Theorem ellimc3 22913

Description: Write the epsilon-delta definition of a limit. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ellimc3.f	|- ( ph -> F : A --> CC )
ellimc3.a	|- ( ph -> A C_ CC )
ellimc3.b	|- ( ph -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
ellimc3	|- ( ph -> ( C e. ( F lim CC B ) <-> ( C e. CC /\ A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, y, z   x, C, y, z   ph, x, y, z   x, F, y, z

Proof of Theorem ellimc3

Dummy variables v u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ellimc3.f	. . 3 |- ( ph -> F : A --> CC )
2		ellimc3.a	. . 3 |- ( ph -> A C_ CC )
3		ellimc3.b	. . 3 |- ( ph -> B e. CC )
4		eqid 2471	. . 3 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
5	1, 2, 3, 4	ellimc2 22911	. 2 |- ( ph -> ( C e. ( F lim CC B ) <-> ( C e. CC /\ A. u e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( C e. u -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) ) ) )
6		cnxmet 21871	. . . . . . . . . 10 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
7	6	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ x e. RR+ ) -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
8		simplr 770	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ x e. RR+ ) -> C e. CC )
9		simpr 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ x e. RR+ ) -> x e. RR+ )
10		blcntr 21506	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ C e. CC /\ x e. RR+ ) -> C e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) )
11	7, 8, 9, 10	syl3anc 1292	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ x e. RR+ ) -> C e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) )
12		rpxr 11332	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR+ -> x e. RR* )
13	12	adantl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ x e. RR+ ) -> x e. RR* )
14	4	cnfldtopn 21880	. . . . . . . . . . 11 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
15	14	blopn 21593	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ C e. CC /\ x e. RR* ) -> ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) e. ( TopOpen ` ℂfld ) )
16	7, 8, 13, 15	syl3anc 1292	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ x e. RR+ ) -> ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) e. ( TopOpen ` ℂfld ) )
17		eleq2 2538	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) -> ( C e. u <-> C e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) )
18		sseq2 3440	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) -> ( ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u <-> ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) )
19	18	anbi2d 718	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) -> ( ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) <-> ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) ) )
20	19	rexbidv 2892	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) -> ( E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) <-> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) ) )
21	17, 20	imbi12d 327	. . . . . . . . . 10 |- ( u = ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) -> ( ( C e. u -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) <-> ( C e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) ) ) )
22	21	rspcv 3132	. . . . . . . . 9 |- ( ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) e. ( TopOpen ` ℂfld ) -> ( A. u e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( C e. u -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) -> ( C e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) ) ) )
23	16, 22	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ x e. RR+ ) -> ( A. u e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( C e. u -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) -> ( C e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) ) ) )
24	11, 23	mpid 41	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ x e. RR+ ) -> ( A. u e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( C e. u -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) ) )
25	14	mopni2 21586	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ v e. ( TopOpen ` ℂfld ) /\ B e. v ) -> E. y e. RR+ ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) C_ v )
26	6, 25	mp3an1 1377	. . . . . . . . . 10 |- ( ( v e. ( TopOpen ` ℂfld ) /\ B e. v ) -> E. y e. RR+ ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) C_ v )
27		ssrin 3648	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) C_ v -> ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) C_ ( v i^i ( A \ { B } ) ) )
28		imass2 5210	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) C_ ( v i^i ( A \ { B } ) ) -> ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) )
29		sstr2 3425	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) -> ( ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) -> ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) )
30	27, 28, 29	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) C_ v -> ( ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) -> ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) )
31	30	com12 31	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) -> ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) C_ v -> ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) )
32	31	reximdv 2857	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) -> ( E. y e. RR+ ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) C_ v -> E. y e. RR+ ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) )
33	26, 32	syl5com 30	. . . . . . . . 9 |- ( ( v e. ( TopOpen ` ℂfld ) /\ B e. v ) -> ( ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) -> E. y e. RR+ ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) )
34	33	impr 631	. . . . . . . 8 |- ( ( v e. ( TopOpen ` ℂfld ) /\ ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) ) -> E. y e. RR+ ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) )
35	34	rexlimiva 2868	. . . . . . 7 |- ( E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) -> E. y e. RR+ ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) )
36	24, 35	syl6 33	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ x e. RR+ ) -> ( A. u e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( C e. u -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) -> E. y e. RR+ ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) )
37	36	ralrimdva 2812	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( A. u e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( C e. u -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) -> A. x e. RR+ E. y e. RR+ ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) )
38	14	mopni2 21586	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ u e. ( TopOpen ` ℂfld ) /\ C e. u ) -> E. x e. RR+ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) C_ u )
39	6, 38	mp3an1 1377	. . . . . . . . 9 |- ( ( u e. ( TopOpen ` ℂfld ) /\ C e. u ) -> E. x e. RR+ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) C_ u )
40		r19.29r 2913	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( E. x e. RR+ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) C_ u /\ A. x e. RR+ E. y e. RR+ ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) -> E. x e. RR+ ( ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) C_ u /\ E. y e. RR+ ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) )
41	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. RR+ ) -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
42	3	ad3antrrr 744	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. RR+ ) -> B e. CC )
43		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. RR+ ) -> y e. RR+ )
44	43	rpxrd 11365	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. RR+ ) -> y e. RR* )
45	14	blopn 21593	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ B e. CC /\ y e. RR* ) -> ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) e. ( TopOpen ` ℂfld ) )
46	41, 42, 44, 45	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. RR+ ) -> ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) e. ( TopOpen ` ℂfld ) )
47		blcntr 21506	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ B e. CC /\ y e. RR+ ) -> B e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) )
48	41, 42, 43, 47	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. RR+ ) -> B e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) )
49		eleq2 2538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( v = ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) -> ( B e. v <-> B e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) )
50		ineq1 3618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( v = ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) -> ( v i^i ( A \ { B } ) ) = ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) )
51	50	imaeq2d 5174	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( v = ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) -> ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) = ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) )
52	51	sseq1d 3445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( v = ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) -> ( ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) <-> ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) )
53	49, 52	anbi12d 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( v = ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) -> ( ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) <-> ( B e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) /\ ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) ) )
54	53	rspcev 3136	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) e. ( TopOpen ` ℂfld ) /\ ( B e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) /\ ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) ) -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) )
55	54	expr 626	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) e. ( TopOpen ` ℂfld ) /\ B e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) -> ( ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) ) )
56	46, 48, 55	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. RR+ ) -> ( ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) ) )
57	56	rexlimdva 2871	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ x e. RR+ ) -> ( E. y e. RR+ ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) ) )
58		sstr2 3425	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) -> ( ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) C_ u -> ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) )
59	58	com12 31	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) C_ u -> ( ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) -> ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) )
60	59	anim2d 575	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) C_ u -> ( ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) -> ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) )
61	60	reximdv 2857	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) C_ u -> ( E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) )
62	57, 61	syl9 72	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ x e. RR+ ) -> ( ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) C_ u -> ( E. y e. RR+ ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) ) )
63	62	impd 438	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) C_ u /\ E. y e. RR+ ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) )
64	63	rexlimdva 2871	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( E. x e. RR+ ( ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) C_ u /\ E. y e. RR+ ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) )
65	40, 64	syl5 32	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( ( E. x e. RR+ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) C_ u /\ A. x e. RR+ E. y e. RR+ ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) )
66	65	expd 443	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( E. x e. RR+ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) C_ u -> ( A. x e. RR+ E. y e. RR+ ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) ) )
67	39, 66	syl5 32	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( ( u e. ( TopOpen ` ℂfld ) /\ C e. u ) -> ( A. x e. RR+ E. y e. RR+ ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) ) )
68	67	expdimp 444	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ u e. ( TopOpen ` ℂfld ) ) -> ( C e. u -> ( A. x e. RR+ E. y e. RR+ ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) ) )
69	68	com23 80	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ u e. ( TopOpen ` ℂfld ) ) -> ( A. x e. RR+ E. y e. RR+ ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) -> ( C e. u -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) ) )
70	69	ralrimdva 2812	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( A. x e. RR+ E. y e. RR+ ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) -> A. u e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( C e. u -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) ) )
71	37, 70	impbid 195	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( A. u e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( C e. u -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) <-> A. x e. RR+ E. y e. RR+ ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) )
72	1	ad2antrr 740	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) -> F : A --> CC )
73		ffun 5742	. . . . . . . . . 10 |- ( F : A --> CC -> Fun F )
74	72, 73	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) -> Fun F )
75		inss2 3644	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) C_ ( A \ { B } )
76		difss 3549	. . . . . . . . . . 11 |- ( A \ { B } ) C_ A
77		fdm 5745	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : A --> CC -> dom F = A )
78	72, 77	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) -> dom F = A )
79	76, 78	syl5sseqr 3467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) -> ( A \ { B } ) C_ dom F )
80	75, 79	syl5ss 3429	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) -> ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) C_ dom F )
81		funimass4 5930	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fun F /\ ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) C_ dom F ) -> ( ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) <-> A. z e. ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ( F ` z ) e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) )
82	74, 80, 81	syl2anc 673	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) -> ( ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) <-> A. z e. ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ( F ` z ) e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) )
83	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) /\ z e. ( A \ { B } ) ) -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
84		simplrr 779	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) /\ z e. ( A \ { B } ) ) -> y e. RR+ )
85	84	rpxrd 11365	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) /\ z e. ( A \ { B } ) ) -> y e. RR* )
86	3	ad3antrrr 744	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) /\ z e. ( A \ { B } ) ) -> B e. CC )
87	76, 2	syl5ss 3429	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( A \ { B } ) C_ CC )
88	87	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) -> ( A \ { B } ) C_ CC )
89	88	sselda 3418	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) /\ z e. ( A \ { B } ) ) -> z e. CC )
90		elbl3 21485	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ y e. RR* ) /\ ( B e. CC /\ z e. CC ) ) -> ( z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) <-> ( z ( abs o. - ) B ) < y ) )
91	83, 85, 86, 89, 90	syl22anc 1293	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) /\ z e. ( A \ { B } ) ) -> ( z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) <-> ( z ( abs o. - ) B ) < y ) )
92		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
93	92	cnmetdval 21869	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. CC /\ B e. CC ) -> ( z ( abs o. - ) B ) = ( abs ` ( z - B ) ) )
94	89, 86, 93	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) /\ z e. ( A \ { B } ) ) -> ( z ( abs o. - ) B ) = ( abs ` ( z - B ) ) )
95	94	breq1d 4405	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) /\ z e. ( A \ { B } ) ) -> ( ( z ( abs o. - ) B ) < y <-> ( abs ` ( z - B ) ) < y ) )
96	91, 95	bitrd 261	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) /\ z e. ( A \ { B } ) ) -> ( z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) <-> ( abs ` ( z - B ) ) < y ) )
97		simplrl 778	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) /\ z e. ( A \ { B } ) ) -> x e. RR+ )
98	97	rpxrd 11365	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) /\ z e. ( A \ { B } ) ) -> x e. RR* )
99		simpllr 777	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) /\ z e. ( A \ { B } ) ) -> C e. CC )
100		eldifi 3544	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. ( A \ { B } ) -> z e. A )
101		ffvelrn 6035	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F : A --> CC /\ z e. A ) -> ( F ` z ) e. CC )
102	72, 100, 101	syl2an 485	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) /\ z e. ( A \ { B } ) ) -> ( F ` z ) e. CC )
103		elbl3 21485	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ x e. RR* ) /\ ( C e. CC /\ ( F ` z ) e. CC ) ) -> ( ( F ` z ) e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) <-> ( ( F ` z ) ( abs o. - ) C ) < x ) )
104	83, 98, 99, 102, 103	syl22anc 1293	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) /\ z e. ( A \ { B } ) ) -> ( ( F ` z ) e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) <-> ( ( F ` z ) ( abs o. - ) C ) < x ) )
105	92	cnmetdval 21869	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F ` z ) e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( F ` z ) ( abs o. - ) C ) = ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) )
106	102, 99, 105	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) /\ z e. ( A \ { B } ) ) -> ( ( F ` z ) ( abs o. - ) C ) = ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) )
107	106	breq1d 4405	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) /\ z e. ( A \ { B } ) ) -> ( ( ( F ` z ) ( abs o. - ) C ) < x <-> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) )
108	104, 107	bitrd 261	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) /\ z e. ( A \ { B } ) ) -> ( ( F ` z ) e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) <-> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) )
109	96, 108	imbi12d 327	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) /\ z e. ( A \ { B } ) ) -> ( ( z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) -> ( F ` z ) e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) <-> ( ( abs ` ( z - B ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) )
110	109	ralbidva 2828	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) -> ( A. z e. ( A \ { B } ) ( z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) -> ( F ` z ) e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) <-> A. z e. ( A \ { B } ) ( ( abs ` ( z - B ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) )
111		elin 3608	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) <-> ( z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) /\ z e. ( A \ { B } ) ) )
112		ancom 457	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) /\ z e. ( A \ { B } ) ) <-> ( z e. ( A \ { B } ) /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) )
113	111, 112	bitri 257	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) <-> ( z e. ( A \ { B } ) /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) )
114	113	imbi1i 332	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) -> ( F ` z ) e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) <-> ( ( z e. ( A \ { B } ) /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) -> ( F ` z ) e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) )
115		impexp 453	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z e. ( A \ { B } ) /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) -> ( F ` z ) e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) <-> ( z e. ( A \ { B } ) -> ( z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) -> ( F ` z ) e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) ) )
116	114, 115	bitr2i 258	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. ( A \ { B } ) -> ( z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) -> ( F ` z ) e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) ) <-> ( z e. ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) -> ( F ` z ) e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) )
117	116	ralbii2 2821	. . . . . . . . 9 |- ( A. z e. ( A \ { B } ) ( z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) -> ( F ` z ) e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) ) <-> A. z e. ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ( F ` z ) e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) )
118		impexp 453	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z e. A /\ z =/= B ) -> ( ( abs ` ( z - B ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) <-> ( z e. A -> ( z =/= B -> ( ( abs ` ( z - B ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) ) )
119		eldifsn 4088	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( A \ { B } ) <-> ( z e. A /\ z =/= B ) )
120	119	imbi1i 332	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. ( A \ { B } ) -> ( ( abs ` ( z - B ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) <-> ( ( z e. A /\ z =/= B ) -> ( ( abs ` ( z - B ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) )
121		impexp 453	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) <-> ( z =/= B -> ( ( abs ` ( z - B ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) )
122	121	imbi2i 319	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. A -> ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) <-> ( z e. A -> ( z =/= B -> ( ( abs ` ( z - B ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) ) )
123	118, 120, 122	3bitr4i 285	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. ( A \ { B } ) -> ( ( abs ` ( z - B ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) <-> ( z e. A -> ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) )
124	123	ralbii2 2821	. . . . . . . . 9 |- ( A. z e. ( A \ { B } ) ( ( abs ` ( z - B ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) <-> A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) )
125	110, 117, 124	3bitr3g 295	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) -> ( A. z e. ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ( F ` z ) e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) <-> A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) )
126	82, 125	bitrd 261	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) ) -> ( ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) <-> A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) )
127	126	anassrs 660	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. RR+ ) -> ( ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) <-> A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) )
128	127	rexbidva 2889	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ x e. RR+ ) -> ( E. y e. RR+ ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) <-> E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) )
129	128	ralbidva 2828	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( A. x e. RR+ E. y e. RR+ ( F " ( ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) x ) <-> A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) )
130	71, 129	bitrd 261	. . 3 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( A. u e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( C e. u -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) <-> A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) )
131	130	pm5.32da 653	. 2 |- ( ph -> ( ( C e. CC /\ A. u e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( C e. u -> E. v e. ( TopOpen ` ℂfld ) ( B e. v /\ ( F " ( v i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) ) <-> ( C e. CC /\ A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) ) )
132	5, 131	bitrd 261	1 |- ( ph -> ( C e. ( F lim CC B ) <-> ( C e. CC /\ A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   \ cdif 3387   i^i cin 3389   C_ wss 3390   {csn 3959   class class class wbr 4395   dom cdm 4839   "cima 4842   o. ccom 4843   Fun wfun 5583   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RR*cxr 9692   < clt 9693   - cmin 9880   RR+crp 11325   abscabs 13374   TopOpenctopn 15398   *Metcxmt 19032   ballcbl 19034  ℂ_fldccnfld 19047   lim CC climc 22896

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-fz 11811  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-rest 15399  df-topn 15400  df-topgen 15420  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cnp 20321  df-xms 21413  df-ms 21414  df-limc 22900

This theorem is referenced by:  dveflem  23010  dvferm1  23016  dvferm2  23018  lhop1  23045  ftc1lem6  23072  ulmdvlem3  23436  ftc1cnnc  32080  mullimc  37793  ellimcabssub0  37794  limcdm0  37795  mullimcf  37800  constlimc  37801  idlimc  37803  limcperiod  37805  limcrecl  37806  limcleqr  37822  neglimc  37825  addlimc  37826  0ellimcdiv  37827  limclner  37829  fperdvper  37887  ioodvbdlimc1lem2  37901  ioodvbdlimc1lem2OLD  37903  ioodvbdlimc2lem  37905  ioodvbdlimc2lemOLD  37906