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Theorem ello1d 13312
Description: Sufficient condition for elementhood in the set of eventually upper bounded functions. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ello1mpt.1  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
ello1mpt.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
ello1d.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
ello1d.4  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
ello1d.5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  C  <_  x ) )  ->  B  <_  M )
Assertion
Ref Expression
ello1d  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_O(1) )
Distinct variable groups:    x, A    x, C    ph, x    x, M
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem ello1d
Dummy variables  m  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ello1d.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
2 ello1d.4 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
3 ello1d.5 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  C  <_  x ) )  ->  B  <_  M )
43expr 615 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( C  <_  x  ->  B  <_  M ) )
54ralrimiva 2878 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  ( C  <_  x  ->  B  <_  M ) )
6 breq1 4450 . . . . . 6  |-  ( y  =  C  ->  (
y  <_  x  <->  C  <_  x ) )
76imbi1d 317 . . . . 5  |-  ( y  =  C  ->  (
( y  <_  x  ->  B  <_  m )  <->  ( C  <_  x  ->  B  <_  m ) ) )
87ralbidv 2903 . . . 4  |-  ( y  =  C  ->  ( A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  m )  <->  A. x  e.  A  ( C  <_  x  ->  B  <_  m ) ) )
9 breq2 4451 . . . . . 6  |-  ( m  =  M  ->  ( B  <_  m  <->  B  <_  M ) )
109imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( m  =  M  ->  (
( C  <_  x  ->  B  <_  m )  <->  ( C  <_  x  ->  B  <_  M ) ) )
1110ralbidv 2903 . . . 4  |-  ( m  =  M  ->  ( A. x  e.  A  ( C  <_  x  ->  B  <_  m )  <->  A. x  e.  A  ( C  <_  x  ->  B  <_  M ) ) )
128, 11rspc2ev 3225 . . 3  |-  ( ( C  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  A. x  e.  A  ( C  <_  x  ->  B  <_  M ) )  ->  E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  (
y  <_  x  ->  B  <_  m ) )
131, 2, 5, 12syl3anc 1228 . 2  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  (
y  <_  x  ->  B  <_  m ) )
14 ello1mpt.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
15 ello1mpt.2 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
1614, 15ello1mpt 13310 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. 
<_O(1)  <->  E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  (
y  <_  x  ->  B  <_  m ) ) )
1713, 16mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_O(1) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815    C_ wss 3476   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   RRcr 9492    <_ cle 9630   <_O(1)clo1 13276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-er 7312  df-pm 7424  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-ico 11536  df-lo1 13280
This theorem is referenced by:  elo1d  13325  o1lo12  13327  icco1  13329  lo1const  13409  dirith2  23538  pntrlog2bndlem4  23590  pntrlog2bndlem6  23593
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