Theorem ellimc2 22149

Description: Write the definition of a limit directly in terms of open sets of the topology on the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
limccl.f	|- ( ph -> F : A --> CC )
limccl.a	|- ( ph -> A C_ CC )
limccl.b	|- ( ph -> B e. CC )
ellimc2.k	|- K = ( TopOpen ` ℂfld )

Assertion

Ref	Expression
ellimc2	|- ( ph -> ( C e. ( F lim CC B ) <-> ( C e. CC /\ A. u e. K ( C e. u -> E. w e. K ( B e. w /\ ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   w, u, A   u, B, w   ph, u, w   u, C, w   u, F, w   u, K, w

Proof of Theorem ellimc2

Dummy variables z v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limccl 22147	. . . 4 |- ( F lim CC B ) C_ CC
2	1	sseli 3505	. . 3 |- ( C e. ( F lim CC B ) -> C e. CC )
3	2	pm4.71ri 633	. 2 |- ( C e. ( F lim CC B ) <-> ( C e. CC /\ C e. ( F lim CC B ) ) )
4		eqid 2467	. . . . . 6 |- ( K ↾t ( A u. { B } ) ) = ( K ↾t ( A u. { B } ) )
5		ellimc2.k	. . . . . 6 |- K = ( TopOpen ` ℂfld )
6		eqid 2467	. . . . . 6 |- ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) = ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) )
7		limccl.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F : A --> CC )
8		limccl.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A C_ CC )
9		limccl.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. CC )
10	4, 5, 6, 7, 8, 9	ellimc 22145	. . . . 5 |- ( ph -> ( C e. ( F lim CC B ) <-> ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) ) )
11	10	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( C e. ( F lim CC B ) <-> ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) ) )
12	5	cnfldtopon 21158	. . . . . . 7 |- K e. (TopOn ` CC )
13	9	snssd 4178	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { B } C_ CC )
14	8, 13	unssd 3685	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A u. { B } ) C_ CC )
15		resttopon 19530	. . . . . . 7 |- ( ( K e. (TopOn ` CC ) /\ ( A u. { B } ) C_ CC ) -> ( K ↾t ( A u. { B } ) ) e. (TopOn ` ( A u. { B } ) ) )
16	12, 14, 15	sylancr 663	. . . . . 6 |- ( ph -> ( K ↾t ( A u. { B } ) ) e. (TopOn ` ( A u. { B } ) ) )
17	16	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( K ↾t ( A u. { B } ) ) e. (TopOn ` ( A u. { B } ) ) )
18	12	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> K e. (TopOn ` CC ) )
19		ssun2 3673	. . . . . . 7 |- { B } C_ ( A u. { B } )
20		snssg 4166	. . . . . . . 8 |- ( B e. CC -> ( B e. ( A u. { B } ) <-> { B } C_ ( A u. { B } ) ) )
21	9, 20	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( B e. ( A u. { B } ) <-> { B } C_ ( A u. { B } ) ) )
22	19, 21	mpbiri 233	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. ( A u. { B } ) )
23	22	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> B e. ( A u. { B } ) )
24		elun 3650	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( A u. { B } ) <-> ( z e. A \/ z e. { B } ) )
25		elsn 4047	. . . . . . . . 9 |- ( z e. { B } <-> z = B )
26	25	orbi2i 519	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. A \/ z e. { B } ) <-> ( z e. A \/ z = B ) )
27	24, 26	bitri 249	. . . . . . 7 |- ( z e. ( A u. { B } ) <-> ( z e. A \/ z = B ) )
28		simpllr 758	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( z e. A \/ z = B ) ) /\ z = B ) -> C e. CC )
29		pm5.61 712	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. A \/ z = B ) /\ -. z = B ) <-> ( z e. A /\ -. z = B ) )
30	7	ffvelrnda 6032	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( F ` z ) e. CC )
31	30	ad2ant2r 746	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( z e. A /\ -. z = B ) ) -> ( F ` z ) e. CC )
32	29, 31	sylan2b 475	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( ( z e. A \/ z = B ) /\ -. z = B ) ) -> ( F ` z ) e. CC )
33	32	anassrs 648	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( z e. A \/ z = B ) ) /\ -. z = B ) -> ( F ` z ) e. CC )
34	28, 33	ifclda 3977	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( z e. A \/ z = B ) ) -> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. CC )
35	27, 34	sylan2b 475	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ z e. ( A u. { B } ) ) -> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. CC )
36	35, 6	fmptd 6056	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) : ( A u. { B } ) --> CC )
37		iscnp 19606	. . . . . 6 |- ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) e. (TopOn ` ( A u. { B } ) ) /\ K e. (TopOn ` CC ) /\ B e. ( A u. { B } ) ) -> ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) <-> ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) : ( A u. { B } ) --> CC /\ A. u e. K ( ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) ` B ) e. u -> E. v e. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) ) ) ) )
38	37	baibd 907	. . . . 5 |- ( ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) e. (TopOn ` ( A u. { B } ) ) /\ K e. (TopOn ` CC ) /\ B e. ( A u. { B } ) ) /\ ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) : ( A u. { B } ) --> CC ) -> ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) <-> A. u e. K ( ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) ` B ) e. u -> E. v e. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) ) ) )
39	17, 18, 23, 36, 38	syl31anc 1231	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) <-> A. u e. K ( ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) ` B ) e. u -> E. v e. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) ) ) )
40		iftrue 3951	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = B -> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) = C )
41	40, 6	fvmptg 5955	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. ( A u. { B } ) /\ C e. CC ) -> ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) ` B ) = C )
42	22, 41	sylan 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) ` B ) = C )
43	42	eleq1d 2536	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) ` B ) e. u <-> C e. u ) )
44	43	imbi1d 317	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( ( ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) ` B ) e. u -> E. v e. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) ) <-> ( C e. u -> E. v e. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) ) ) )
45	44	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ u e. K ) -> ( ( ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) ` B ) e. u -> E. v e. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) ) <-> ( C e. u -> E. v e. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) ) ) )
46	5	cnfldtop 21159	. . . . . . . . . . 11 |- K e. Top
47		cnex 9585	. . . . . . . . . . . . . 14 |- CC e. _V
48	47	ssex 4597	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A u. { B } ) C_ CC -> ( A u. { B } ) e. _V )
49	14, 48	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A u. { B } ) e. _V )
50	49	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) -> ( A u. { B } ) e. _V )
51		restval 14699	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. Top /\ ( A u. { B } ) e. _V ) -> ( K ↾t ( A u. { B } ) ) = ran ( w e. K |-> ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) )
52	46, 50, 51	sylancr 663	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) -> ( K ↾t ( A u. { B } ) ) = ran ( w e. K |-> ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) )
53	52	rexeqdv 3070	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) -> ( E. v e. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) <-> E. v e. ran ( w e. K |-> ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) ) )
54		vex 3121	. . . . . . . . . . . 12 |- w e. _V
55	54	inex1 4594	. . . . . . . . . . 11 |- ( w i^i ( A u. { B } ) ) e. _V
56	55	rgenw 2828	. . . . . . . . . 10 |- A. w e. K ( w i^i ( A u. { B } ) ) e. _V
57		eqid 2467	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. K |-> ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) = ( w e. K |-> ( w i^i ( A u. { B } ) ) )
58		eleq2 2540	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = ( w i^i ( A u. { B } ) ) -> ( B e. v <-> B e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) )
59		imaeq2 5339	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = ( w i^i ( A u. { B } ) ) -> ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) = ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) )
60	59	sseq1d 3536	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = ( w i^i ( A u. { B } ) ) -> ( ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u <-> ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) C_ u ) )
61	58, 60	anbi12d 710	. . . . . . . . . . 11 |- ( v = ( w i^i ( A u. { B } ) ) -> ( ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) <-> ( B e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) C_ u ) ) )
62	57, 61	rexrnmpt 6042	. . . . . . . . . 10 |- ( A. w e. K ( w i^i ( A u. { B } ) ) e. _V -> ( E. v e. ran ( w e. K |-> ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) <-> E. w e. K ( B e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) C_ u ) ) )
63	56, 62	mp1i 12	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) -> ( E. v e. ran ( w e. K |-> ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) <-> E. w e. K ( B e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) C_ u ) ) )
64	22	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> B e. ( A u. { B } ) )
65		elin 3692	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) <-> ( B e. w /\ B e. ( A u. { B } ) ) )
66	65	rbaib 904	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. ( A u. { B } ) -> ( B e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) <-> B e. w ) )
67	64, 66	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> ( B e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) <-> B e. w ) )
68		simpllr 758	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> C e. CC )
69		fvex 5882	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F ` z ) e. _V
70		ifexg 4015	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( C e. CC /\ ( F ` z ) e. _V ) -> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. _V )
71	68, 69, 70	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. _V )
72	71	ralrimivw 2882	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> A. z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. _V )
73		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) = ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) )
74	73	fnmpt 5713	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. _V -> ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) Fn ( w i^i ( A u. { B } ) ) )
75	73	fmpt 6053	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u <-> ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) : ( w i^i ( A u. { B } ) ) --> u )
76		df-f 5598	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) : ( w i^i ( A u. { B } ) ) --> u <-> ( ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) Fn ( w i^i ( A u. { B } ) ) /\ ran ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) C_ u ) )
77	75, 76	bitri 249	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u <-> ( ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) Fn ( w i^i ( A u. { B } ) ) /\ ran ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) C_ u ) )
78	77	baib 901	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) Fn ( w i^i ( A u. { B } ) ) -> ( A. z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u <-> ran ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) C_ u ) )
79	72, 74, 78	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> ( A. z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u <-> ran ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) C_ u ) )
80		simplrr 760	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> C e. u )
81		inss2 3724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w i^i { B } ) C_ { B }
82	81	sseli 3505	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. ( w i^i { B } ) -> z e. { B } )
83	25, 40	sylbi 195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z e. { B } -> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) = C )
84	83	eleq1d 2536	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. { B } -> ( if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u <-> C e. u ) )
85	82, 84	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z e. ( w i^i { B } ) -> ( if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u <-> C e. u ) )
86	80, 85	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> ( z e. ( w i^i { B } ) -> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u ) )
87	86	ralrimiv 2879	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> A. z e. ( w i^i { B } ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u )
88		undif1 3908	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A \ { B } ) u. { B } ) = ( A u. { B } )
89	88	ineq2i 3702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w i^i ( ( A \ { B } ) u. { B } ) ) = ( w i^i ( A u. { B } ) )
90		indi 3749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w i^i ( ( A \ { B } ) u. { B } ) ) = ( ( w i^i ( A \ { B } ) ) u. ( w i^i { B } ) )
91	89, 90	eqtr3i 2498	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w i^i ( A u. { B } ) ) = ( ( w i^i ( A \ { B } ) ) u. ( w i^i { B } ) )
92	91	raleqi 3067	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u <-> A. z e. ( ( w i^i ( A \ { B } ) ) u. ( w i^i { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u )
93		ralunb 3690	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. z e. ( ( w i^i ( A \ { B } ) ) u. ( w i^i { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u <-> ( A. z e. ( w i^i ( A \ { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u /\ A. z e. ( w i^i { B } ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u ) )
94	92, 93	bitri 249	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u <-> ( A. z e. ( w i^i ( A \ { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u /\ A. z e. ( w i^i { B } ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u ) )
95	94	rbaib 904	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. z e. ( w i^i { B } ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u -> ( A. z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u <-> A. z e. ( w i^i ( A \ { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u ) )
96	87, 95	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> ( A. z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u <-> A. z e. ( w i^i ( A \ { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u ) )
97	79, 96	bitr3d 255	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> ( ran ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) C_ u <-> A. z e. ( w i^i ( A \ { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u ) )
98		inss2 3724	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w i^i ( A \ { B } ) ) C_ ( A \ { B } )
99	98	sseli 3505	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. ( w i^i ( A \ { B } ) ) -> z e. ( A \ { B } ) )
100		eldifsni 4159	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z e. ( A \ { B } ) -> z =/= B )
101		ifnefalse 3957	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z =/= B -> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) = ( F ` z ) )
102	100, 101	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. ( A \ { B } ) -> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) = ( F ` z ) )
103	102	eleq1d 2536	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. ( A \ { B } ) -> ( if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u <-> ( F ` z ) e. u ) )
104	99, 103	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. ( w i^i ( A \ { B } ) ) -> ( if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u <-> ( F ` z ) e. u ) )
105	104	ralbiia 2897	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. z e. ( w i^i ( A \ { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u <-> A. z e. ( w i^i ( A \ { B } ) ) ( F ` z ) e. u )
106	97, 105	syl6bb 261	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> ( ran ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) C_ u <-> A. z e. ( w i^i ( A \ { B } ) ) ( F ` z ) e. u ) )
107		df-ima 5018	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) = ran ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) |` ( w i^i ( A u. { B } ) ) )
108		inss2 3724	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w i^i ( A u. { B } ) ) C_ ( A u. { B } )
109		resmpt 5329	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( w i^i ( A u. { B } ) ) C_ ( A u. { B } ) -> ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) |` ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) = ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) )
110	108, 109	mp1i 12	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) |` ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) = ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) )
111	110	rneqd 5236	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> ran ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) |` ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) = ran ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) )
112	107, 111	syl5eq 2520	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) = ran ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) )
113	112	sseq1d 3536	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> ( ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) C_ u <-> ran ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) C_ u ) )
114	7	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> F : A --> CC )
115		ffun 5739	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : A --> CC -> Fun F )
116	114, 115	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> Fun F )
117		difss 3636	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A \ { B } ) C_ A
118	98, 117	sstri 3518	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w i^i ( A \ { B } ) ) C_ A
119		fdm 5741	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F : A --> CC -> dom F = A )
120	114, 119	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> dom F = A )
121	118, 120	syl5sseqr 3558	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> ( w i^i ( A \ { B } ) ) C_ dom F )
122		funimass4 5925	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun F /\ ( w i^i ( A \ { B } ) ) C_ dom F ) -> ( ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u <-> A. z e. ( w i^i ( A \ { B } ) ) ( F ` z ) e. u ) )
123	116, 121, 122	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> ( ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u <-> A. z e. ( w i^i ( A \ { B } ) ) ( F ` z ) e. u ) )
124	106, 113, 123	3bitr4d 285	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> ( ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) C_ u <-> ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) )
125	67, 124	anbi12d 710	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> ( ( B e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) C_ u ) <-> ( B e. w /\ ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) )
126	125	rexbidva 2975	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) -> ( E. w e. K ( B e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) C_ u ) <-> E. w e. K ( B e. w /\ ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) )
127	53, 63, 126	3bitrd 279	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) -> ( E. v e. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) <-> E. w e. K ( B e. w /\ ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) )
128	127	anassrs 648	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ u e. K ) /\ C e. u ) -> ( E. v e. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) <-> E. w e. K ( B e. w /\ ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) )
129	128	pm5.74da 687	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ u e. K ) -> ( ( C e. u -> E. v e. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) ) <-> ( C e. u -> E. w e. K ( B e. w /\ ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) ) )
130	45, 129	bitrd 253	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ u e. K ) -> ( ( ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) ` B ) e. u -> E. v e. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) ) <-> ( C e. u -> E. w e. K ( B e. w /\ ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) ) )
131	130	ralbidva 2903	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( A. u e. K ( ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) ` B ) e. u -> E. v e. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) ) <-> A. u e. K ( C e. u -> E. w e. K ( B e. w /\ ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) ) )
132	11, 39, 131	3bitrd 279	. . 3 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( C e. ( F lim CC B ) <-> A. u e. K ( C e. u -> E. w e. K ( B e. w /\ ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) ) )
133	132	pm5.32da 641	. 2 |- ( ph -> ( ( C e. CC /\ C e. ( F lim CC B ) ) <-> ( C e. CC /\ A. u e. K ( C e. u -> E. w e. K ( B e. w /\ ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) ) ) )
134	3, 133	syl5bb 257	1 |- ( ph -> ( C e. ( F lim CC B ) <-> ( C e. CC /\ A. u e. K ( C e. u -> E. w e. K ( B e. w /\ ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2817   E.wrex 2818   _Vcvv 3118   \ cdif 3478   u. cun 3479   i^i cin 3480   C_ wss 3481   ifcif 3945   {csn 4033   |-> cmpt 4511   dom cdm 5005   ran crn 5006   |` cres 5007   "cima 5008   Fun wfun 5588   Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   CCcc 9502   ↾_t crest 14693   TopOpenctopn 14694  ℂ_fldccnfld 18290   Topctop 19263  TopOnctopon 19264   CnP ccnp 19594   lim CC climc 22134

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fi 7883  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-fz 11685  df-seq 12088  df-exp 12147  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-rest 14695  df-topn 14696  df-topgen 14716  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-cnfld 18291  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-cnp 19597  df-xms 20691  df-ms 20692  df-limc 22138

This theorem is referenced by:  limcnlp  22150  ellimc3  22151  limcflf  22153  limcresi  22157  limciun  22166  lhop1lem  22282  limccog  31485