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Theorem ello1mpt 12999
Description: Elementhood in the set of eventually upper bounded functions. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ello1mpt.1  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
ello1mpt.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
ello1mpt  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. 
<_O(1)  <->  E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  (
y  <_  x  ->  B  <_  m ) ) )
Distinct variable groups:    x, m, y, A    B, m, y    ph, m, x, y
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem ello1mpt
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ello1mpt.2 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
2 eqid 2443 . . . 4  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
31, 2fmptd 5867 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> RR )
4 ello1mpt.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
5 ello12 12994 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) : A --> RR  /\  A  C_  RR )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_O(1)  <->  E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. z  e.  A  (
y  <_  z  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z
)  <_  m )
) )
63, 4, 5syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. 
<_O(1)  <->  E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. z  e.  A  (
y  <_  z  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z
)  <_  m )
) )
7 nfv 1673 . . . . . 6  |-  F/ x  y  <_  z
8 nffvmpt1 5699 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )
9 nfcv 2579 . . . . . . 7  |-  F/_ x  <_
10 nfcv 2579 . . . . . . 7  |-  F/_ x m
118, 9, 10nfbr 4336 . . . . . 6  |-  F/ x
( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )  <_  m
127, 11nfim 1853 . . . . 5  |-  F/ x
( y  <_  z  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )  <_  m
)
13 nfv 1673 . . . . 5  |-  F/ z ( y  <_  x  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  <_  m
)
14 breq2 4296 . . . . . 6  |-  ( z  =  x  ->  (
y  <_  z  <->  y  <_  x ) )
15 fveq2 5691 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  (
( x  e.  A  |->  B ) `  z
)  =  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) )
1615breq1d 4302 . . . . . 6  |-  ( z  =  x  ->  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )  <_  m  <->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  <_  m )
)
1714, 16imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( z  =  x  ->  (
( y  <_  z  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )  <_  m
)  <->  ( y  <_  x  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x )  <_  m ) ) )
1812, 13, 17cbvral 2943 . . . 4  |-  ( A. z  e.  A  (
y  <_  z  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z
)  <_  m )  <->  A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  <_  m )
)
19 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
202fvmpt2 5781 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  =  B )
2119, 1, 20syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  =  B )
2221breq1d 4302 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  <_  m  <->  B  <_  m ) )
2322imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( y  <_  x  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  <_  m
)  <->  ( y  <_  x  ->  B  <_  m
) ) )
2423ralbidva 2731 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x )  <_  m )  <->  A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  m ) ) )
2518, 24syl5bb 257 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  z )  <_  m )  <->  A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  m ) ) )
26252rexbidv 2758 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  z )  <_  m )  <->  E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  m
) ) )
276, 26bitrd 253 1  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. 
<_O(1)  <->  E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  (
y  <_  x  ->  B  <_  m ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715   E.wrex 2716    C_ wss 3328   class class class wbr 4292    e. cmpt 4350   -->wf 5414   ` cfv 5418   RRcr 9281    <_ cle 9419   <_O(1)clo1 12965
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-er 7101  df-pm 7217  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-ico 11306  df-lo1 12969
This theorem is referenced by:  ello1mpt2  13000  ello1d  13001  elo1mpt  13012  o1lo1  13015  lo1resb  13042  lo1add  13104  lo1mul  13105  lo1le  13129
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