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Theorem ellimc2 19717
Description: Write the definition of a limit directly in terms of open sets of the topology on the complexes. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limccl.f  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
limccl.a  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
limccl.b  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
ellimc2.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
ellimc2  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( F lim CC  B )  <-> 
( C  e.  CC  /\ 
A. u  e.  K  ( C  e.  u  ->  E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " (
w  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  u
) ) ) ) )
Distinct variable groups:    w, u, A    u, B, w    ph, u, w    u, C, w    u, F, w    u, K, w

Proof of Theorem ellimc2
Dummy variables  z 
v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccl 19715 . . . 4  |-  ( F lim
CC  B )  C_  CC
21sseli 3304 . . 3  |-  ( C  e.  ( F lim CC  B )  ->  C  e.  CC )
32pm4.71ri 615 . 2  |-  ( C  e.  ( F lim CC  B )  <->  ( C  e.  CC  /\  C  e.  ( F lim CC  B
) ) )
4 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  =  ( Kt  ( A  u.  { B } ) )
5 ellimc2.k . . . . . 6  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
6 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )  =  ( z  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
7 limccl.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
8 limccl.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
9 limccl.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
104, 5, 6, 7, 8, 9ellimc 19713 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( F lim CC  B )  <-> 
( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP 
K ) `  B
) ) )
1110adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( C  e.  ( F lim CC  B )  <->  ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP 
K ) `  B
) ) )
125cnfldtopon 18770 . . . . . . 7  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
139snssd 3903 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { B }  C_  CC )
148, 13unssd 3483 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  u.  { B } )  C_  CC )
15 resttopon 17179 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  CC )  /\  ( A  u.  { B } )  C_  CC )  ->  ( Kt  ( A  u.  { B }
) )  e.  (TopOn `  ( A  u.  { B } ) ) )
1612, 14, 15sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  e.  (TopOn `  ( A  u.  { B } ) ) )
1716adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  e.  (TopOn `  ( A  u.  { B } ) ) )
1812a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  K  e.  (TopOn `  CC )
)
19 ssun2 3471 . . . . . . 7  |-  { B }  C_  ( A  u.  { B } )
20 snssg 3892 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  CC  ->  ( B  e.  ( A  u.  { B } )  <->  { B }  C_  ( A  u.  { B } ) ) )
219, 20syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ( A  u.  { B } )  <->  { B }  C_  ( A  u.  { B } ) ) )
2219, 21mpbiri 225 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A  u.  { B }
) )
2322adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  B  e.  ( A  u.  { B } ) )
24 elun 3448 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( A  u.  { B } )  <->  ( z  e.  A  \/  z  e.  { B } ) )
25 elsn 3789 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  { B }  <->  z  =  B )
2625orbi2i 506 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  A  \/  z  e.  { B } )  <->  ( z  e.  A  \/  z  =  B ) )
2724, 26bitri 241 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( A  u.  { B } )  <->  ( z  e.  A  \/  z  =  B ) )
28 simpllr 736 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( z  e.  A  \/  z  =  B
) )  /\  z  =  B )  ->  C  e.  CC )
29 pm5.61 694 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  A  \/  z  =  B
)  /\  -.  z  =  B )  <->  ( z  e.  A  /\  -.  z  =  B ) )
307ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
3130ad2ant2r 728 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  =  B
) )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
3229, 31sylan2b 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  (
( z  e.  A  \/  z  =  B
)  /\  -.  z  =  B ) )  -> 
( F `  z
)  e.  CC )
3332anassrs 630 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( z  e.  A  \/  z  =  B
) )  /\  -.  z  =  B )  ->  ( F `  z
)  e.  CC )
3428, 33ifclda 3726 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  (
z  e.  A  \/  z  =  B )
)  ->  if (
z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  CC )
3527, 34sylan2b 462 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  z  e.  ( A  u.  { B } ) )  ->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  CC )
3635, 6fmptd 5852 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) : ( A  u.  { B } ) --> CC )
37 iscnp 17255 . . . . . 6  |-  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  e.  (TopOn `  ( A  u.  { B } ) )  /\  K  e.  (TopOn `  CC )  /\  B  e.  ( A  u.  { B } ) )  -> 
( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP 
K ) `  B
)  <->  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) : ( A  u.  { B } ) --> CC  /\  A. u  e.  K  ( ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) `
 B )  e.  u  ->  E. v  e.  ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) ( B  e.  v  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) " v
)  C_  u )
) ) ) )
3837baibd 876 . . . . 5  |-  ( ( ( ( Kt  ( A  u.  { B }
) )  e.  (TopOn `  ( A  u.  { B } ) )  /\  K  e.  (TopOn `  CC )  /\  B  e.  ( A  u.  { B } ) )  /\  ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) : ( A  u.  { B } ) --> CC )  ->  ( (
z  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP 
K ) `  B
)  <->  A. u  e.  K  ( ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) `  B
)  e.  u  ->  E. v  e.  ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) ( B  e.  v  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" v )  C_  u ) ) ) )
3917, 18, 23, 36, 38syl31anc 1187 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( z  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP 
K ) `  B
)  <->  A. u  e.  K  ( ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) `  B
)  e.  u  ->  E. v  e.  ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) ( B  e.  v  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" v )  C_  u ) ) ) )
40 iftrue 3705 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  B  ->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  =  C )
4140, 6fvmptg 5763 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  ( A  u.  { B }
)  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( z  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) `
 B )  =  C )
4222, 41sylan 458 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( z  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) `
 B )  =  C )
4342eleq1d 2470 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) `
 B )  e.  u  <->  C  e.  u
) )
4443imbi1d 309 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) `
 B )  e.  u  ->  E. v  e.  ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) ( B  e.  v  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) " v
)  C_  u )
)  <->  ( C  e.  u  ->  E. v  e.  ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) ( B  e.  v  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) " v
)  C_  u )
) ) )
4544adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  u  e.  K )  ->  (
( ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) `  B
)  e.  u  ->  E. v  e.  ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) ( B  e.  v  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" v )  C_  u ) )  <->  ( C  e.  u  ->  E. v  e.  ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) ( B  e.  v  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) " v
)  C_  u )
) ) )
465cnfldtop 18771 . . . . . . . . . . 11  |-  K  e. 
Top
47 cnex 9027 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  CC  e.  _V
4847ssex 4307 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  u.  { B } )  C_  CC  ->  ( A  u.  { B } )  e.  _V )
4914, 48syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A  u.  { B } )  e.  _V )
5049ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  (
u  e.  K  /\  C  e.  u )
)  ->  ( A  u.  { B } )  e.  _V )
51 restval 13609 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Top  /\  ( A  u.  { B } )  e.  _V )  ->  ( Kt  ( A  u.  { B }
) )  =  ran  ( w  e.  K  |->  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) ) )
5246, 50, 51sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  (
u  e.  K  /\  C  e.  u )
)  ->  ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  =  ran  ( w  e.  K  |->  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) ) )
5352rexeqdv 2871 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  (
u  e.  K  /\  C  e.  u )
)  ->  ( E. v  e.  ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) ( B  e.  v  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" v )  C_  u )  <->  E. v  e.  ran  ( w  e.  K  |->  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) ) ( B  e.  v  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) " v
)  C_  u )
) )
54 vex 2919 . . . . . . . . . . . 12  |-  w  e. 
_V
5554inex1 4304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  e.  _V
5655rgenw 2733 . . . . . . . . . 10  |-  A. w  e.  K  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  e. 
_V
57 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  K  |->  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) )  =  ( w  e.  K  |->  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) )
58 eleq2 2465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  -> 
( B  e.  v  <-> 
B  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) ) )
59 imaeq2 5158 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  -> 
( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" v )  =  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) ) )
6059sseq1d 3335 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  -> 
( ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) " v
)  C_  u  <->  ( (
z  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) ) 
C_  u ) )
6158, 60anbi12d 692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  -> 
( ( B  e.  v  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" v )  C_  u )  <->  ( B  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) )
6257, 61rexrnmpt 5838 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. w  e.  K  (
w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  e.  _V  ->  ( E. v  e.  ran  ( w  e.  K  |->  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) ) ( B  e.  v  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) " v
)  C_  u )  <->  E. w  e.  K  ( B  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) " (
w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) )  C_  u
) ) )
6356, 62mp1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  (
u  e.  K  /\  C  e.  u )
)  ->  ( E. v  e.  ran  ( w  e.  K  |->  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) ) ( B  e.  v  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" v )  C_  u )  <->  E. w  e.  K  ( B  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) )
6422ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  B  e.  ( A  u.  { B } ) )
65 elin 3490 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  <->  ( B  e.  w  /\  B  e.  ( A  u.  { B } ) ) )
6665rbaib 874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  ( A  u.  { B } )  -> 
( B  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B }
) )  <->  B  e.  w ) )
6764, 66syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  ( B  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  <->  B  e.  w ) )
68 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  C  e.  CC )
69 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F `
 z )  e. 
_V
70 ifexg 3758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( C  e.  CC  /\  ( F `  z )  e.  _V )  ->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  _V )
7168, 69, 70sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  _V )
7271ralrimivw 2750 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  A. z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  _V )
73 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )  =  ( z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) 
|->  if ( z  =  B ,  C , 
( F `  z
) ) )
7473fnmpt 5530 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  _V  ->  ( z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) 
|->  if ( z  =  B ,  C , 
( F `  z
) ) )  Fn  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) )
7573fmpt 5849 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u  <->  ( z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) : ( w  i^i  ( A  u.  { B }
) ) --> u )
76 df-f 5417 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) 
|->  if ( z  =  B ,  C , 
( F `  z
) ) ) : ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) --> u  <-> 
( ( z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )  Fn  (
w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  /\  ran  (
z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) 
|->  if ( z  =  B ,  C , 
( F `  z
) ) )  C_  u ) )
7775, 76bitri 241 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u  <->  ( (
z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) 
|->  if ( z  =  B ,  C , 
( F `  z
) ) )  Fn  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  /\  ran  ( z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B }
) )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) 
C_  u ) )
7877baib 872 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) 
|->  if ( z  =  B ,  C , 
( F `  z
) ) )  Fn  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  -> 
( A. z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u  <->  ran  ( z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )  C_  u
) )
7972, 74, 783syl 19 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  ( A. z  e.  (
w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u  <->  ran  ( z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )  C_  u
) )
80 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  C  e.  u )
81 inss2 3522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  i^i  { B }
)  C_  { B }
8281sseli 3304 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  ( w  i^i 
{ B } )  ->  z  e.  { B } )
8325, 40sylbi 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  { B }  ->  if ( z  =  B ,  C , 
( F `  z
) )  =  C )
8483eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  { B }  ->  ( if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u  <->  C  e.  u
) )
8582, 84syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  ( w  i^i 
{ B } )  ->  ( if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u  <->  C  e.  u
) )
8680, 85syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  (
z  e.  ( w  i^i  { B }
)  ->  if (
z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u ) )
8786ralrimiv 2748 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  A. z  e.  ( w  i^i  { B } ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u )
88 undif1 3663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  \  { B } )  u.  { B } )  =  ( A  u.  { B } )
8988ineq2i 3499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  i^i  ( ( A 
\  { B }
)  u.  { B } ) )  =  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )
90 indi 3547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  i^i  ( ( A 
\  { B }
)  u.  { B } ) )  =  ( ( w  i^i  ( A  \  { B } ) )  u.  ( w  i^i  { B } ) )
9189, 90eqtr3i 2426 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  =  ( ( w  i^i  ( A  \  { B } ) )  u.  ( w  i^i 
{ B } ) )
9291raleqi 2868 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u  <->  A. z  e.  ( ( w  i^i  ( A  \  { B } ) )  u.  ( w  i^i  { B } ) ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u )
93 ralunb 3488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. z  e.  ( (
w  i^i  ( A  \  { B } ) )  u.  ( w  i^i  { B }
) ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u  <->  ( A. z  e.  ( w  i^i  ( A  \  { B }
) ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u  /\  A. z  e.  ( w  i^i  { B } ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u ) )
9492, 93bitri 241 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u  <->  ( A. z  e.  ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u  /\  A. z  e.  ( w  i^i  { B }
) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u ) )
9594rbaib 874 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. z  e.  ( w  i^i  { B } ) if ( z  =  B ,  C , 
( F `  z
) )  e.  u  ->  ( A. z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u  <->  A. z  e.  ( w  i^i  ( A  \  { B }
) ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u ) )
9687, 95syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  ( A. z  e.  (
w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u  <->  A. z  e.  ( w  i^i  ( A 
\  { B }
) ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u ) )
9779, 96bitr3d 247 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  ( ran  ( z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B }
) )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) 
C_  u  <->  A. z  e.  ( w  i^i  ( A  \  { B }
) ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u ) )
98 inss2 3522 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) 
C_  ( A  \  { B } )
9998sseli 3304 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  ( w  i^i  ( A  \  { B } ) )  -> 
z  e.  ( A 
\  { B }
) )
100 eldifsni 3888 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  ( A  \  { B } )  -> 
z  =/=  B )
101 ifnefalse 3707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =/=  B  ->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  =  ( F `
 z ) )
102100, 101syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  ( A  \  { B } )  ->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  =  ( F `
 z ) )
103102eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  ( A  \  { B } )  -> 
( if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u  <->  ( F `  z )  e.  u
) )
10499, 103syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( w  i^i  ( A  \  { B } ) )  -> 
( if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u  <->  ( F `  z )  e.  u
) )
105104ralbiia 2698 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. z  e.  ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u  <->  A. z  e.  ( w  i^i  ( A  \  { B }
) ) ( F `
 z )  e.  u )
10697, 105syl6bb 253 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  ( ran  ( z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B }
) )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) 
C_  u  <->  A. z  e.  ( w  i^i  ( A  \  { B }
) ) ( F `
 z )  e.  u ) )
107 df-ima 4850 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) )  =  ran  ( ( z  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )  |`  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) )
108 inss2 3522 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) 
C_  ( A  u.  { B } )
109 resmpt 5150 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  i^i  ( A  u.  { B }
) )  C_  ( A  u.  { B } )  ->  (
( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )  |`  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) )  =  ( z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) )
110108, 109mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  (
( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )  |`  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) )  =  ( z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) )
111110rneqd 5056 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  ran  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )  |`  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) )  =  ran  ( z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) )
112107, 111syl5eq 2448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  (
( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) )  =  ran  ( z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) )
113112sseq1d 3335 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  (
( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) ) 
C_  u  <->  ran  ( z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )  C_  u
) )
1147ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  F : A --> CC )
115 ffun 5552 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : A --> CC  ->  Fun 
F )
116114, 115syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  Fun  F )
117 difss 3434 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A 
\  { B }
)  C_  A
11898, 117sstri 3317 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) 
C_  A
119 fdm 5554 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F : A --> CC  ->  dom 
F  =  A )
120114, 119syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  dom  F  =  A )
121118, 120syl5sseqr 3357 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  (
w  i^i  ( A  \  { B } ) )  C_  dom  F )
122 funimass4 5736 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Fun  F  /\  (
w  i^i  ( A  \  { B } ) )  C_  dom  F )  ->  ( ( F
" ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u  <->  A. z  e.  ( w  i^i  ( A  \  { B }
) ) ( F `
 z )  e.  u ) )
123116, 121, 122syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  (
( F " (
w  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  u  <->  A. z  e.  ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) ( F `  z
)  e.  u ) )
124106, 113, 1233bitr4d 277 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  (
( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) ) 
C_  u  <->  ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  u ) )
12567, 124anbi12d 692 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  (
( B  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B }
) )  /\  (
( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) ) 
C_  u )  <->  ( B  e.  w  /\  ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) )
126125rexbidva 2683 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  (
u  e.  K  /\  C  e.  u )
)  ->  ( E. w  e.  K  ( B  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) ) 
C_  u )  <->  E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) )
12753, 63, 1263bitrd 271 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  (
u  e.  K  /\  C  e.  u )
)  ->  ( E. v  e.  ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) ( B  e.  v  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" v )  C_  u )  <->  E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) )
128127anassrs 630 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  u  e.  K
)  /\  C  e.  u )  ->  ( E. v  e.  ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) ( B  e.  v  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" v )  C_  u )  <->  E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) )
129128pm5.74da 669 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  u  e.  K )  ->  (
( C  e.  u  ->  E. v  e.  ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) ( B  e.  v  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" v )  C_  u ) )  <->  ( C  e.  u  ->  E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) ) )
13045, 129bitrd 245 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  u  e.  K )  ->  (
( ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) `  B
)  e.  u  ->  E. v  e.  ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) ( B  e.  v  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" v )  C_  u ) )  <->  ( C  e.  u  ->  E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) ) )
131130ralbidva 2682 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( A. u  e.  K  (
( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) `
 B )  e.  u  ->  E. v  e.  ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) ( B  e.  v  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) " v
)  C_  u )
)  <->  A. u  e.  K  ( C  e.  u  ->  E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " (
w  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  u
) ) ) )
13211, 39, 1313bitrd 271 . . 3  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( C  e.  ( F lim CC  B )  <->  A. u  e.  K  ( C  e.  u  ->  E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) ) )
133132pm5.32da 623 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( C  e.  CC  /\  C  e.  ( F lim CC  B
) )  <->  ( C  e.  CC  /\  A. u  e.  K  ( C  e.  u  ->  E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) ) ) )
1343, 133syl5bb 249 1  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( F lim CC  B )  <-> 
( C  e.  CC  /\ 
A. u  e.  K  ( C  e.  u  ->  E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " (
w  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  u
) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916    \ cdif 3277    u. cun 3278    i^i cin 3279    C_ wss 3280   ifcif 3699   {csn 3774    e. cmpt 4226   dom cdm 4837   ran crn 4838    |` cres 4839   "cima 4840   Fun wfun 5407    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   ↾t crest 13603   TopOpenctopn 13604  ℂfldccnfld 16658   Topctop 16913  TopOnctopon 16914    CnP ccnp 17243   lim CC climc 19702
This theorem is referenced by:  limcnlp  19718  ellimc3  19719  limcflf  19721  limcresi  19725  limciun  19734  lhop1lem  19850
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-fz 11000  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cnp 17246  df-xms 18303  df-ms 18304  df-limc 19706
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