Theorem ellimc3 21354

Description: Write the epsilon-delta definition of a limit. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ellimc3.f	|- ( ph -> F : A --> CC )
ellimc3.a	|- ( ph -> A C_ CC )
ellimc3.b	|- ( ph -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
ellimc3	|- ( ph -> ( C e. ( F lim CC B ) <-> ( C e. CC /\ A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, y, z   x, C, y, z   ph, x, y, z   x, F, y, z

Proof of Theorem ellimc3

Dummy variables v u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ellimc3.f	. . 3 |- ( ph -> F : A --> CC )
2		ellimc3.a	. . 3 |- ( ph -> A C_ CC )
3		ellimc3.b	. . 3 |- ( ph -> B e. CC )
4		eqid 2443	. . 3 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
5	1, 2, 3, 4	ellimc2 21352	. 2 |- ( ph -> ( C e. ( F lim CC B ) <-> ( C e. CC /\ A. u e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( C e. u -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) ) ) )
6		cnxmet 20352	. . . . . . . . . 10 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
7	6	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ x e. RR+ ) -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
8		simplr 754	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ x e. RR+ ) -> C e. CC )
9		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ x e. RR+ ) -> x e. RR+ )
10		blcntr 19988	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ C e. CC /\ x e. RR+ ) -> C e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) )
11	7, 8, 9, 10	syl3anc 1218	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ x e. RR+ ) -> C e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) )
12		rpxr 10998	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR+ -> x e. RR* )
13	12	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ x e. RR+ ) -> x e. RR* )
14	4	cnfldtopn 20361	. . . . . . . . . . 11 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
15	14	blopn 20075	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ C e. CC /\ x e. RR* ) -> ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) e. ( TopOpen ` ℂfld ) )
16	7, 8, 13, 15	syl3anc 1218	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ x e. RR+ ) -> ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) e. ( TopOpen ` ℂfld ) )
17		eleq2 2504	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) -> ( C e. u <-> C e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) )
18		sseq2 3378	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) -> ( ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u <-> ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) )
19	18	anbi2d 703	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) -> ( ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) <-> ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) ) )
20	19	rexbidv 2736	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) -> ( E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) <-> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) ) )
21	17, 20	imbi12d 320	. . . . . . . . . 10 |- ( u = ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) -> ( ( C e. u -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) <-> ( C e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) ) ) )
22	21	rspcv 3069	. . . . . . . . 9 |- ( ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) e. ( TopOpen ` ℂfld ) -> ( A. u e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( C e. u -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) -> ( C e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) ) ) )
23	16, 22	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ x e. RR+ ) -> ( A. u e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( C e. u -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) -> ( C e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) ) ) )
24	11, 23	mpid 41	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ x e. RR+ ) -> ( A. u e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( C e. u -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) ) )
25	14	mopni2 20068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ v e. ( TopOpen ` ℂfld ) /\ B e. v ) -> E. y e. RR+ ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) C_ v )
26	6, 25	mp3an1 1301	. . . . . . . . . 10 |- ( ( v e. ( TopOpen ` ℂfld ) /\ B e. v ) -> E. y e. RR+ ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) C_ v )
27		ssrin 3575	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) C_ v -> ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) C_ ( v i^i ( A \ { B } ) ) )
28		imass2 5204	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) C_ ( v i^i ( A \ { B } ) ) -> ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) )
29		sstr2 3363	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) -> ( ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) -> ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) )
30	27, 28, 29	3syl 20	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) C_ v -> ( ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) -> ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) )
31	30	com12 31	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) -> ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) C_ v -> ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) )
32	31	reximdv 2827	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) -> ( E. y e. RR+ ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) C_ v -> E. y e. RR+ ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) )
33	26, 32	syl5com 30	. . . . . . . . 9 |- ( ( v e. ( TopOpen ` ℂfld ) /\ B e. v ) -> ( ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) -> E. y e. RR+ ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) )
34	33	impr 619	. . . . . . . 8 |- ( ( v e. ( TopOpen ` ℂfld ) /\ ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) ) -> E. y e. RR+ ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) )
35	34	rexlimiva 2836	. . . . . . 7 |- ( E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) -> E. y e. RR+ ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) )
36	24, 35	syl6 33	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ x e. RR+ ) -> ( A. u e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( C e. u -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) -> E. y e. RR+ ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) )
37	36	ralrimdva 2806	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( A. u e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( C e. u -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) -> A. x e. RR+ E. y e. RR+ ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) )
38	14	mopni2 20068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ u e. ( TopOpen ` ℂfld ) /\ C e. u ) -> E. x e. RR+ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) C_ u )
39	6, 38	mp3an1 1301	. . . . . . . . 9 |- ( ( u e. ( TopOpen ` ℂfld ) /\ C e. u ) -> E. x e. RR+ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) C_ u )
40		r19.29r 2858	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( E. x e. RR+ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) C_ u /\ A. x e. RR+ E. y e. RR+ ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) -> E. x e. RR+ ( ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) C_ u /\ E. y e. RR+ ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) )
41	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. RR+ ) -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
42	3	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. RR+ ) -> B e. CC )
43		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. RR+ ) -> y e. RR+ )
44	43	rpxrd 11028	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. RR+ ) -> y e. RR* )
45	14	blopn 20075	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ B e. CC /\ y e. RR* ) -> ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) e. ( TopOpen ` ℂfld ) )
46	41, 42, 44, 45	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. RR+ ) -> ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) e. ( TopOpen ` ℂfld ) )
47		blcntr 19988	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ B e. CC /\ y e. RR+ ) -> B e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) )
48	41, 42, 43, 47	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. RR+ ) -> B e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) )
49		eleq2 2504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( v = ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) -> ( B e. v <-> B e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) )
50		ineq1 3545	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( v = ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) -> ( v i^i ( A \ { B } ) ) = ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) )
51	50	imaeq2d 5169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( v = ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) -> ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) = ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) )
52	51	sseq1d 3383	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( v = ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) -> ( ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) <-> ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) )
53	49, 52	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( v = ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) -> ( ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) <-> ( B e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) /\ ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) ) )
54	53	rspcev 3073	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) e. ( TopOpen ` ℂfld ) /\ ( B e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) /\ ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) ) -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) )
55	54	expr 615	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) e. ( TopOpen ` ℂfld ) /\ B e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) -> ( ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) ) )
56	46, 48, 55	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. RR+ ) -> ( ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) ) )
57	56	rexlimdva 2841	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ x e. RR+ ) -> ( E. y e. RR+ ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) ) )
58		sstr2 3363	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) -> ( ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) C_ u -> ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) )
59	58	com12 31	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) C_ u -> ( ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) -> ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) )
60	59	anim2d 565	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) C_ u -> ( ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) -> ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) )
61	60	reximdv 2827	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) C_ u -> ( E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) )
62	57, 61	syl9 71	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ x e. RR+ ) -> ( ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) C_ u -> ( E. y e. RR+ ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) ) )
63	62	impd 431	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) C_ u /\ E. y e. RR+ ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) )
64	63	rexlimdva 2841	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( E. x e. RR+ ( ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) C_ u /\ E. y e. RR+ ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) )
65	40, 64	syl5 32	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( ( E. x e. RR+ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) C_ u /\ A. x e. RR+ E. y e. RR+ ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) )
66	65	expd 436	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( E. x e. RR+ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) C_ u -> ( A. x e. RR+ E. y e. RR+ ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) ) )
67	39, 66	syl5 32	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( ( u e. ( TopOpen ` ℂfld ) /\ C e. u ) -> ( A. x e. RR+ E. y e. RR+ ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) ) )
68	67	expdimp 437	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ u e. ( TopOpen ` ℂfld ) ) -> ( C e. u -> ( A. x e. RR+ E. y e. RR+ ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) ) )
69	68	com23 78	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ u e. ( TopOpen ` ℂfld ) ) -> ( A. x e. RR+ E. y e. RR+ ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) -> ( C e. u -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) ) )
70	69	ralrimdva 2806	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( A. x e. RR+ E. y e. RR+ ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) -> A. u e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( C e. u -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) ) )
71	37, 70	impbid 191	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( A. u e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( C e. u -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) <-> A. x e. RR+ E. y e. RR+ ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) )
72	1	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) -> F : A --> CC )
73		ffun 5561	. . . . . . . . . 10 |- ( F : A --> CC -> Fun F )
74	72, 73	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) -> Fun F )
75		inss2 3571	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) C_ ( A \ { B } )
76		difss 3483	. . . . . . . . . . 11 |- ( A \ { B } ) C_ A
77		fdm 5563	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : A --> CC -> dom F = A )
78	72, 77	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) -> dom F = A )
79	76, 78	syl5sseqr 3405	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) -> ( A \ { B } ) C_ dom F )
80	75, 79	syl5ss 3367	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) -> ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) C_ dom F )
81		funimass4 5742	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fun F /\ ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) C_ dom F ) -> ( ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) <-> A. z e. ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ( F ` z ) e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) )
82	74, 80, 81	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) -> ( ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) <-> A. z e. ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ( F ` z ) e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) )
83	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) /\ z e. ( A \ { B } ) ) -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
84		simplrr 760	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) /\ z e. ( A \ { B } ) ) -> y e. RR+ )
85	84	rpxrd 11028	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) /\ z e. ( A \ { B } ) ) -> y e. RR* )
86	3	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) /\ z e. ( A \ { B } ) ) -> B e. CC )
87	76, 2	syl5ss 3367	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( A \ { B } ) C_ CC )
88	87	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) -> ( A \ { B } ) C_ CC )
89	88	sselda 3356	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) /\ z e. ( A \ { B } ) ) -> z e. CC )
90		elbl3 19967	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ y e. RR* ) /\ ( B e. CC /\ z e. CC ) ) -> ( z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) <-> ( z ( abs o. - ) B ) < y ) )
91	83, 85, 86, 89, 90	syl22anc 1219	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) /\ z e. ( A \ { B } ) ) -> ( z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) <-> ( z ( abs o. - ) B ) < y ) )
92		eqid 2443	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
93	92	cnmetdval 20350	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. CC /\ B e. CC ) -> ( z ( abs o. - ) B ) = ( abs ` ( z - B ) ) )
94	89, 86, 93	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) /\ z e. ( A \ { B } ) ) -> ( z ( abs o. - ) B ) = ( abs ` ( z - B ) ) )
95	94	breq1d 4302	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) /\ z e. ( A \ { B } ) ) -> ( ( z ( abs o. - ) B ) < y <-> ( abs ` ( z - B ) ) < y ) )
96	91, 95	bitrd 253	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) /\ z e. ( A \ { B } ) ) -> ( z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) <-> ( abs ` ( z - B ) ) < y ) )
97		simplrl 759	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) /\ z e. ( A \ { B } ) ) -> x e. RR+ )
98	97	rpxrd 11028	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) /\ z e. ( A \ { B } ) ) -> x e. RR* )
99		simpllr 758	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) /\ z e. ( A \ { B } ) ) -> C e. CC )
100		eldifi 3478	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. ( A \ { B } ) -> z e. A )
101		ffvelrn 5841	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F : A --> CC /\ z e. A ) -> ( F ` z ) e. CC )
102	72, 100, 101	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) /\ z e. ( A \ { B } ) ) -> ( F ` z ) e. CC )
103		elbl3 19967	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ x e. RR* ) /\ ( C e. CC /\ ( F ` z ) e. CC ) ) -> ( ( F ` z ) e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) <-> ( ( F ` z ) ( abs o. - ) C ) < x ) )
104	83, 98, 99, 102, 103	syl22anc 1219	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) /\ z e. ( A \ { B } ) ) -> ( ( F ` z ) e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) <-> ( ( F ` z ) ( abs o. - ) C ) < x ) )
105	92	cnmetdval 20350	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F ` z ) e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( F ` z ) ( abs o. - ) C ) = ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) )
106	102, 99, 105	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) /\ z e. ( A \ { B } ) ) -> ( ( F ` z ) ( abs o. - ) C ) = ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) )
107	106	breq1d 4302	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) /\ z e. ( A \ { B } ) ) -> ( ( ( F ` z ) ( abs o. - ) C ) < x <-> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) )
108	104, 107	bitrd 253	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) /\ z e. ( A \ { B } ) ) -> ( ( F ` z ) e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) <-> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) )
109	96, 108	imbi12d 320	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) /\ z e. ( A \ { B } ) ) -> ( ( z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) -> ( F ` z ) e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) <-> ( ( abs ` ( z - B ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) )
110	109	ralbidva 2731	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) -> ( A. z e. ( A \ { B } ) ( z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) -> ( F ` z ) e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) <-> A. z e. ( A \ { B } ) ( ( abs ` ( z - B ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) )
111		elin 3539	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) <-> ( z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) /\ z e. ( A \ { B } ) ) )
112		ancom 450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) /\ z e. ( A \ { B } ) ) <-> ( z e. ( A \ { B } ) /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) )
113	111, 112	bitri 249	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) <-> ( z e. ( A \ { B } ) /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) )
114	113	imbi1i 325	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) -> ( F ` z ) e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) <-> ( ( z e. ( A \ { B } ) /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) -> ( F ` z ) e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) )
115		impexp 446	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z e. ( A \ { B } ) /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) -> ( F ` z ) e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) <-> ( z e. ( A \ { B } ) -> ( z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) -> ( F ` z ) e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) ) )
116	114, 115	bitr2i 250	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. ( A \ { B } ) -> ( z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) -> ( F ` z ) e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) ) <-> ( z e. ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) -> ( F ` z ) e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) )
117	116	ralbii2 2743	. . . . . . . . 9 |- ( A. z e. ( A \ { B } ) ( z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) -> ( F ` z ) e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) <-> A. z e. ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ( F ` z ) e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) )
118		impexp 446	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z e. A /\ z =/= B ) -> ( ( abs ` ( z - B ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) <-> ( z e. A -> ( z =/= B -> ( ( abs ` ( z - B ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) ) )
119		eldifsn 4000	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( A \ { B } ) <-> ( z e. A /\ z =/= B ) )
120	119	imbi1i 325	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. ( A \ { B } ) -> ( ( abs ` ( z - B ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) <-> ( ( z e. A /\ z =/= B ) -> ( ( abs ` ( z - B ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) )
121		impexp 446	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) <-> ( z =/= B -> ( ( abs ` ( z - B ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) )
122	121	imbi2i 312	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. A -> ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) <-> ( z e. A -> ( z =/= B -> ( ( abs ` ( z - B ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) ) )
123	118, 120, 122	3bitr4i 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. ( A \ { B } ) -> ( ( abs ` ( z - B ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) <-> ( z e. A -> ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) )
124	123	ralbii2 2743	. . . . . . . . 9 |- ( A. z e. ( A \ { B } ) ( ( abs ` ( z - B ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) <-> A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) )
125	110, 117, 124	3bitr3g 287	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) -> ( A. z e. ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ( F ` z ) e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) <-> A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) )
126	82, 125	bitrd 253	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) -> ( ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) <-> A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) )
127	126	anassrs 648	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. RR+ ) -> ( ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) <-> A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) )
128	127	rexbidva 2732	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ x e. RR+ ) -> ( E. y e. RR+ ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) <-> E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) )
129	128	ralbidva 2731	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( A. x e. RR+ E. y e. RR+ ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) <-> A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) )
130	71, 129	bitrd 253	. . 3 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( A. u e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( C e. u -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) <-> A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) )
131	130	pm5.32da 641	. 2 |- ( ph -> ( ( C e. CC /\ A. u e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( C e. u -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) ) <-> ( C e. CC /\ A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) ) )
132	5, 131	bitrd 253	1 |- ( ph -> ( C e. ( F lim CC B ) <-> ( C e. CC /\ A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2606   A.wral 2715   E.wrex 2716   \ cdif 3325   i^i cin 3327   C_ wss 3328   {csn 3877   class class class wbr 4292   dom cdm 4840   "cima 4843   o. ccom 4844   Fun wfun 5412   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   CCcc 9280   RR*cxr 9417   < clt 9418   - cmin 9595   RR+crp 10991   abscabs 12723   TopOpenctopn 14360   *Metcxmt 17801   ballcbl 17803  ℂ_fldccnfld 17818   lim CC climc 21337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-pm 7217  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fi 7661  df-sup 7691  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-q 10954  df-rp 10992  df-xneg 11089  df-xadd 11090  df-xmul 11091  df-fz 11438  df-seq 11807  df-exp 11866  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-starv 14253  df-tset 14257  df-ple 14258  df-ds 14260  df-unif 14261  df-rest 14361  df-topn 14362  df-topgen 14382  df-psmet 17809  df-xmet 17810  df-met 17811  df-bl 17812  df-mopn 17813  df-cnfld 17819  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-topsp 18507  df-cnp 18832  df-xms 19895  df-ms 19896  df-limc 21341

This theorem is referenced by:  dveflem  21451  dvferm1  21457  dvferm2  21459  lhop1  21486  ftc1lem6  21513  ulmdvlem3  21867  ftc1cnnc  28466