Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ellspd Unicode version

Theorem ellspd 27122
 Description: The elements of the span of an indexed collection of basic vectors are those vectors which can be written as finite linear combinations of basic vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ellspd.n
ellspd.v
ellspd.k
ellspd.s Scalar
ellspd.z
ellspd.t
ellspd.f
ellspd.m
ellspd.i
Assertion
Ref Expression
ellspd g
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem ellspd
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ellspd.f . . . . . 6
2 ffn 5550 . . . . . 6
3 fnima 5522 . . . . . 6
41, 2, 33syl 19 . . . . 5
54fveq2d 5691 . . . 4
6 eqid 2404 . . . . . 6 freeLMod g freeLMod g
76rnmpt 5075 . . . . 5 freeLMod g freeLMod g
8 eqid 2404 . . . . . 6 freeLMod freeLMod
9 eqid 2404 . . . . . 6 freeLMod freeLMod
10 ellspd.v . . . . . 6
11 ellspd.t . . . . . 6
12 ellspd.m . . . . . 6
13 ellspd.i . . . . . 6
14 ellspd.s . . . . . . 7 Scalar
1514a1i 11 . . . . . 6 Scalar
16 ellspd.n . . . . . 6
178, 9, 10, 11, 6, 12, 13, 15, 1, 16frlmup3 27120 . . . . 5 freeLMod g
187, 17syl5eqr 2450 . . . 4 freeLMod g
195, 18eqtr4d 2439 . . 3 freeLMod g
2019eleq2d 2471 . 2 freeLMod g
21 ovex 6065 . . . . . 6 g
22 eleq1 2464 . . . . . 6 g g
2321, 22mpbiri 225 . . . . 5 g
2423rexlimivw 2786 . . . 4 freeLMod g
25 eqeq1 2410 . . . . 5 g g
2625rexbidv 2687 . . . 4 freeLMod g freeLMod g
2724, 26elab3 3049 . . 3 freeLMod g freeLMod g
28 fvex 5701 . . . . . . . 8 Scalar
2914, 28eqeltri 2474 . . . . . . 7
30 ellspd.k . . . . . . . 8
31 ellspd.z . . . . . . . 8
32 eqid 2404 . . . . . . . 8
338, 30, 31, 32frlmbas 27091 . . . . . . 7 freeLMod
3429, 13, 33sylancr 645 . . . . . 6 freeLMod
3534eqcomd 2409 . . . . 5 freeLMod
3635rexeqdv 2871 . . . 4 freeLMod g g
37 cnveq 5005 . . . . . . 7
3837imaeq1d 5161 . . . . . 6
3938eleq1d 2470 . . . . 5
4039rexrab 3058 . . . 4 g g
4136, 40syl6bb 253 . . 3 freeLMod g g
4227, 41syl5bb 249 . 2 freeLMod g g
4320, 42bitrd 245 1 g
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1649   wcel 1721  cab 2390  wrex 2667  crab 2670  cvv 2916   cdif 3277  csn 3774   cmpt 4226  ccnv 4836   crn 4838  cima 4840   wfn 5408  wf 5409  cfv 5413  (class class class)co 6040   cof 6262   cmap 6977  cfn 7068  cbs 13424  Scalarcsca 13487  cvsca 13488  c0g 13678   g cgsu 13679  clmod 15905  clspn 16002   freeLMod cfrlm 27080 This theorem is referenced by:  elfilspd  27123  islindf4  27176 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-hash 11574  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-hom 13508  df-cco 13509  df-prds 13626  df-pws 13628  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-mhm 14693  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-mulg 14770  df-subg 14896  df-ghm 14959  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-ur 15620  df-subrg 15821  df-lmod 15907  df-lss 15964  df-lsp 16003  df-lmhm 16053  df-lbs 16102  df-sra 16199  df-rgmod 16200  df-nzr 16284  df-dsmm 27066  df-frlm 27082  df-uvc 27083
 Copyright terms: Public domain W3C validator