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Theorem ello1mpt 13324
Description: Elementhood in the set of eventually upper bounded functions. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ello1mpt.1  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
ello1mpt.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
ello1mpt  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. 
<_O(1)  <->  E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  (
y  <_  x  ->  B  <_  m ) ) )
Distinct variable groups:    x, m, y, A    B, m, y    ph, m, x, y
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem ello1mpt
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ello1mpt.2 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
2 eqid 2467 . . . 4  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
31, 2fmptd 6056 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> RR )
4 ello1mpt.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
5 ello12 13319 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) : A --> RR  /\  A  C_  RR )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_O(1)  <->  E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. z  e.  A  (
y  <_  z  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z
)  <_  m )
) )
63, 4, 5syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. 
<_O(1)  <->  E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. z  e.  A  (
y  <_  z  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z
)  <_  m )
) )
7 nfv 1683 . . . . . 6  |-  F/ x  y  <_  z
8 nffvmpt1 5880 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )
9 nfcv 2629 . . . . . . 7  |-  F/_ x  <_
10 nfcv 2629 . . . . . . 7  |-  F/_ x m
118, 9, 10nfbr 4497 . . . . . 6  |-  F/ x
( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )  <_  m
127, 11nfim 1867 . . . . 5  |-  F/ x
( y  <_  z  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )  <_  m
)
13 nfv 1683 . . . . 5  |-  F/ z ( y  <_  x  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  <_  m
)
14 breq2 4457 . . . . . 6  |-  ( z  =  x  ->  (
y  <_  z  <->  y  <_  x ) )
15 fveq2 5872 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  (
( x  e.  A  |->  B ) `  z
)  =  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) )
1615breq1d 4463 . . . . . 6  |-  ( z  =  x  ->  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )  <_  m  <->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  <_  m )
)
1714, 16imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( z  =  x  ->  (
( y  <_  z  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )  <_  m
)  <->  ( y  <_  x  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x )  <_  m ) ) )
1812, 13, 17cbvral 3089 . . . 4  |-  ( A. z  e.  A  (
y  <_  z  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z
)  <_  m )  <->  A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  <_  m )
)
19 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
202fvmpt2 5964 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  =  B )
2119, 1, 20syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  =  B )
2221breq1d 4463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  <_  m  <->  B  <_  m ) )
2322imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( y  <_  x  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  <_  m
)  <->  ( y  <_  x  ->  B  <_  m
) ) )
2423ralbidva 2903 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x )  <_  m )  <->  A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  m ) ) )
2518, 24syl5bb 257 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  z )  <_  m )  <->  A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  m ) ) )
26252rexbidv 2985 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  z )  <_  m )  <->  E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  m
) ) )
276, 26bitrd 253 1  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. 
<_O(1)  <->  E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  (
y  <_  x  ->  B  <_  m ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   E.wrex 2818    C_ wss 3481   class class class wbr 4453    |-> cmpt 4511   -->wf 5590   ` cfv 5594   RRcr 9503    <_ cle 9641   <_O(1)clo1 13290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-er 7323  df-pm 7435  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-ico 11547  df-lo1 13294
This theorem is referenced by:  ello1mpt2  13325  ello1d  13326  elo1mpt  13337  o1lo1  13340  lo1resb  13367  lo1add  13429  lo1mul  13430  lo1le  13454
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