Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ellimc2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ellimc2 22832
 Description: Write the definition of a limit directly in terms of open sets of the topology on the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limccl.f
limccl.a
limccl.b
ellimc2.k fld
Assertion
Ref Expression
ellimc2 lim
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem ellimc2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccl 22830 . . . 4 lim
21sseli 3428 . . 3 lim
32pm4.71ri 639 . 2 lim lim
4 eqid 2451 . . . . . 6 t t
5 ellimc2.k . . . . . 6 fld
6 eqid 2451 . . . . . 6
7 limccl.f . . . . . 6
8 limccl.a . . . . . 6
9 limccl.b . . . . . 6
104, 5, 6, 7, 8, 9ellimc 22828 . . . . 5 lim t
1110adantr 467 . . . 4 lim t
125cnfldtopon 21803 . . . . . . 7 TopOn
139snssd 4117 . . . . . . . 8
148, 13unssd 3610 . . . . . . 7
15 resttopon 20177 . . . . . . 7 TopOn t TopOn
1612, 14, 15sylancr 669 . . . . . 6 t TopOn
1716adantr 467 . . . . 5 t TopOn
1812a1i 11 . . . . 5 TopOn
19 ssun2 3598 . . . . . . 7
20 snssg 4105 . . . . . . . 8
219, 20syl 17 . . . . . . 7
2219, 21mpbiri 237 . . . . . 6
2322adantr 467 . . . . 5
24 elun 3574 . . . . . . . 8
25 elsn 3982 . . . . . . . . 9
2625orbi2i 522 . . . . . . . 8
2724, 26bitri 253 . . . . . . 7
28 simpllr 769 . . . . . . . 8
29 pm5.61 719 . . . . . . . . . 10
307ffvelrnda 6022 . . . . . . . . . . 11
3130ad2ant2r 753 . . . . . . . . . 10
3229, 31sylan2b 478 . . . . . . . . 9
3332anassrs 654 . . . . . . . 8
3428, 33ifclda 3913 . . . . . . 7
3527, 34sylan2b 478 . . . . . 6
3635, 6fmptd 6046 . . . . 5
37 iscnp 20253 . . . . . 6 t TopOn TopOn t t
3837baibd 920 . . . . 5 t TopOn TopOn t t
3917, 18, 23, 36, 38syl31anc 1271 . . . 4 t t
40 iftrue 3887 . . . . . . . . . . 11
4140, 6fvmptg 5946 . . . . . . . . . 10
4222, 41sylan 474 . . . . . . . . 9
4342eleq1d 2513 . . . . . . . 8
4443imbi1d 319 . . . . . . 7 t t
4544adantr 467 . . . . . 6 t t
465cnfldtop 21804 . . . . . . . . . . 11
47 cnex 9620 . . . . . . . . . . . . . 14
4847ssex 4547 . . . . . . . . . . . . 13
4914, 48syl 17 . . . . . . . . . . . 12
5049ad2antrr 732 . . . . . . . . . . 11
51 restval 15325 . . . . . . . . . . 11 t
5246, 50, 51sylancr 669 . . . . . . . . . 10 t
5352rexeqdv 2994 . . . . . . . . 9 t
54 vex 3048 . . . . . . . . . . . 12
5554inex1 4544 . . . . . . . . . . 11
5655rgenw 2749 . . . . . . . . . 10
57 eqid 2451 . . . . . . . . . . 11
58 eleq2 2518 . . . . . . . . . . . 12
59 imaeq2 5164 . . . . . . . . . . . . 13
6059sseq1d 3459 . . . . . . . . . . . 12
6158, 60anbi12d 717 . . . . . . . . . . 11
6257, 61rexrnmpt 6032 . . . . . . . . . 10
6356, 62mp1i 13 . . . . . . . . 9
6422ad3antrrr 736 . . . . . . . . . . . 12
65 elin 3617 . . . . . . . . . . . . 13
6665rbaib 917 . . . . . . . . . . . 12
6764, 66syl 17 . . . . . . . . . . 11
68 simpllr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
69 fvex 5875 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
70 ifexg 3950 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7168, 69, 70sylancl 668 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7271ralrimivw 2803 . . . . . . . . . . . . . . 15
73 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7473fnmpt 5704 . . . . . . . . . . . . . . 15
7573fmpt 6043 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
76 df-f 5586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7775, 76bitri 253 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7877baib 914 . . . . . . . . . . . . . . 15
7972, 74, 783syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14
80 simplrr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
81 inss2 3653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8281sseli 3428 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8325, 40sylbi 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8483eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8582, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8680, 85syl5ibrcom 226 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8786ralrimiv 2800 . . . . . . . . . . . . . . 15
88 undif1 3842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8988ineq2i 3631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
90 indi 3689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9189, 90eqtr3i 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9291raleqi 2991 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
93 ralunb 3615 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9492, 93bitri 253 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9594rbaib 917 . . . . . . . . . . . . . . 15
9687, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
9779, 96bitr3d 259 . . . . . . . . . . . . 13
98 inss2 3653 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9998sseli 3428 . . . . . . . . . . . . . . 15
100 eldifsni 4098 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
101 ifnefalse 3893 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
102100, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16
103102eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . . . . 15
10499, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
105104ralbiia 2818 . . . . . . . . . . . . 13
10697, 105syl6bb 265 . . . . . . . . . . . 12
107 df-ima 4847 . . . . . . . . . . . . . 14
108 inss2 3653 . . . . . . . . . . . . . . . 16
109 resmpt 5154 . . . . . . . . . . . . . . . 16
110108, 109mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . 15
111110rneqd 5062 . . . . . . . . . . . . . 14
112107, 111syl5eq 2497 . . . . . . . . . . . . 13
113112sseq1d 3459 . . . . . . . . . . . 12
1147ad3antrrr 736 . . . . . . . . . . . . . 14
115 ffun 5731 . . . . . . . . . . . . . 14
116114, 115syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
117 difss 3560 . . . . . . . . . . . . . . 15
11898, 117sstri 3441 . . . . . . . . . . . . . 14
119 fdm 5733 . . . . . . . . . . . . . . 15
120114, 119syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
121118, 120syl5sseqr 3481 . . . . . . . . . . . . 13
122 funimass4 5916 . . . . . . . . . . . . 13
123116, 121, 122syl2anc 667 . . . . . . . . . . . 12
124106, 113, 1233bitr4d 289 . . . . . . . . . . 11
12567, 124anbi12d 717 . . . . . . . . . 10
126125rexbidva 2898 . . . . . . . . 9
12753, 63, 1263bitrd 283 . . . . . . . 8 t
128127anassrs 654 . . . . . . 7 t
129128pm5.74da 693 . . . . . 6 t
13045, 129bitrd 257 . . . . 5 t
131130ralbidva 2824 . . . 4 t
13211, 39, 1313bitrd 283 . . 3 lim
133132pm5.32da 647 . 2 lim
1343, 133syl5bb 261 1 lim
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 188   wo 370   wa 371   w3a 985   wceq 1444   wcel 1887   wne 2622  wral 2737  wrex 2738  cvv 3045   cdif 3401   cun 3402   cin 3403   wss 3404  cif 3881  csn 3968   cmpt 4461   cdm 4834   crn 4835   cres 4836  cima 4837   wfun 5576   wfn 5577  wf 5578  cfv 5582  (class class class)co 6290  cc 9537   ↾t crest 15319  ctopn 15320  ℂfldccnfld 18970  ctop 19917  TopOnctopon 19918   ccnp 20241   lim climc 22817 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-fz 11785  df-seq 12214  df-exp 12273  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-rest 15321  df-topn 15322  df-topgen 15342  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cnp 20244  df-xms 21335  df-ms 21336  df-limc 22821 This theorem is referenced by:  limcnlp  22833  ellimc3  22834  limcflf  22836  limcresi  22840  limciun  22849  lhop1lem  22965  limccog  37700
 Copyright terms: Public domain W3C validator