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Theorem ellimc3 22409
Description: Write the epsilon-delta definition of a limit. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ellimc3.f  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
ellimc3.a  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
ellimc3.b  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
ellimc3  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( F lim CC  B )  <-> 
( C  e.  CC  /\ 
A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  y )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  C ) )  <  x ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, y, z    x, C, y, z    ph, x, y, z   
x, F, y, z

Proof of Theorem ellimc3
Dummy variables  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ellimc3.f . . 3  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
2 ellimc3.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
3 ellimc3.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
4 eqid 2457 . . 3  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
51, 2, 3, 4ellimc2 22407 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( F lim CC  B )  <-> 
( C  e.  CC  /\ 
A. u  e.  (
TopOpen ` fld ) ( C  e.  u  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) ) ) )
6 cnxmet 21406 . . . . . . . . . 10  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
76a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC ) )
8 simplr 755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  ->  C  e.  CC )
9 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR+ )
10 blcntr 21042 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  C  e.  CC  /\  x  e.  RR+ )  ->  C  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) )
117, 8, 9, 10syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  ->  C  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) )
12 rpxr 11252 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e. 
RR* )
1312adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR* )
144cnfldtopn 21415 . . . . . . . . . . 11  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )
1514blopn 21129 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  C  e.  CC  /\  x  e.  RR* )  ->  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  e.  (
TopOpen ` fld ) )
167, 8, 13, 15syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  e.  (
TopOpen ` fld ) )
17 eleq2 2530 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x )  ->  ( C  e.  u  <->  C  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) ) )
18 sseq2 3521 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x )  ->  ( ( F " ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u  <->  ( F " ( v  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) ) )
1918anbi2d 703 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x )  ->  ( ( B  e.  v  /\  ( F " ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  u )  <->  ( B  e.  v  /\  ( F " ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  ( C
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x ) ) ) )
2019rexbidv 2968 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x )  ->  ( E. v  e.  ( TopOpen ` fld )
( B  e.  v  /\  ( F "
( v  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  u )  <->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x ) ) ) )
2117, 20imbi12d 320 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x )  ->  ( ( C  e.  u  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld )
( B  e.  v  /\  ( F "
( v  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  u ) )  <->  ( C  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  ->  E. v  e.  (
TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x ) ) ) ) )
2221rspcv 3206 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  e.  (
TopOpen ` fld )  ->  ( A. u  e.  ( TopOpen ` fld )
( C  e.  u  ->  E. v  e.  (
TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) )  ->  ( C  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  ->  E. v  e.  (
TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x ) ) ) ) )
2316, 22syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A. u  e.  ( TopOpen
` fld
) ( C  e.  u  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) )  ->  ( C  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  ->  E. v  e.  (
TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x ) ) ) ) )
2411, 23mpid 41 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A. u  e.  ( TopOpen
` fld
) ( C  e.  u  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) )  ->  E. v  e.  (
TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x ) ) ) )
2514mopni2 21122 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  v  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  B  e.  v
)  ->  E. y  e.  RR+  ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  C_  v )
266, 25mp3an1 1311 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  B  e.  v
)  ->  E. y  e.  RR+  ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  C_  v )
27 ssrin 3719 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  C_  v  ->  ( ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  i^i  ( A 
\  { B }
) )  C_  (
v  i^i  ( A  \  { B } ) ) )
28 imass2 5382 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B } ) ) 
C_  ( v  i^i  ( A  \  { B } ) )  -> 
( F " (
( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  ( F " ( v  i^i  ( A  \  { B }
) ) ) )
29 sstr2 3506 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F " ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( F " ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  ->  ( ( F " ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x )  ->  ( F " ( ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  i^i  ( A 
\  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) ) )
3027, 28, 293syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  C_  v  ->  ( ( F "
( v  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  ->  ( F " ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) ) )
3130com12 31 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F " ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  ( C
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x )  ->  ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  C_  v  ->  ( F " (
( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  ( C
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x ) ) )
3231reximdv 2931 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F " ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  ( C
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x )  ->  ( E. y  e.  RR+  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  C_  v  ->  E. y  e.  RR+  ( F " ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) ) )
3326, 32syl5com 30 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  B  e.  v
)  ->  ( ( F " ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x )  ->  E. y  e.  RR+  ( F "
( ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  i^i  ( A 
\  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) ) )
3433impr 619 . . . . . . . 8  |-  ( ( v  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  ( B  e.  v  /\  ( F "
( v  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) ) )  ->  E. y  e.  RR+  ( F " ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) )
3534rexlimiva 2945 . . . . . . 7  |-  ( E. v  e.  ( TopOpen ` fld )
( B  e.  v  /\  ( F "
( v  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) )  ->  E. y  e.  RR+  ( F " ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) )
3624, 35syl6 33 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A. u  e.  ( TopOpen
` fld
) ( C  e.  u  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) )  ->  E. y  e.  RR+  ( F " ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) ) )
3736ralrimdva 2875 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( A. u  e.  ( TopOpen ` fld )
( C  e.  u  ->  E. v  e.  (
TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) )  ->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  ( F " ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) ) )
3814mopni2 21122 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  C  e.  u
)  ->  E. x  e.  RR+  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x )  C_  u )
396, 38mp3an1 1311 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  C  e.  u
)  ->  E. x  e.  RR+  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x )  C_  u )
40 r19.29r 2993 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( E. x  e.  RR+  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  C_  u  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  ( F " ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) )  ->  E. x  e.  RR+  (
( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) 
C_  u  /\  E. y  e.  RR+  ( F
" ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) ) )
416a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC ) )
423ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  RR+ )  ->  B  e.  CC )
43 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  RR+ )  ->  y  e.  RR+ )
4443rpxrd 11282 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  RR+ )  ->  y  e.  RR* )
4514blopn 21129 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  B  e.  CC  /\  y  e.  RR* )  ->  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  e.  (
TopOpen ` fld ) )
4641, 42, 44, 45syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  e.  ( TopOpen ` fld ) )
47 blcntr 21042 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  B  e.  CC  /\  y  e.  RR+ )  ->  B  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) )
4841, 42, 43, 47syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  RR+ )  ->  B  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) )
49 eleq2 2530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  =  ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  ->  ( B  e.  v  <->  B  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) ) )
50 ineq1 3689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  =  ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  ->  ( v  i^i  ( A  \  { B } ) )  =  ( ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  i^i  ( A 
\  { B }
) ) )
5150imaeq2d 5347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( v  =  ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  ->  ( F " ( v  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  =  ( F " (
( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) )
5251sseq1d 3526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  =  ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  ->  ( ( F " ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x )  <->  ( F "
( ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  i^i  ( A 
\  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) ) )
5349, 52anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  ->  ( ( B  e.  v  /\  ( F " ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  ( C
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x ) )  <->  ( B  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  /\  ( F "
( ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  i^i  ( A 
\  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) ) ) )
5453rspcev 3210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  ( B  e.  ( B
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  /\  ( F
" ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) ) )  ->  E. v  e.  (
TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x ) ) )
5554expr 615 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  B  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) )  ->  ( ( F " ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x ) ) ) )
5646, 48, 55syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( ( F "
( ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  i^i  ( A 
\  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x ) ) ) )
5756rexlimdva 2949 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. y  e.  RR+  ( F " ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x ) ) ) )
58 sstr2 3506 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F " ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  ( C
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x )  ->  ( ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  C_  u  ->  ( F " (
v  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  u
) )
5958com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  C_  u  ->  ( ( F "
( v  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  ->  ( F " ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) )
6059anim2d 565 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  C_  u  ->  ( ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x ) )  ->  ( B  e.  v  /\  ( F " ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  u )
) )
6160reximdv 2931 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  C_  u  ->  ( E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x ) )  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) )
6257, 61syl9 71 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  ->  (
( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) 
C_  u  ->  ( E. y  e.  RR+  ( F " ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) ) )
6362impd 431 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  ->  (
( ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) x )  C_  u  /\  E. y  e.  RR+  ( F " ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) )  ->  E. v  e.  ( TopOpen
` fld
) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) )
6463rexlimdva 2949 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( E. x  e.  RR+  (
( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) 
C_  u  /\  E. y  e.  RR+  ( F
" ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) )  ->  E. v  e.  ( TopOpen
` fld
) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) )
6540, 64syl5 32 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( E. x  e.  RR+  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  C_  u  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  ( F " ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) )  ->  E. v  e.  ( TopOpen
` fld
) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) )
6665expd 436 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( E. x  e.  RR+  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  C_  u  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  ( F " ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) ) )
6739, 66syl5 32 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  C  e.  u
)  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  ( F "
( ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  i^i  ( A 
\  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) ) )
6867expdimp 437 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  u  e.  ( TopOpen ` fld ) )  ->  ( C  e.  u  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  ( F " ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) ) )
6968com23 78 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  u  e.  ( TopOpen ` fld ) )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  ( F "
( ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  i^i  ( A 
\  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  ->  ( C  e.  u  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld )
( B  e.  v  /\  ( F "
( v  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  u ) ) ) )
7069ralrimdva 2875 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  ( F "
( ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  i^i  ( A 
\  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  ->  A. u  e.  ( TopOpen ` fld ) ( C  e.  u  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) ) )
7137, 70impbid 191 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( A. u  e.  ( TopOpen ` fld )
( C  e.  u  ->  E. v  e.  (
TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) )  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  ( F "
( ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  i^i  ( A 
\  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) ) )
721ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  (
x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ ) )  ->  F : A --> CC )
73 ffun 5739 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : A --> CC  ->  Fun 
F )
7472, 73syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  (
x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ ) )  ->  Fun  F )
75 inss2 3715 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) )  C_  ( A  \  { B }
)
76 difss 3627 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
\  { B }
)  C_  A
77 fdm 5741 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : A --> CC  ->  dom 
F  =  A )
7872, 77syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  (
x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ ) )  ->  dom  F  =  A )
7976, 78syl5sseqr 3548 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  (
x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ ) )  -> 
( A  \  { B } )  C_  dom  F )
8075, 79syl5ss 3510 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  (
x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ ) )  -> 
( ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  i^i  ( A 
\  { B }
) )  C_  dom  F )
81 funimass4 5924 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  F  /\  (
( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B } ) ) 
C_  dom  F )  ->  ( ( F "
( ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  i^i  ( A 
\  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  <->  A. z  e.  ( ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  i^i  ( A 
\  { B }
) ) ( F `
 z )  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) ) )
8274, 80, 81syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  (
x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ ) )  -> 
( ( F "
( ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  i^i  ( A 
\  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  <->  A. z  e.  ( ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  i^i  ( A 
\  { B }
) ) ( F `
 z )  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) ) )
836a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC ) )
84 simplrr 762 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
y  e.  RR+ )
8584rpxrd 11282 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
y  e.  RR* )
863ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  ->  B  e.  CC )
8776, 2syl5ss 3510 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A  \  { B } )  C_  CC )
8887ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  (
x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ ) )  -> 
( A  \  { B } )  C_  CC )
8988sselda 3499 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
z  e.  CC )
90 elbl3 21021 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  y  e.  RR* )  /\  ( B  e.  CC  /\  z  e.  CC ) )  -> 
( z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  <->  ( z
( abs  o.  -  ) B )  <  y
) )
9183, 85, 86, 89, 90syl22anc 1229 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  <->  ( z
( abs  o.  -  ) B )  <  y
) )
92 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
9392cnmetdval 21404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( z ( abs 
o.  -  ) B
)  =  ( abs `  ( z  -  B
) ) )
9489, 86, 93syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( z ( abs 
o.  -  ) B
)  =  ( abs `  ( z  -  B
) ) )
9594breq1d 4466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( ( z ( abs  o.  -  ) B )  <  y  <->  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  y ) )
9691, 95bitrd 253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  <->  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  y
) )
97 simplrl 761 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  ->  x  e.  RR+ )
9897rpxrd 11282 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  ->  x  e.  RR* )
99 simpllr 760 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  ->  C  e.  CC )
100 eldifi 3622 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( A  \  { B } )  -> 
z  e.  A )
101 ffvelrn 6030 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : A --> CC  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z
)  e.  CC )
10272, 100, 101syl2an 477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( F `  z
)  e.  CC )
103 elbl3 21021 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  x  e.  RR* )  /\  ( C  e.  CC  /\  ( F `
 z )  e.  CC ) )  -> 
( ( F `  z )  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  <->  ( ( F `  z )
( abs  o.  -  ) C )  <  x
) )
10483, 98, 99, 102, 103syl22anc 1229 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( ( F `  z )  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  <->  ( ( F `  z )
( abs  o.  -  ) C )  <  x
) )
10592cnmetdval 21404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( F `  z ) ( abs 
o.  -  ) C
)  =  ( abs `  ( ( F `  z )  -  C
) ) )
106102, 99, 105syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( ( F `  z ) ( abs 
o.  -  ) C
)  =  ( abs `  ( ( F `  z )  -  C
) ) )
107106breq1d 4466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( ( ( F `
 z ) ( abs  o.  -  ) C )  <  x  <->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  C ) )  <  x ) )
108104, 107bitrd 253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( ( F `  z )  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  <->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  C
) )  <  x
) )
10996, 108imbi12d 320 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( ( z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  ->  ( F `  z )  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) )  <->  ( ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
y  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  C
) )  <  x
) ) )
110109ralbidva 2893 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  (
x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ ) )  -> 
( A. z  e.  ( A  \  { B } ) ( z  e.  ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  ->  ( F `  z )  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) )  <->  A. z  e.  ( A  \  { B } ) ( ( abs `  ( z  -  B ) )  <  y  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  C ) )  < 
x ) ) )
111 elin 3683 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) )  <->  ( z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) ) )
112 ancom 450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  <->  ( z  e.  ( A  \  { B } )  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) ) )
113111, 112bitri 249 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) )  <->  ( z  e.  ( A  \  { B } )  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) ) )
114113imbi1i 325 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) )  ->  ( F `  z )  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) )  <->  ( ( z  e.  ( A  \  { B } )  /\  z  e.  ( B
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y ) )  ->  ( F `  z )  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) ) )
115 impexp 446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  ( A  \  { B } )  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) )  ->  ( F `  z )  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) )  <->  ( z  e.  ( A  \  { B } )  ->  (
z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  ->  ( F `  z )  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) ) ) )
116114, 115bitr2i 250 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  ( A 
\  { B }
)  ->  ( z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  ->  ( F `  z )  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) ) )  <-> 
( z  e.  ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B } ) )  ->  ( F `  z )  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) ) )
117116ralbii2 2886 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  ( A  \  { B } ) ( z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  ->  ( F `  z )  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) )  <->  A. z  e.  ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B } ) ) ( F `  z
)  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x ) )
118 impexp 446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  A  /\  z  =/=  B
)  ->  ( ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
y  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  C
) )  <  x
) )  <->  ( z  e.  A  ->  ( z  =/=  B  ->  (
( abs `  (
z  -  B ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  C ) )  <  x ) ) ) )
119 eldifsn 4157 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( A  \  { B } )  <->  ( z  e.  A  /\  z  =/=  B ) )
120119imbi1i 325 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  ( A 
\  { B }
)  ->  ( ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
y  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  C
) )  <  x
) )  <->  ( (
z  e.  A  /\  z  =/=  B )  -> 
( ( abs `  (
z  -  B ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  C ) )  <  x ) ) )
121 impexp 446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  y )  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  C ) )  <  x )  <-> 
( z  =/=  B  ->  ( ( abs `  (
z  -  B ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  C ) )  <  x ) ) )
122121imbi2i 312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  A  -> 
( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  y
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  C
) )  <  x
) )  <->  ( z  e.  A  ->  ( z  =/=  B  ->  (
( abs `  (
z  -  B ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  C ) )  <  x ) ) ) )
123118, 120, 1223bitr4i 277 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  ( A 
\  { B }
)  ->  ( ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
y  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  C
) )  <  x
) )  <->  ( z  e.  A  ->  ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  y )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  C ) )  <  x ) ) )
124123ralbii2 2886 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  ( A  \  { B } ) ( ( abs `  (
z  -  B ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  C ) )  <  x )  <->  A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  y
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  C
) )  <  x
) )
125110, 117, 1243bitr3g 287 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  (
x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ ) )  -> 
( A. z  e.  ( ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  i^i  ( A 
\  { B }
) ) ( F `
 z )  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  <->  A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  y
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  C
) )  <  x
) ) )
12682, 125bitrd 253 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  (
x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ ) )  -> 
( ( F "
( ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  i^i  ( A 
\  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  <->  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  y )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  C ) )  <  x ) ) )
127126anassrs 648 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( ( F "
( ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  i^i  ( A 
\  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  <->  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  y )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  C ) )  <  x ) ) )
128127rexbidva 2965 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. y  e.  RR+  ( F " ( ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  <->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  C ) )  < 
x ) ) )
129128ralbidva 2893 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  ( F "
( ( B (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  i^i  ( A 
\  { B }
) ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) x )  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  y
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  C
) )  <  x
) ) )
13071, 129bitrd 253 . . 3  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( A. u  e.  ( TopOpen ` fld )
( C  e.  u  ->  E. v  e.  (
TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) )  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  C ) )  < 
x ) ) )
131130pm5.32da 641 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( C  e.  CC  /\  A. u  e.  ( TopOpen ` fld ) ( C  e.  u  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) )  <->  ( C  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  y
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  C
) )  <  x
) ) ) )
1325, 131bitrd 253 1  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( F lim CC  B )  <-> 
( C  e.  CC  /\ 
A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  y )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  C ) )  <  x ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808    \ cdif 3468    i^i cin 3470    C_ wss 3471   {csn 4032   class class class wbr 4456   dom cdm 5008   "cima 5011    o. ccom 5012   Fun wfun 5588   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RR*cxr 9644    < clt 9645    - cmin 9824   RR+crp 11245   abscabs 13079   TopOpenctopn 14839   *Metcxmt 18530   ballcbl 18532  ℂfldccnfld 18547   lim CC climc 22392
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fi 7889  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-fz 11698  df-seq 12111  df-exp 12170  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-rest 14840  df-topn 14841  df-topgen 14861  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cnp 19856  df-xms 20949  df-ms 20950  df-limc 22396
This theorem is referenced by:  dveflem  22506  dvferm1  22512  dvferm2  22514  lhop1  22541  ftc1lem6  22568  ulmdvlem3  22923  ftc1cnnc  30294  mullimc  31825  ellimcabssub0  31826  limcdm0  31827  mullimcf  31832  constlimc  31833  idlimc  31835  limcperiod  31837  limcrecl  31838  limcleqr  31853  neglimc  31856  addlimc  31857  0ellimcdiv  31858  limclner  31860  fperdvper  31918  ioodvbdlimc1lem2  31932  ioodvbdlimc2lem  31934
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