLMod
9 eqid 2467 . . . . . 6 freeLMod freeLMod
10 ellspd.v . . . . . 6
11 ellspd.t . . . . . 6
12 ellspd.m . . . . . 6
13 ellspd.i . . . . . 6
14 ellspd.s . . . . . . 7 Scalar
1514a1i 11 . . . . . 6 Scalar
16 ellspd.n . . . . . 6
178, 9, 10, 11, 6, 12, 13, 15, 1, 16frlmup3 18601 . . . . 5 freeLMod g
187, 17syl5eqr 2522 . . . 4 freeLMod g
195, 18eqtr4d 2511 . . 3 freeLMod g
2019eleq2d 2537 . 2 freeLMod g
21 ovex 6307 . . . . . 6 g
22 eleq1 2539 . . . . . 6 g g
2321, 22mpbiri 233 . . . . 5 g
2423rexlimivw 2952 . . . 4 freeLMod g
25 eqeq1 2471 . . . . 5 g g
2625rexbidv 2973 . . . 4 freeLMod g freeLMod g
2724, 26elab3 3257 . . 3 freeLMod g freeLMod g
28 fvex 5874 . . . . . . . 8 Scalar
2914, 28eqeltri 2551 . . . . . . 7
30 ellspd.k . . . . . . . 8
31 ellspd.z . . . . . . . 8
32 eqid 2467 . . . . . . . 8
338, 30, 31, 32frlmbasOLD 18554 . . . . . . 7 freeLMod
3429, 13, 33sylancr 663 . . . . . 6 freeLMod
3534eqcomd 2475 . . . . 5 freeLMod
3635rexeqdv 3065 . . . 4 freeLMod g g
37 cnveq 5174 . . . . . . 7
3837imaeq1d 5334 . . . . . 6
3938eleq1d 2536 . . . . 5
4039rexrab 3267 . . . 4 g g
4136, 40syl6bb 261 . . 3 freeLMod g g
4227, 41syl5bb 257 . 2 freeLMod g g
4320, 42bitrd 253 1 g
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  cab 2452  wrex 2815  crab 2818  cvv 3113   cdif 3473  csn 4027   cmpt 4505  ccnv 4998   crn 5000  cima 5002   wfn 5581  wf 5582  cfv 5586  (class class class)co 6282   cof 6520   cmap 7417  cfn 7513  cbs 14486  Scalarcsca 14554  cvsca 14555  c0g 14691   g cgsu 14692  clmod 17295  clspn 17400   freeLMod cfrlm 18544 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12072  df-hash 12370  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-hom 14575  df-cco 14576  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-prds 14699  df-pws 14701  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-mnd 15728  df-mhm 15777  df-submnd 15778  df-grp 15858  df-minusg 15859  df-sbg 15860  df-mulg 15861  df-subg 15993  df-ghm 16060  df-cntz 16150  df-cmn 16596  df-abl 16597  df-mgp 16932  df-ur 16944  df-rng 16988  df-subrg 17210  df-lmod 17297  df-lss 17362  df-lsp 17401  df-lmhm 17451  df-lbs 17504  df-sra 17601  df-rgmod 17602  df-nzr 17688  df-dsmm 18530  df-frlm 18545  df-uvc 18581 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator