Theorem ellimc2 21194

Description: Write the definition of a limit directly in terms of open sets of the topology on the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
limccl.f	|- ( ph -> F : A --> CC )
limccl.a	|- ( ph -> A C_ CC )
limccl.b	|- ( ph -> B e. CC )
ellimc2.k	|- K = ( TopOpen ` ℂfld )

Assertion

Ref	Expression
ellimc2	|- ( ph -> ( C e. ( F lim CC B ) <-> ( C e. CC /\ A. u e. K ( C e. u -> E. w e. K ( B e. w /\ ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   w, u, A   u, B, w   ph, u, w   u, C, w   u, F, w   u, K, w

Proof of Theorem ellimc2

Dummy variables z v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limccl 21192	. . . 4 |- ( F lim CC B ) C_ CC
2	1	sseli 3340	. . 3 |- ( C e. ( F lim CC B ) -> C e. CC )
3	2	pm4.71ri 626	. 2 |- ( C e. ( F lim CC B ) <-> ( C e. CC /\ C e. ( F lim CC B ) ) )
4		eqid 2433	. . . . . 6 |- ( K ↾t ( A u. { B } ) ) = ( K ↾t ( A u. { B } ) )
5		ellimc2.k	. . . . . 6 |- K = ( TopOpen ` ℂfld )
6		eqid 2433	. . . . . 6 |- ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) = ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) )
7		limccl.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F : A --> CC )
8		limccl.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A C_ CC )
9		limccl.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. CC )
10	4, 5, 6, 7, 8, 9	ellimc 21190	. . . . 5 |- ( ph -> ( C e. ( F lim CC B ) <-> ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) ) )
11	10	adantr 462	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( C e. ( F lim CC B ) <-> ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) ) )
12	5	cnfldtopon 20204	. . . . . . 7 |- K e. (TopOn ` CC )
13	9	snssd 4006	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { B } C_ CC )
14	8, 13	unssd 3520	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A u. { B } ) C_ CC )
15		resttopon 18607	. . . . . . 7 |- ( ( K e. (TopOn ` CC ) /\ ( A u. { B } ) C_ CC ) -> ( K ↾t ( A u. { B } ) ) e. (TopOn ` ( A u. { B } ) ) )
16	12, 14, 15	sylancr 656	. . . . . 6 |- ( ph -> ( K ↾t ( A u. { B } ) ) e. (TopOn ` ( A u. { B } ) ) )
17	16	adantr 462	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( K ↾t ( A u. { B } ) ) e. (TopOn ` ( A u. { B } ) ) )
18	12	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> K e. (TopOn ` CC ) )
19		ssun2 3508	. . . . . . 7 |- { B } C_ ( A u. { B } )
20		snssg 3995	. . . . . . . 8 |- ( B e. CC -> ( B e. ( A u. { B } ) <-> { B } C_ ( A u. { B } ) ) )
21	9, 20	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( B e. ( A u. { B } ) <-> { B } C_ ( A u. { B } ) ) )
22	19, 21	mpbiri 233	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. ( A u. { B } ) )
23	22	adantr 462	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> B e. ( A u. { B } ) )
24		elun 3485	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( A u. { B } ) <-> ( z e. A \/ z e. { B } ) )
25		elsn 3879	. . . . . . . . 9 |- ( z e. { B } <-> z = B )
26	25	orbi2i 516	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. A \/ z e. { B } ) <-> ( z e. A \/ z = B ) )
27	24, 26	bitri 249	. . . . . . 7 |- ( z e. ( A u. { B } ) <-> ( z e. A \/ z = B ) )
28		simpllr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( z e. A \/ z = B ) ) /\ z = B ) -> C e. CC )
29		pm5.61 705	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. A \/ z = B ) /\ -. z = B ) <-> ( z e. A /\ -. z = B ) )
30	7	ffvelrnda 5831	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( F ` z ) e. CC )
31	30	ad2ant2r 739	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( z e. A /\ -. z = B ) ) -> ( F ` z ) e. CC )
32	29, 31	sylan2b 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( ( z e. A \/ z = B ) /\ -. z = B ) ) -> ( F ` z ) e. CC )
33	32	anassrs 641	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( z e. A \/ z = B ) ) /\ -. z = B ) -> ( F ` z ) e. CC )
34	28, 33	ifclda 3809	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( z e. A \/ z = B ) ) -> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. CC )
35	27, 34	sylan2b 472	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ z e. ( A u. { B } ) ) -> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. CC )
36	35, 6	fmptd 5855	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) : ( A u. { B } ) --> CC )
37		iscnp 18683	. . . . . 6 |- ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) e. (TopOn ` ( A u. { B } ) ) /\ K e. (TopOn ` CC ) /\ B e. ( A u. { B } ) ) -> ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) <-> ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) : ( A u. { B } ) --> CC /\ A. u e. K ( ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) ` B ) e. u -> E. v e. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) ) ) ) )
38	37	baibd 893	. . . . 5 |- ( ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) e. (TopOn ` ( A u. { B } ) ) /\ K e. (TopOn ` CC ) /\ B e. ( A u. { B } ) ) /\ ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) : ( A u. { B } ) --> CC ) -> ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) <-> A. u e. K ( ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) ` B ) e. u -> E. v e. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) ) ) )
39	17, 18, 23, 36, 38	syl31anc 1214	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) <-> A. u e. K ( ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) ` B ) e. u -> E. v e. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) ) ) )
40		iftrue 3785	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = B -> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) = C )
41	40, 6	fvmptg 5760	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. ( A u. { B } ) /\ C e. CC ) -> ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) ` B ) = C )
42	22, 41	sylan 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) ` B ) = C )
43	42	eleq1d 2499	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) ` B ) e. u <-> C e. u ) )
44	43	imbi1d 317	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( ( ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) ` B ) e. u -> E. v e. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) ) <-> ( C e. u -> E. v e. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) ) ) )
45	44	adantr 462	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ u e. K ) -> ( ( ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) ` B ) e. u -> E. v e. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) ) <-> ( C e. u -> E. v e. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) ) ) )
46	5	cnfldtop 20205	. . . . . . . . . . 11 |- K e. Top
47		cnex 9351	. . . . . . . . . . . . . 14 |- CC e. _V
48	47	ssex 4424	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A u. { B } ) C_ CC -> ( A u. { B } ) e. _V )
49	14, 48	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A u. { B } ) e. _V )
50	49	ad2antrr 718	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) -> ( A u. { B } ) e. _V )
51		restval 14348	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. Top /\ ( A u. { B } ) e. _V ) -> ( K ↾t ( A u. { B } ) ) = ran ( w e. K |-> ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) )
52	46, 50, 51	sylancr 656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) -> ( K ↾t ( A u. { B } ) ) = ran ( w e. K |-> ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) )
53	52	rexeqdv 2914	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) -> ( E. v e. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) <-> E. v e. ran ( w e. K |-> ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) ) )
54		vex 2965	. . . . . . . . . . . 12 |- w e. _V
55	54	inex1 4421	. . . . . . . . . . 11 |- ( w i^i ( A u. { B } ) ) e. _V
56	55	rgenw 2773	. . . . . . . . . 10 |- A. w e. K ( w i^i ( A u. { B } ) ) e. _V
57		eqid 2433	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. K |-> ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) = ( w e. K |-> ( w i^i ( A u. { B } ) ) )
58		eleq2 2494	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = ( w i^i ( A u. { B } ) ) -> ( B e. v <-> B e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) )
59		imaeq2 5153	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = ( w i^i ( A u. { B } ) ) -> ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) = ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) )
60	59	sseq1d 3371	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = ( w i^i ( A u. { B } ) ) -> ( ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u <-> ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) C_ u ) )
61	58, 60	anbi12d 703	. . . . . . . . . . 11 |- ( v = ( w i^i ( A u. { B } ) ) -> ( ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) <-> ( B e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) C_ u ) ) )
62	57, 61	rexrnmpt 5841	. . . . . . . . . 10 |- ( A. w e. K ( w i^i ( A u. { B } ) ) e. _V -> ( E. v e. ran ( w e. K |-> ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) <-> E. w e. K ( B e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) C_ u ) ) )
63	56, 62	mp1i 12	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) -> ( E. v e. ran ( w e. K |-> ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) <-> E. w e. K ( B e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) C_ u ) ) )
64	22	ad3antrrr 722	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> B e. ( A u. { B } ) )
65		elin 3527	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) <-> ( B e. w /\ B e. ( A u. { B } ) ) )
66	65	rbaib 891	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. ( A u. { B } ) -> ( B e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) <-> B e. w ) )
67	64, 66	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> ( B e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) <-> B e. w ) )
68		simpllr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> C e. CC )
69		fvex 5689	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F ` z ) e. _V
70		ifexg 3847	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( C e. CC /\ ( F ` z ) e. _V ) -> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. _V )
71	68, 69, 70	sylancl 655	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. _V )
72	71	ralrimivw 2790	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> A. z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. _V )
73		eqid 2433	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) = ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) )
74	73	fnmpt 5525	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. _V -> ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) Fn ( w i^i ( A u. { B } ) ) )
75	73	fmpt 5852	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u <-> ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) : ( w i^i ( A u. { B } ) ) --> u )
76		df-f 5410	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) : ( w i^i ( A u. { B } ) ) --> u <-> ( ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) Fn ( w i^i ( A u. { B } ) ) /\ ran ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) C_ u ) )
77	75, 76	bitri 249	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u <-> ( ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) Fn ( w i^i ( A u. { B } ) ) /\ ran ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) C_ u ) )
78	77	baib 889	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) Fn ( w i^i ( A u. { B } ) ) -> ( A. z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u <-> ran ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) C_ u ) )
79	72, 74, 78	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> ( A. z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u <-> ran ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) C_ u ) )
80		simplrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> C e. u )
81		inss2 3559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w i^i { B } ) C_ { B }
82	81	sseli 3340	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. ( w i^i { B } ) -> z e. { B } )
83	25, 40	sylbi 195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z e. { B } -> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) = C )
84	83	eleq1d 2499	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. { B } -> ( if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u <-> C e. u ) )
85	82, 84	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z e. ( w i^i { B } ) -> ( if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u <-> C e. u ) )
86	80, 85	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> ( z e. ( w i^i { B } ) -> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u ) )
87	86	ralrimiv 2788	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> A. z e. ( w i^i { B } ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u )
88		undif1 3742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A \ { B } ) u. { B } ) = ( A u. { B } )
89	88	ineq2i 3537	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w i^i ( ( A \ { B } ) u. { B } ) ) = ( w i^i ( A u. { B } ) )
90		indi 3584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w i^i ( ( A \ { B } ) u. { B } ) ) = ( ( w i^i ( A \ { B } ) ) u. ( w i^i { B } ) )
91	89, 90	eqtr3i 2455	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w i^i ( A u. { B } ) ) = ( ( w i^i ( A \ { B } ) ) u. ( w i^i { B } ) )
92	91	raleqi 2911	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u <-> A. z e. ( ( w i^i ( A \ { B } ) ) u. ( w i^i { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u )
93		ralunb 3525	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. z e. ( ( w i^i ( A \ { B } ) ) u. ( w i^i { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u <-> ( A. z e. ( w i^i ( A \ { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u /\ A. z e. ( w i^i { B } ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u ) )
94	92, 93	bitri 249	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u <-> ( A. z e. ( w i^i ( A \ { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u /\ A. z e. ( w i^i { B } ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u ) )
95	94	rbaib 891	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. z e. ( w i^i { B } ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u -> ( A. z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u <-> A. z e. ( w i^i ( A \ { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u ) )
96	87, 95	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> ( A. z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u <-> A. z e. ( w i^i ( A \ { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u ) )
97	79, 96	bitr3d 255	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> ( ran ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) C_ u <-> A. z e. ( w i^i ( A \ { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u ) )
98		inss2 3559	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w i^i ( A \ { B } ) ) C_ ( A \ { B } )
99	98	sseli 3340	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. ( w i^i ( A \ { B } ) ) -> z e. ( A \ { B } ) )
100		eldifsni 3989	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z e. ( A \ { B } ) -> z =/= B )
101		ifnefalse 3789	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z =/= B -> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) = ( F ` z ) )
102	100, 101	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. ( A \ { B } ) -> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) = ( F ` z ) )
103	102	eleq1d 2499	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. ( A \ { B } ) -> ( if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u <-> ( F ` z ) e. u ) )
104	99, 103	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. ( w i^i ( A \ { B } ) ) -> ( if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u <-> ( F ` z ) e. u ) )
105	104	ralbiia 2737	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. z e. ( w i^i ( A \ { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u <-> A. z e. ( w i^i ( A \ { B } ) ) ( F ` z ) e. u )
106	97, 105	syl6bb 261	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> ( ran ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) C_ u <-> A. z e. ( w i^i ( A \ { B } ) ) ( F ` z ) e. u ) )
107		df-ima 4840	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) = ran ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) |` ( w i^i ( A u. { B } ) ) )
108		inss2 3559	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w i^i ( A u. { B } ) ) C_ ( A u. { B } )
109		resmpt 5144	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( w i^i ( A u. { B } ) ) C_ ( A u. { B } ) -> ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) |` ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) = ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) )
110	108, 109	mp1i 12	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) |` ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) = ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) )
111	110	rneqd 5054	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> ran ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) |` ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) = ran ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) )
112	107, 111	syl5eq 2477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) = ran ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) )
113	112	sseq1d 3371	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> ( ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) C_ u <-> ran ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) C_ u ) )
114	7	ad3antrrr 722	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> F : A --> CC )
115		ffun 5549	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : A --> CC -> Fun F )
116	114, 115	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> Fun F )
117		difss 3471	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A \ { B } ) C_ A
118	98, 117	sstri 3353	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w i^i ( A \ { B } ) ) C_ A
119		fdm 5551	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F : A --> CC -> dom F = A )
120	114, 119	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> dom F = A )
121	118, 120	syl5sseqr 3393	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> ( w i^i ( A \ { B } ) ) C_ dom F )
122		funimass4 5730	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun F /\ ( w i^i ( A \ { B } ) ) C_ dom F ) -> ( ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u <-> A. z e. ( w i^i ( A \ { B } ) ) ( F ` z ) e. u ) )
123	116, 121, 122	syl2anc 654	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> ( ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u <-> A. z e. ( w i^i ( A \ { B } ) ) ( F ` z ) e. u ) )
124	106, 113, 123	3bitr4d 285	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> ( ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) C_ u <-> ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) )
125	67, 124	anbi12d 703	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> ( ( B e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) C_ u ) <-> ( B e. w /\ ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) )
126	125	rexbidva 2722	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) -> ( E. w e. K ( B e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) C_ u ) <-> E. w e. K ( B e. w /\ ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) )
127	53, 63, 126	3bitrd 279	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) -> ( E. v e. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) <-> E. w e. K ( B e. w /\ ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) )
128	127	anassrs 641	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ u e. K ) /\ C e. u ) -> ( E. v e. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) <-> E. w e. K ( B e. w /\ ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) )
129	128	pm5.74da 680	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ u e. K ) -> ( ( C e. u -> E. v e. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) ) <-> ( C e. u -> E. w e. K ( B e. w /\ ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) ) )
130	45, 129	bitrd 253	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ u e. K ) -> ( ( ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) ` B ) e. u -> E. v e. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) ) <-> ( C e. u -> E. w e. K ( B e. w /\ ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) ) )
131	130	ralbidva 2721	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( A. u e. K ( ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) ` B ) e. u -> E. v e. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) ) <-> A. u e. K ( C e. u -> E. w e. K ( B e. w /\ ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) ) )
132	11, 39, 131	3bitrd 279	. . 3 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( C e. ( F lim CC B ) <-> A. u e. K ( C e. u -> E. w e. K ( B e. w /\ ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) ) )
133	132	pm5.32da 634	. 2 |- ( ph -> ( ( C e. CC /\ C e. ( F lim CC B ) ) <-> ( C e. CC /\ A. u e. K ( C e. u -> E. w e. K ( B e. w /\ ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) ) ) )
134	3, 133	syl5bb 257	1 |- ( ph -> ( C e. ( F lim CC B ) <-> ( C e. CC /\ A. u e. K ( C e. u -> E. w e. K ( B e. w /\ ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 958   = wceq 1362   e. wcel 1755   =/= wne 2596   A.wral 2705   E.wrex 2706   _Vcvv 2962   \ cdif 3313   u. cun 3314   i^i cin 3315   C_ wss 3316   ifcif 3779   {csn 3865   e. cmpt 4338   dom cdm 4827   ran crn 4828   |` cres 4829   "cima 4830   Fun wfun 5400   Fn wfn 5401   -->wf 5402   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   CCcc 9268   ↾_t crest 14342   TopOpenctopn 14343  ℂ_fldccnfld 17662   Topctop 18340  TopOnctopon 18341   CnP ccnp 18671   lim CC climc 21179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-pm 7205  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fi 7649  df-sup 7679  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-5 10371  df-6 10372  df-7 10373  df-8 10374  df-9 10375  df-10 10376  df-n0 10568  df-z 10635  df-dec 10744  df-uz 10850  df-q 10942  df-rp 10980  df-xneg 11077  df-xadd 11078  df-xmul 11079  df-fz 11425  df-seq 11791  df-exp 11850  df-cj 12572  df-re 12573  df-im 12574  df-sqr 12708  df-abs 12709  df-struct 14159  df-ndx 14160  df-slot 14161  df-base 14162  df-plusg 14234  df-mulr 14235  df-starv 14236  df-tset 14240  df-ple 14241  df-ds 14243  df-unif 14244  df-rest 14344  df-topn 14345  df-topgen 14365  df-psmet 17653  df-xmet 17654  df-met 17655  df-bl 17656  df-mopn 17657  df-cnfld 17663  df-top 18345  df-bases 18347  df-topon 18348  df-topsp 18349  df-cnp 18674  df-xms 19737  df-ms 19738  df-limc 21183

This theorem is referenced by:  limcnlp  21195  ellimc3  21196  limcflf  21198  limcresi  21202  limciun  21211  lhop1lem  21327