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Theorem ellimc3 21354
Description: Write the epsilon-delta definition of a limit. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ellimc3.f  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
ellimc3.a  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
ellimc3.b  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
ellimc3  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( F lim CC  B )  <-> 
( C  e.  CC  /\ 
A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  y )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  C ) )  <  x ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, y, z    x, C, y, z    ph, x, y, z   
x, F, y, z

Proof of Theorem ellimc3
Dummy variables  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ellimc3.f . . 3  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
2 ellimc3.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
3 ellimc3.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
4 eqid 2443 . . 3  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
51, 2, 3, 4ellimc2 21352 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( F lim CC  B )  <-> 
( C  e.  CC  /\ 
A. u  e.  (
TopOpen ` fld ) ( C  e.  u  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) ) ) )
6 cnxmet 20352 . . . . . . . . . 10  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
76a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC ) )
8 simplr 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  ->  C  e.  CC )
9 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR+ )
10 blcntr 19988 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  C  e.  CC  /\  x  e.  RR+ )  ->  C  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) )
117, 8, 9, 10syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  ->  C  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) )
12 rpxr 10998 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e. 
RR* )
1312adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR* )
144cnfldtopn 20361 . . . . . . . . . . 11  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )
1514blopn 20075 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  C  e.  CC  /\  x  e.  RR* )  ->  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  e.  (
TopOpen ` fld ) )
167, 8, 13, 15syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  e.  (
TopOpen ` fld ) )
17 eleq2 2504 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x )  ->  ( C  e.  u  <->  C  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) ) )
18 sseq2 3378 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x )  ->  ( ( F " ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u  <->  ( F " ( v  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) ) )
1918anbi2d 703 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x )  ->  ( ( B  e.  v  /\  ( F " ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  u )  <->  ( B  e.  v  /\  ( F " ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  ( C
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x ) ) ) )
2019rexbidv 2736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x )  ->  ( E. v  e.  ( TopOpen ` fld )
( B  e.  v  /\  ( F "
( v  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  u )  <->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x ) ) ) )
2117, 20imbi12d 320 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x )  ->  ( ( C  e.  u  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld )
( B  e.  v  /\  ( F "
( v  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  u ) )  <->  ( C  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  ->  E. v  e.  (
TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x ) ) ) ) )
2221rspcv 3069 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  e.  (
TopOpen ` fld )  ->  ( A. u  e.  ( TopOpen ` fld )
( C  e.  u  ->  E. v  e.  (
TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) )  ->  ( C  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  ->  E. v  e.  (
TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x ) ) ) ) )
2316, 22syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A. u  e.  ( TopOpen
` fld
) ( C  e.  u  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) )  ->  ( C  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  ->  E. v  e.  (
TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x ) ) ) ) )
2411, 23mpid 41 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A. u  e.  ( TopOpen
` fld
) ( C  e.  u  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) )  ->  E. v  e.  (
TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x ) ) ) )
2514mopni2 20068 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  v  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  B  e.  v
)  ->  E. y  e.  RR+  ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  C_  v )
266, 25mp3an1 1301 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  B  e.  v
)  ->  E. y  e.  RR+  ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  C_  v )
27 ssrin 3575 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  C_  v  ->  ( ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  i^i  ( A 
\  { B }
) )  C_  (
v  i^i  ( A  \  { B } ) ) )
28 imass2 5204 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B } ) ) 
C_  ( v  i^i  ( A  \  { B } ) )  -> 
( F " (
( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  ( F " ( v  i^i  ( A  \  { B }
) ) ) )
29 sstr2 3363 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F " ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( F " ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  ->  ( ( F " ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x )  ->  ( F " ( ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  i^i  ( A 
\  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) ) )
3027, 28, 293syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  C_  v  ->  ( ( F "
( v  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  ->  ( F " ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) ) )
3130com12 31 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F " ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  ( C
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x )  ->  ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  C_  v  ->  ( F " (
( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  ( C
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x ) ) )
3231reximdv 2827 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F " ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  ( C
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x )  ->  ( E. y  e.  RR+  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  C_  v  ->  E. y  e.  RR+  ( F " ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) ) )
3326, 32syl5com 30 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  B  e.  v
)  ->  ( ( F " ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x )  ->  E. y  e.  RR+  ( F "
( ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  i^i  ( A 
\  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) ) )
3433impr 619 . . . . . . . 8  |-  ( ( v  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  ( B  e.  v  /\  ( F "
( v  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) ) )  ->  E. y  e.  RR+  ( F " ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) )
3534rexlimiva 2836 . . . . . . 7  |-  ( E. v  e.  ( TopOpen ` fld )
( B  e.  v  /\  ( F "
( v  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) )  ->  E. y  e.  RR+  ( F " ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) )
3624, 35syl6 33 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A. u  e.  ( TopOpen
` fld
) ( C  e.  u  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) )  ->  E. y  e.  RR+  ( F " ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) ) )
3736ralrimdva 2806 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( A. u  e.  ( TopOpen ` fld )
( C  e.  u  ->  E. v  e.  (
TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) )  ->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  ( F " ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) ) )
3814mopni2 20068 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  C  e.  u
)  ->  E. x  e.  RR+  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x )  C_  u )
396, 38mp3an1 1301 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  C  e.  u
)  ->  E. x  e.  RR+  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x )  C_  u )
40 r19.29r 2858 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( E. x  e.  RR+  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  C_  u  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  ( F " ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) )  ->  E. x  e.  RR+  (
( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) 
C_  u  /\  E. y  e.  RR+  ( F
" ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) ) )
416a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC ) )
423ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  RR+ )  ->  B  e.  CC )
43 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  RR+ )  ->  y  e.  RR+ )
4443rpxrd 11028 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  RR+ )  ->  y  e.  RR* )
4514blopn 20075 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  B  e.  CC  /\  y  e.  RR* )  ->  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  e.  (
TopOpen ` fld ) )
4641, 42, 44, 45syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  e.  ( TopOpen ` fld ) )
47 blcntr 19988 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  B  e.  CC  /\  y  e.  RR+ )  ->  B  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) )
4841, 42, 43, 47syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  RR+ )  ->  B  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) )
49 eleq2 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  =  ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  ->  ( B  e.  v  <->  B  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) ) )
50 ineq1 3545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  =  ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  ->  ( v  i^i  ( A  \  { B } ) )  =  ( ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  i^i  ( A 
\  { B }
) ) )
5150imaeq2d 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( v  =  ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  ->  ( F " ( v  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  =  ( F " (
( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) )
5251sseq1d 3383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  =  ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  ->  ( ( F " ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x )  <->  ( F "
( ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  i^i  ( A 
\  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) ) )
5349, 52anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  ->  ( ( B  e.  v  /\  ( F " ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  ( C
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x ) )  <->  ( B  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  /\  ( F "
( ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  i^i  ( A 
\  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) ) ) )
5453rspcev 3073 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  ( B  e.  ( B
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  /\  ( F
" ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) ) )  ->  E. v  e.  (
TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x ) ) )
5554expr 615 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  B  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) )  ->  ( ( F " ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x ) ) ) )
5646, 48, 55syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( ( F "
( ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  i^i  ( A 
\  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x ) ) ) )
5756rexlimdva 2841 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. y  e.  RR+  ( F " ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x ) ) ) )
58 sstr2 3363 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F " ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  ( C
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x )  ->  ( ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  C_  u  ->  ( F " (
v  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  u
) )
5958com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  C_  u  ->  ( ( F "
( v  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  ->  ( F " ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) )
6059anim2d 565 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  C_  u  ->  ( ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x ) )  ->  ( B  e.  v  /\  ( F " ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  u )
) )
6160reximdv 2827 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  C_  u  ->  ( E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x ) )  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) )
6257, 61syl9 71 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  ->  (
( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) 
C_  u  ->  ( E. y  e.  RR+  ( F " ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) ) )
6362impd 431 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  ->  (
( ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x )  C_  u  /\  E. y  e.  RR+  ( F " ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) )  ->  E. v  e.  ( TopOpen
` fld
) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) )
6463rexlimdva 2841 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( E. x  e.  RR+  (
( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) 
C_  u  /\  E. y  e.  RR+  ( F
" ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) )  ->  E. v  e.  ( TopOpen
` fld
) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) )
6540, 64syl5 32 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( E. x  e.  RR+  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  C_  u  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  ( F " ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) )  ->  E. v  e.  ( TopOpen
` fld
) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) )
6665expd 436 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( E. x  e.  RR+  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  C_  u  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  ( F " ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) ) )
6739, 66syl5 32 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  C  e.  u
)  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  ( F "
( ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  i^i  ( A 
\  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) ) )
6867expdimp 437 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  u  e.  ( TopOpen ` fld ) )  ->  ( C  e.  u  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  ( F " ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) ) )
6968com23 78 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  u  e.  ( TopOpen ` fld ) )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  ( F "
( ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  i^i  ( A 
\  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  ->  ( C  e.  u  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld )
( B  e.  v  /\  ( F "
( v  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  u ) ) ) )
7069ralrimdva 2806 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  ( F "
( ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  i^i  ( A 
\  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  ->  A. u  e.  ( TopOpen ` fld ) ( C  e.  u  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) ) )
7137, 70impbid 191 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( A. u  e.  ( TopOpen ` fld )
( C  e.  u  ->  E. v  e.  (
TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) )  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  ( F "
( ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  i^i  ( A 
\  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) ) )
721ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  (
x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ ) )  ->  F : A --> CC )
73 ffun 5561 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : A --> CC  ->  Fun 
F )
7472, 73syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  (
x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ ) )  ->  Fun  F )
75 inss2 3571 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) )  C_  ( A  \  { B }
)
76 difss 3483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
\  { B }
)  C_  A
77 fdm 5563 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : A --> CC  ->  dom 
F  =  A )
7872, 77syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  (
x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ ) )  ->  dom  F  =  A )
7976, 78syl5sseqr 3405 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  (
x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ ) )  -> 
( A  \  { B } )  C_  dom  F )
8075, 79syl5ss 3367 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  (
x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ ) )  -> 
( ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  i^i  ( A 
\  { B }
) )  C_  dom  F )
81 funimass4 5742 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  F  /\  (
( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B } ) ) 
C_  dom  F )  ->  ( ( F "
( ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  i^i  ( A 
\  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  <->  A. z  e.  ( ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  i^i  ( A 
\  { B }
) ) ( F `
 z )  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) ) )
8274, 80, 81syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  (
x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ ) )  -> 
( ( F "
( ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  i^i  ( A 
\  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  <->  A. z  e.  ( ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  i^i  ( A 
\  { B }
) ) ( F `
 z )  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) ) )
836a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC ) )
84 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
y  e.  RR+ )
8584rpxrd 11028 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
y  e.  RR* )
863ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  ->  B  e.  CC )
8776, 2syl5ss 3367 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A  \  { B } )  C_  CC )
8887ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  (
x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ ) )  -> 
( A  \  { B } )  C_  CC )
8988sselda 3356 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
z  e.  CC )
90 elbl3 19967 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  y  e.  RR* )  /\  ( B  e.  CC  /\  z  e.  CC ) )  -> 
( z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  <->  ( z
( abs  o.  -  ) B )  <  y
) )
9183, 85, 86, 89, 90syl22anc 1219 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  <->  ( z
( abs  o.  -  ) B )  <  y
) )
92 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
9392cnmetdval 20350 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( z ( abs 
o.  -  ) B
)  =  ( abs `  ( z  -  B
) ) )
9489, 86, 93syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( z ( abs 
o.  -  ) B
)  =  ( abs `  ( z  -  B
) ) )
9594breq1d 4302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( ( z ( abs  o.  -  ) B )  <  y  <->  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  y ) )
9691, 95bitrd 253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  <->  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  y
) )
97 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  ->  x  e.  RR+ )
9897rpxrd 11028 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  ->  x  e.  RR* )
99 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  ->  C  e.  CC )
100 eldifi 3478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( A  \  { B } )  -> 
z  e.  A )
101 ffvelrn 5841 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : A --> CC  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z
)  e.  CC )
10272, 100, 101syl2an 477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( F `  z
)  e.  CC )
103 elbl3 19967 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  x  e.  RR* )  /\  ( C  e.  CC  /\  ( F `
 z )  e.  CC ) )  -> 
( ( F `  z )  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  <->  ( ( F `  z )
( abs  o.  -  ) C )  <  x
) )
10483, 98, 99, 102, 103syl22anc 1219 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( ( F `  z )  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  <->  ( ( F `  z )
( abs  o.  -  ) C )  <  x
) )
10592cnmetdval 20350 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( F `  z ) ( abs 
o.  -  ) C
)  =  ( abs `  ( ( F `  z )  -  C
) ) )
106102, 99, 105syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( ( F `  z ) ( abs 
o.  -  ) C
)  =  ( abs `  ( ( F `  z )  -  C
) ) )
107106breq1d 4302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( ( ( F `
 z ) ( abs  o.  -  ) C )  <  x  <->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  C ) )  <  x ) )
108104, 107bitrd 253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( ( F `  z )  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  <->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  C
) )  <  x
) )
10996, 108imbi12d 320 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( ( z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  ->  ( F `  z )  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) )  <->  ( ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
y  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  C
) )  <  x
) ) )
110109ralbidva 2731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  (
x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ ) )  -> 
( A. z  e.  ( A  \  { B } ) ( z  e.  ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  ->  ( F `  z )  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) )  <->  A. z  e.  ( A  \  { B } ) ( ( abs `  ( z  -  B ) )  <  y  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  C ) )  < 
x ) ) )
111 elin 3539 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) )  <->  ( z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) ) )
112 ancom 450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  <->  ( z  e.  ( A  \  { B } )  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) ) )
113111, 112bitri 249 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) )  <->  ( z  e.  ( A  \  { B } )  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) ) )
114113imbi1i 325 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) )  ->  ( F `  z )  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) )  <->  ( ( z  e.  ( A  \  { B } )  /\  z  e.  ( B
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y ) )  ->  ( F `  z )  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) ) )
115 impexp 446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  ( A  \  { B } )  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) )  ->  ( F `  z )  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) )  <->  ( z  e.  ( A  \  { B } )  ->  (
z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  ->  ( F `  z )  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) ) ) )
116114, 115bitr2i 250 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  ( A 
\  { B }
)  ->  ( z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  ->  ( F `  z )  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) ) )  <-> 
( z  e.  ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B } ) )  ->  ( F `  z )  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) ) )
117116ralbii2 2743 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  ( A  \  { B } ) ( z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  ->  ( F `  z )  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) )  <->  A. z  e.  ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B } ) ) ( F `  z
)  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) )
118 impexp 446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  A  /\  z  =/=  B
)  ->  ( ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
y  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  C
) )  <  x
) )  <->  ( z  e.  A  ->  ( z  =/=  B  ->  (
( abs `  (
z  -  B ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  C ) )  <  x ) ) ) )
119 eldifsn 4000 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( A  \  { B } )  <->  ( z  e.  A  /\  z  =/=  B ) )
120119imbi1i 325 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  ( A 
\  { B }
)  ->  ( ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
y  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  C
) )  <  x
) )  <->  ( (
z  e.  A  /\  z  =/=  B )  -> 
( ( abs `  (
z  -  B ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  C ) )  <  x ) ) )
121 impexp 446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  y )  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  C ) )  <  x )  <-> 
( z  =/=  B  ->  ( ( abs `  (
z  -  B ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  C ) )  <  x ) ) )
122121imbi2i 312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  A  -> 
( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  y
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  C
) )  <  x
) )  <->  ( z  e.  A  ->  ( z  =/=  B  ->  (
( abs `  (
z  -  B ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  C ) )  <  x ) ) ) )
123118, 120, 1223bitr4i 277 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  ( A 
\  { B }
)  ->  ( ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
y  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  C
) )  <  x
) )  <->  ( z  e.  A  ->  ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  y )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  C ) )  <  x ) ) )
124123ralbii2 2743 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  ( A  \  { B } ) ( ( abs `  (
z  -  B ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  C ) )  <  x )  <->  A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  y
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  C
) )  <  x
) )
125110, 117, 1243bitr3g 287 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  (
x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ ) )  -> 
( A. z  e.  ( ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  i^i  ( A 
\  { B }
) ) ( F `
 z )  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  <->  A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  y
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  C
) )  <  x
) ) )
12682, 125bitrd 253 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  (
x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ ) )  -> 
( ( F "
( ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  i^i  ( A 
\  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  <->  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  y )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  C ) )  <  x ) ) )
127126anassrs 648 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( ( F "
( ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  i^i  ( A 
\  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  <->  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  y )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  C ) )  <  x ) ) )
128127rexbidva 2732 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. y  e.  RR+  ( F " ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  <->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  C ) )  < 
x ) ) )
129128ralbidva 2731 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  ( F "
( ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  i^i  ( A 
\  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  y
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  C
) )  <  x
) ) )
13071, 129bitrd 253 . . 3  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( A. u  e.  ( TopOpen ` fld )
( C  e.  u  ->  E. v  e.  (
TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) )  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  C ) )  < 
x ) ) )
131130pm5.32da 641 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( C  e.  CC  /\  A. u  e.  ( TopOpen ` fld ) ( C  e.  u  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) )  <->  ( C  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  y
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  C
) )  <  x
) ) ) )
1325, 131bitrd 253 1  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( F lim CC  B )  <-> 
( C  e.  CC  /\ 
A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  y )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  C ) )  <  x ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606   A.wral 2715   E.wrex 2716    \ cdif 3325    i^i cin 3327    C_ wss 3328   {csn 3877   class class class wbr 4292   dom cdm 4840   "cima 4843    o. ccom 4844   Fun wfun 5412   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   CCcc 9280   RR*cxr 9417    < clt 9418    - cmin 9595   RR+crp 10991   abscabs 12723   TopOpenctopn 14360   *Metcxmt 17801   ballcbl 17803  ℂfldccnfld 17818   lim CC climc 21337
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-pm 7217  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fi 7661  df-sup 7691  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-q 10954  df-rp 10992  df-xneg 11089  df-xadd 11090  df-xmul 11091  df-fz 11438  df-seq 11807  df-exp 11866  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-starv 14253  df-tset 14257  df-ple 14258  df-ds 14260  df-unif 14261  df-rest 14361  df-topn 14362  df-topgen 14382  df-psmet 17809  df-xmet 17810  df-met 17811  df-bl 17812  df-mopn 17813  df-cnfld 17819  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-topsp 18507  df-cnp 18832  df-xms 19895  df-ms 19896  df-limc 21341
This theorem is referenced by:  dveflem  21451  dvferm1  21457  dvferm2  21459  lhop1  21486  ftc1lem6  21513  ulmdvlem3  21867  ftc1cnnc  28466
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