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Theorem ellimc2 22366
Description: Write the definition of a limit directly in terms of open sets of the topology on the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limccl.f  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
limccl.a  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
limccl.b  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
ellimc2.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
ellimc2  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( F lim CC  B )  <-> 
( C  e.  CC  /\ 
A. u  e.  K  ( C  e.  u  ->  E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " (
w  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  u
) ) ) ) )
Distinct variable groups:    w, u, A    u, B, w    ph, u, w    u, C, w    u, F, w    u, K, w

Proof of Theorem ellimc2
Dummy variables  z 
v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccl 22364 . . . 4  |-  ( F lim
CC  B )  C_  CC
21sseli 3413 . . 3  |-  ( C  e.  ( F lim CC  B )  ->  C  e.  CC )
32pm4.71ri 631 . 2  |-  ( C  e.  ( F lim CC  B )  <->  ( C  e.  CC  /\  C  e.  ( F lim CC  B
) ) )
4 eqid 2382 . . . . . 6  |-  ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  =  ( Kt  ( A  u.  { B } ) )
5 ellimc2.k . . . . . 6  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
6 eqid 2382 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )  =  ( z  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
7 limccl.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
8 limccl.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
9 limccl.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
104, 5, 6, 7, 8, 9ellimc 22362 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( F lim CC  B )  <-> 
( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP 
K ) `  B
) ) )
1110adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( C  e.  ( F lim CC  B )  <->  ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP 
K ) `  B
) ) )
125cnfldtopon 21375 . . . . . . 7  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
139snssd 4089 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { B }  C_  CC )
148, 13unssd 3594 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  u.  { B } )  C_  CC )
15 resttopon 19748 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  CC )  /\  ( A  u.  { B } )  C_  CC )  ->  ( Kt  ( A  u.  { B }
) )  e.  (TopOn `  ( A  u.  { B } ) ) )
1612, 14, 15sylancr 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  e.  (TopOn `  ( A  u.  { B } ) ) )
1716adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  e.  (TopOn `  ( A  u.  { B } ) ) )
1812a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  K  e.  (TopOn `  CC )
)
19 ssun2 3582 . . . . . . 7  |-  { B }  C_  ( A  u.  { B } )
20 snssg 4077 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  CC  ->  ( B  e.  ( A  u.  { B } )  <->  { B }  C_  ( A  u.  { B } ) ) )
219, 20syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ( A  u.  { B } )  <->  { B }  C_  ( A  u.  { B } ) ) )
2219, 21mpbiri 233 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A  u.  { B }
) )
2322adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  B  e.  ( A  u.  { B } ) )
24 elun 3559 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( A  u.  { B } )  <->  ( z  e.  A  \/  z  e.  { B } ) )
25 elsn 3958 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  { B }  <->  z  =  B )
2625orbi2i 517 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  A  \/  z  e.  { B } )  <->  ( z  e.  A  \/  z  =  B ) )
2724, 26bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( A  u.  { B } )  <->  ( z  e.  A  \/  z  =  B ) )
28 simpllr 758 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( z  e.  A  \/  z  =  B
) )  /\  z  =  B )  ->  C  e.  CC )
29 pm5.61 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  A  \/  z  =  B
)  /\  -.  z  =  B )  <->  ( z  e.  A  /\  -.  z  =  B ) )
307ffvelrnda 5933 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
3130ad2ant2r 744 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  =  B
) )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
3229, 31sylan2b 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  (
( z  e.  A  \/  z  =  B
)  /\  -.  z  =  B ) )  -> 
( F `  z
)  e.  CC )
3332anassrs 646 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( z  e.  A  \/  z  =  B
) )  /\  -.  z  =  B )  ->  ( F `  z
)  e.  CC )
3428, 33ifclda 3889 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  (
z  e.  A  \/  z  =  B )
)  ->  if (
z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  CC )
3527, 34sylan2b 473 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  z  e.  ( A  u.  { B } ) )  ->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  CC )
3635, 6fmptd 5957 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) : ( A  u.  { B } ) --> CC )
37 iscnp 19824 . . . . . 6  |-  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  e.  (TopOn `  ( A  u.  { B } ) )  /\  K  e.  (TopOn `  CC )  /\  B  e.  ( A  u.  { B } ) )  -> 
( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP 
K ) `  B
)  <->  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) : ( A  u.  { B } ) --> CC  /\  A. u  e.  K  ( ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) `
 B )  e.  u  ->  E. v  e.  ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) ( B  e.  v  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) " v
)  C_  u )
) ) ) )
3837baibd 907 . . . . 5  |-  ( ( ( ( Kt  ( A  u.  { B }
) )  e.  (TopOn `  ( A  u.  { B } ) )  /\  K  e.  (TopOn `  CC )  /\  B  e.  ( A  u.  { B } ) )  /\  ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) : ( A  u.  { B } ) --> CC )  ->  ( (
z  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP 
K ) `  B
)  <->  A. u  e.  K  ( ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) `  B
)  e.  u  ->  E. v  e.  ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) ( B  e.  v  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" v )  C_  u ) ) ) )
3917, 18, 23, 36, 38syl31anc 1229 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( z  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP 
K ) `  B
)  <->  A. u  e.  K  ( ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) `  B
)  e.  u  ->  E. v  e.  ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) ( B  e.  v  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" v )  C_  u ) ) ) )
40 iftrue 3863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  B  ->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  =  C )
4140, 6fvmptg 5855 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  ( A  u.  { B }
)  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( z  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) `
 B )  =  C )
4222, 41sylan 469 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( z  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) `
 B )  =  C )
4342eleq1d 2451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) `
 B )  e.  u  <->  C  e.  u
) )
4443imbi1d 315 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) `
 B )  e.  u  ->  E. v  e.  ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) ( B  e.  v  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) " v
)  C_  u )
)  <->  ( C  e.  u  ->  E. v  e.  ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) ( B  e.  v  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) " v
)  C_  u )
) ) )
4544adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  u  e.  K )  ->  (
( ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) `  B
)  e.  u  ->  E. v  e.  ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) ( B  e.  v  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" v )  C_  u ) )  <->  ( C  e.  u  ->  E. v  e.  ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) ( B  e.  v  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) " v
)  C_  u )
) ) )
465cnfldtop 21376 . . . . . . . . . . 11  |-  K  e. 
Top
47 cnex 9484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  CC  e.  _V
4847ssex 4509 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  u.  { B } )  C_  CC  ->  ( A  u.  { B } )  e.  _V )
4914, 48syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A  u.  { B } )  e.  _V )
5049ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  (
u  e.  K  /\  C  e.  u )
)  ->  ( A  u.  { B } )  e.  _V )
51 restval 14834 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Top  /\  ( A  u.  { B } )  e.  _V )  ->  ( Kt  ( A  u.  { B }
) )  =  ran  ( w  e.  K  |->  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) ) )
5246, 50, 51sylancr 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  (
u  e.  K  /\  C  e.  u )
)  ->  ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  =  ran  ( w  e.  K  |->  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) ) )
5352rexeqdv 2986 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  (
u  e.  K  /\  C  e.  u )
)  ->  ( E. v  e.  ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) ( B  e.  v  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" v )  C_  u )  <->  E. v  e.  ran  ( w  e.  K  |->  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) ) ( B  e.  v  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) " v
)  C_  u )
) )
54 vex 3037 . . . . . . . . . . . 12  |-  w  e. 
_V
5554inex1 4506 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  e.  _V
5655rgenw 2743 . . . . . . . . . 10  |-  A. w  e.  K  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  e. 
_V
57 eqid 2382 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  K  |->  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) )  =  ( w  e.  K  |->  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) )
58 eleq2 2455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  -> 
( B  e.  v  <-> 
B  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) ) )
59 imaeq2 5245 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  -> 
( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" v )  =  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) ) )
6059sseq1d 3444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  -> 
( ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) " v
)  C_  u  <->  ( (
z  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) ) 
C_  u ) )
6158, 60anbi12d 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  -> 
( ( B  e.  v  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" v )  C_  u )  <->  ( B  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) )
6257, 61rexrnmpt 5943 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. w  e.  K  (
w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  e.  _V  ->  ( E. v  e.  ran  ( w  e.  K  |->  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) ) ( B  e.  v  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) " v
)  C_  u )  <->  E. w  e.  K  ( B  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) " (
w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) )  C_  u
) ) )
6356, 62mp1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  (
u  e.  K  /\  C  e.  u )
)  ->  ( E. v  e.  ran  ( w  e.  K  |->  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) ) ( B  e.  v  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" v )  C_  u )  <->  E. w  e.  K  ( B  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) )
6422ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  B  e.  ( A  u.  { B } ) )
65 elin 3601 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  <->  ( B  e.  w  /\  B  e.  ( A  u.  { B } ) ) )
6665rbaib 904 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  ( A  u.  { B } )  -> 
( B  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B }
) )  <->  B  e.  w ) )
6764, 66syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  ( B  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  <->  B  e.  w ) )
68 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  C  e.  CC )
69 fvex 5784 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F `
 z )  e. 
_V
70 ifexg 3926 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( C  e.  CC  /\  ( F `  z )  e.  _V )  ->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  _V )
7168, 69, 70sylancl 660 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  _V )
7271ralrimivw 2797 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  A. z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  _V )
73 eqid 2382 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )  =  ( z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) 
|->  if ( z  =  B ,  C , 
( F `  z
) ) )
7473fnmpt 5615 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  _V  ->  ( z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) 
|->  if ( z  =  B ,  C , 
( F `  z
) ) )  Fn  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) )
7573fmpt 5954 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u  <->  ( z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) : ( w  i^i  ( A  u.  { B }
) ) --> u )
76 df-f 5500 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) 
|->  if ( z  =  B ,  C , 
( F `  z
) ) ) : ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) --> u  <-> 
( ( z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )  Fn  (
w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  /\  ran  (
z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) 
|->  if ( z  =  B ,  C , 
( F `  z
) ) )  C_  u ) )
7775, 76bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u  <->  ( (
z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) 
|->  if ( z  =  B ,  C , 
( F `  z
) ) )  Fn  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  /\  ran  ( z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B }
) )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) 
C_  u ) )
7877baib 901 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) 
|->  if ( z  =  B ,  C , 
( F `  z
) ) )  Fn  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  -> 
( A. z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u  <->  ran  ( z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )  C_  u
) )
7972, 74, 783syl 20 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  ( A. z  e.  (
w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u  <->  ran  ( z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )  C_  u
) )
80 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  C  e.  u )
81 inss2 3633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  i^i  { B }
)  C_  { B }
8281sseli 3413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  ( w  i^i 
{ B } )  ->  z  e.  { B } )
8325, 40sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  { B }  ->  if ( z  =  B ,  C , 
( F `  z
) )  =  C )
8483eleq1d 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  { B }  ->  ( if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u  <->  C  e.  u
) )
8582, 84syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  ( w  i^i 
{ B } )  ->  ( if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u  <->  C  e.  u
) )
8680, 85syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  (
z  e.  ( w  i^i  { B }
)  ->  if (
z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u ) )
8786ralrimiv 2794 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  A. z  e.  ( w  i^i  { B } ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u )
88 undif1 3819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  \  { B } )  u.  { B } )  =  ( A  u.  { B } )
8988ineq2i 3611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  i^i  ( ( A 
\  { B }
)  u.  { B } ) )  =  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )
90 indi 3669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  i^i  ( ( A 
\  { B }
)  u.  { B } ) )  =  ( ( w  i^i  ( A  \  { B } ) )  u.  ( w  i^i  { B } ) )
9189, 90eqtr3i 2413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  =  ( ( w  i^i  ( A  \  { B } ) )  u.  ( w  i^i 
{ B } ) )
9291raleqi 2983 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u  <->  A. z  e.  ( ( w  i^i  ( A  \  { B } ) )  u.  ( w  i^i  { B } ) ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u )
93 ralunb 3599 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. z  e.  ( (
w  i^i  ( A  \  { B } ) )  u.  ( w  i^i  { B }
) ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u  <->  ( A. z  e.  ( w  i^i  ( A  \  { B }
) ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u  /\  A. z  e.  ( w  i^i  { B } ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u ) )
9492, 93bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u  <->  ( A. z  e.  ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u  /\  A. z  e.  ( w  i^i  { B }
) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u ) )
9594rbaib 904 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. z  e.  ( w  i^i  { B } ) if ( z  =  B ,  C , 
( F `  z
) )  e.  u  ->  ( A. z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u  <->  A. z  e.  ( w  i^i  ( A  \  { B }
) ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u ) )
9687, 95syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  ( A. z  e.  (
w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u  <->  A. z  e.  ( w  i^i  ( A 
\  { B }
) ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u ) )
9779, 96bitr3d 255 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  ( ran  ( z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B }
) )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) 
C_  u  <->  A. z  e.  ( w  i^i  ( A  \  { B }
) ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u ) )
98 inss2 3633 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) 
C_  ( A  \  { B } )
9998sseli 3413 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  ( w  i^i  ( A  \  { B } ) )  -> 
z  e.  ( A 
\  { B }
) )
100 eldifsni 4070 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  ( A  \  { B } )  -> 
z  =/=  B )
101 ifnefalse 3869 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =/=  B  ->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  =  ( F `
 z ) )
102100, 101syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  ( A  \  { B } )  ->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  =  ( F `
 z ) )
103102eleq1d 2451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  ( A  \  { B } )  -> 
( if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u  <->  ( F `  z )  e.  u
) )
10499, 103syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( w  i^i  ( A  \  { B } ) )  -> 
( if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u  <->  ( F `  z )  e.  u
) )
105104ralbiia 2812 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. z  e.  ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u  <->  A. z  e.  ( w  i^i  ( A  \  { B }
) ) ( F `
 z )  e.  u )
10697, 105syl6bb 261 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  ( ran  ( z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B }
) )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) 
C_  u  <->  A. z  e.  ( w  i^i  ( A  \  { B }
) ) ( F `
 z )  e.  u ) )
107 df-ima 4926 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) )  =  ran  ( ( z  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )  |`  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) )
108 inss2 3633 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) 
C_  ( A  u.  { B } )
109 resmpt 5235 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  i^i  ( A  u.  { B }
) )  C_  ( A  u.  { B } )  ->  (
( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )  |`  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) )  =  ( z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) )
110108, 109mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  (
( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )  |`  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) )  =  ( z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) )
111110rneqd 5143 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  ran  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )  |`  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) )  =  ran  ( z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) )
112107, 111syl5eq 2435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  (
( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) )  =  ran  ( z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) )
113112sseq1d 3444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  (
( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) ) 
C_  u  <->  ran  ( z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )  C_  u
) )
1147ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  F : A --> CC )
115 ffun 5641 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : A --> CC  ->  Fun 
F )
116114, 115syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  Fun  F )
117 difss 3545 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A 
\  { B }
)  C_  A
11898, 117sstri 3426 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) 
C_  A
119 fdm 5643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F : A --> CC  ->  dom 
F  =  A )
120114, 119syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  dom  F  =  A )
121118, 120syl5sseqr 3466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  (
w  i^i  ( A  \  { B } ) )  C_  dom  F )
122 funimass4 5825 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Fun  F  /\  (
w  i^i  ( A  \  { B } ) )  C_  dom  F )  ->  ( ( F
" ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u  <->  A. z  e.  ( w  i^i  ( A  \  { B }
) ) ( F `
 z )  e.  u ) )
123116, 121, 122syl2anc 659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  (
( F " (
w  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  u  <->  A. z  e.  ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) ( F `  z
)  e.  u ) )
124106, 113, 1233bitr4d 285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  (
( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) ) 
C_  u  <->  ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  u ) )
12567, 124anbi12d 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  (
( B  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B }
) )  /\  (
( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) ) 
C_  u )  <->  ( B  e.  w  /\  ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) )
126125rexbidva 2890 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  (
u  e.  K  /\  C  e.  u )
)  ->  ( E. w  e.  K  ( B  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) ) 
C_  u )  <->  E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) )
12753, 63, 1263bitrd 279 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  (
u  e.  K  /\  C  e.  u )
)  ->  ( E. v  e.  ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) ( B  e.  v  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" v )  C_  u )  <->  E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) )
128127anassrs 646 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  u  e.  K
)  /\  C  e.  u )  ->  ( E. v  e.  ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) ( B  e.  v  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" v )  C_  u )  <->  E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) )
129128pm5.74da 685 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  u  e.  K )  ->  (
( C  e.  u  ->  E. v  e.  ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) ( B  e.  v  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" v )  C_  u ) )  <->  ( C  e.  u  ->  E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) ) )
13045, 129bitrd 253 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  u  e.  K )  ->  (
( ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) `  B
)  e.  u  ->  E. v  e.  ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) ( B  e.  v  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" v )  C_  u ) )  <->  ( C  e.  u  ->  E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) ) )
131130ralbidva 2818 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( A. u  e.  K  (
( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) `
 B )  e.  u  ->  E. v  e.  ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) ( B  e.  v  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) " v
)  C_  u )
)  <->  A. u  e.  K  ( C  e.  u  ->  E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " (
w  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  u
) ) ) )
13211, 39, 1313bitrd 279 . . 3  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( C  e.  ( F lim CC  B )  <->  A. u  e.  K  ( C  e.  u  ->  E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) ) )
133132pm5.32da 639 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( C  e.  CC  /\  C  e.  ( F lim CC  B
) )  <->  ( C  e.  CC  /\  A. u  e.  K  ( C  e.  u  ->  E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) ) ) )
1343, 133syl5bb 257 1  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( F lim CC  B )  <-> 
( C  e.  CC  /\ 
A. u  e.  K  ( C  e.  u  ->  E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " (
w  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  u
) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1826    =/= wne 2577   A.wral 2732   E.wrex 2733   _Vcvv 3034    \ cdif 3386    u. cun 3387    i^i cin 3388    C_ wss 3389   ifcif 3857   {csn 3944    |-> cmpt 4425   dom cdm 4913   ran crn 4914    |` cres 4915   "cima 4916   Fun wfun 5490    Fn wfn 5491   -->wf 5492   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   CCcc 9401   ↾t crest 14828   TopOpenctopn 14829  ℂfldccnfld 18533   Topctop 19479  TopOnctopon 19480    CnP ccnp 19812   lim CC climc 22351
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-pm 7341  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-fi 7786  df-sup 7816  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-10 10519  df-n0 10713  df-z 10782  df-dec 10896  df-uz 11002  df-q 11102  df-rp 11140  df-xneg 11239  df-xadd 11240  df-xmul 11241  df-fz 11594  df-seq 12011  df-exp 12070  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-starv 14717  df-tset 14721  df-ple 14722  df-ds 14724  df-unif 14725  df-rest 14830  df-topn 14831  df-topgen 14851  df-psmet 18524  df-xmet 18525  df-met 18526  df-bl 18527  df-mopn 18528  df-cnfld 18534  df-top 19484  df-bases 19486  df-topon 19487  df-topsp 19488  df-cnp 19815  df-xms 20908  df-ms 20909  df-limc 22355
This theorem is referenced by:  limcnlp  22367  ellimc3  22368  limcflf  22370  limcresi  22374  limciun  22383  lhop1lem  22499  limccog  31792
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