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Theorem ello1mpt2 13553
Description: Elementhood in the set of eventually upper bounded functions. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ello1mpt.1  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
ello1mpt.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
ello1d.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
ello1mpt2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. 
<_O(1)  <->  E. y  e.  ( C [,) +oo ) E. m  e.  RR  A. x  e.  A  (
y  <_  x  ->  B  <_  m ) ) )
Distinct variable groups:    x, m, y, A    B, m, y    C, m, x, y    ph, m, x, y
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem ello1mpt2
StepHypRef Expression
1 ello1mpt.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
2 ello1mpt.2 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
31, 2ello1mpt 13552 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. 
<_O(1)  <->  E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  (
y  <_  x  ->  B  <_  m ) ) )
4 ello1d.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
5 rexico 13384 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( E. y  e.  ( C [,) +oo ) A. x  e.  A  (
y  <_  x  ->  B  <_  m )  <->  E. y  e.  RR  A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  m
) ) )
61, 4, 5syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  ( C [,) +oo ) A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  m )  <->  E. y  e.  RR  A. x  e.  A  (
y  <_  x  ->  B  <_  m ) ) )
76rexbidv 2937 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. m  e.  RR  E. y  e.  ( C [,) +oo ) A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  m )  <->  E. m  e.  RR  E. y  e.  RR  A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  m ) ) )
8 rexcom 2988 . . 3  |-  ( E. y  e.  ( C [,) +oo ) E. m  e.  RR  A. x  e.  A  (
y  <_  x  ->  B  <_  m )  <->  E. m  e.  RR  E. y  e.  ( C [,) +oo ) A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  m )
)
9 rexcom 2988 . . 3  |-  ( E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  m )  <->  E. m  e.  RR  E. y  e.  RR  A. x  e.  A  (
y  <_  x  ->  B  <_  m ) )
107, 8, 93bitr4g 291 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  ( C [,) +oo ) E. m  e.  RR  A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  m )  <->  E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  m
) ) )
113, 10bitr4d 259 1  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. 
<_O(1)  <->  E. y  e.  ( C [,) +oo ) E. m  e.  RR  A. x  e.  A  (
y  <_  x  ->  B  <_  m ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    e. wcel 1867   A.wral 2773   E.wrex 2774    C_ wss 3433   class class class wbr 4417    |-> cmpt 4475  (class class class)co 6296   RRcr 9527   +oocpnf 9661    <_ cle 9665   [,)cico 11626   <_O(1)clo1 13518
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4214  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7362  df-pm 7474  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-ico 11630  df-lo1 13522
This theorem is referenced by:  lo1bdd2  13555  elo1mpt2  13566
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