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Theorem ellimc2 21468
Description: Write the definition of a limit directly in terms of open sets of the topology on the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limccl.f  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
limccl.a  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
limccl.b  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
ellimc2.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
ellimc2  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( F lim CC  B )  <-> 
( C  e.  CC  /\ 
A. u  e.  K  ( C  e.  u  ->  E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " (
w  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  u
) ) ) ) )
Distinct variable groups:    w, u, A    u, B, w    ph, u, w    u, C, w    u, F, w    u, K, w

Proof of Theorem ellimc2
Dummy variables  z 
v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccl 21466 . . . 4  |-  ( F lim
CC  B )  C_  CC
21sseli 3450 . . 3  |-  ( C  e.  ( F lim CC  B )  ->  C  e.  CC )
32pm4.71ri 633 . 2  |-  ( C  e.  ( F lim CC  B )  <->  ( C  e.  CC  /\  C  e.  ( F lim CC  B
) ) )
4 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  =  ( Kt  ( A  u.  { B } ) )
5 ellimc2.k . . . . . 6  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
6 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )  =  ( z  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
7 limccl.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
8 limccl.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
9 limccl.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
104, 5, 6, 7, 8, 9ellimc 21464 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( F lim CC  B )  <-> 
( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP 
K ) `  B
) ) )
1110adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( C  e.  ( F lim CC  B )  <->  ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP 
K ) `  B
) ) )
125cnfldtopon 20478 . . . . . . 7  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
139snssd 4116 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { B }  C_  CC )
148, 13unssd 3630 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  u.  { B } )  C_  CC )
15 resttopon 18881 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  CC )  /\  ( A  u.  { B } )  C_  CC )  ->  ( Kt  ( A  u.  { B }
) )  e.  (TopOn `  ( A  u.  { B } ) ) )
1612, 14, 15sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  e.  (TopOn `  ( A  u.  { B } ) ) )
1716adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  e.  (TopOn `  ( A  u.  { B } ) ) )
1812a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  K  e.  (TopOn `  CC )
)
19 ssun2 3618 . . . . . . 7  |-  { B }  C_  ( A  u.  { B } )
20 snssg 4105 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  CC  ->  ( B  e.  ( A  u.  { B } )  <->  { B }  C_  ( A  u.  { B } ) ) )
219, 20syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ( A  u.  { B } )  <->  { B }  C_  ( A  u.  { B } ) ) )
2219, 21mpbiri 233 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A  u.  { B }
) )
2322adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  B  e.  ( A  u.  { B } ) )
24 elun 3595 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( A  u.  { B } )  <->  ( z  e.  A  \/  z  e.  { B } ) )
25 elsn 3989 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  { B }  <->  z  =  B )
2625orbi2i 519 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  A  \/  z  e.  { B } )  <->  ( z  e.  A  \/  z  =  B ) )
2724, 26bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( A  u.  { B } )  <->  ( z  e.  A  \/  z  =  B ) )
28 simpllr 758 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( z  e.  A  \/  z  =  B
) )  /\  z  =  B )  ->  C  e.  CC )
29 pm5.61 712 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  A  \/  z  =  B
)  /\  -.  z  =  B )  <->  ( z  e.  A  /\  -.  z  =  B ) )
307ffvelrnda 5942 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
3130ad2ant2r 746 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  =  B
) )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
3229, 31sylan2b 475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  (
( z  e.  A  \/  z  =  B
)  /\  -.  z  =  B ) )  -> 
( F `  z
)  e.  CC )
3332anassrs 648 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( z  e.  A  \/  z  =  B
) )  /\  -.  z  =  B )  ->  ( F `  z
)  e.  CC )
3428, 33ifclda 3919 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  (
z  e.  A  \/  z  =  B )
)  ->  if (
z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  CC )
3527, 34sylan2b 475 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  z  e.  ( A  u.  { B } ) )  ->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  CC )
3635, 6fmptd 5966 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) : ( A  u.  { B } ) --> CC )
37 iscnp 18957 . . . . . 6  |-  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  e.  (TopOn `  ( A  u.  { B } ) )  /\  K  e.  (TopOn `  CC )  /\  B  e.  ( A  u.  { B } ) )  -> 
( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP 
K ) `  B
)  <->  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) : ( A  u.  { B } ) --> CC  /\  A. u  e.  K  ( ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) `
 B )  e.  u  ->  E. v  e.  ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) ( B  e.  v  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) " v
)  C_  u )
) ) ) )
3837baibd 900 . . . . 5  |-  ( ( ( ( Kt  ( A  u.  { B }
) )  e.  (TopOn `  ( A  u.  { B } ) )  /\  K  e.  (TopOn `  CC )  /\  B  e.  ( A  u.  { B } ) )  /\  ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) : ( A  u.  { B } ) --> CC )  ->  ( (
z  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP 
K ) `  B
)  <->  A. u  e.  K  ( ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) `  B
)  e.  u  ->  E. v  e.  ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) ( B  e.  v  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" v )  C_  u ) ) ) )
3917, 18, 23, 36, 38syl31anc 1222 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( z  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP 
K ) `  B
)  <->  A. u  e.  K  ( ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) `  B
)  e.  u  ->  E. v  e.  ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) ( B  e.  v  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" v )  C_  u ) ) ) )
40 iftrue 3895 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  B  ->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  =  C )
4140, 6fvmptg 5871 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  ( A  u.  { B }
)  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( z  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) `
 B )  =  C )
4222, 41sylan 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( z  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) `
 B )  =  C )
4342eleq1d 2520 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) `
 B )  e.  u  <->  C  e.  u
) )
4443imbi1d 317 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) `
 B )  e.  u  ->  E. v  e.  ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) ( B  e.  v  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) " v
)  C_  u )
)  <->  ( C  e.  u  ->  E. v  e.  ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) ( B  e.  v  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) " v
)  C_  u )
) ) )
4544adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  u  e.  K )  ->  (
( ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) `  B
)  e.  u  ->  E. v  e.  ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) ( B  e.  v  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" v )  C_  u ) )  <->  ( C  e.  u  ->  E. v  e.  ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) ( B  e.  v  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) " v
)  C_  u )
) ) )
465cnfldtop 20479 . . . . . . . . . . 11  |-  K  e. 
Top
47 cnex 9464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  CC  e.  _V
4847ssex 4534 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  u.  { B } )  C_  CC  ->  ( A  u.  { B } )  e.  _V )
4914, 48syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A  u.  { B } )  e.  _V )
5049ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  (
u  e.  K  /\  C  e.  u )
)  ->  ( A  u.  { B } )  e.  _V )
51 restval 14467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Top  /\  ( A  u.  { B } )  e.  _V )  ->  ( Kt  ( A  u.  { B }
) )  =  ran  ( w  e.  K  |->  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) ) )
5246, 50, 51sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  (
u  e.  K  /\  C  e.  u )
)  ->  ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  =  ran  ( w  e.  K  |->  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) ) )
5352rexeqdv 3020 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  (
u  e.  K  /\  C  e.  u )
)  ->  ( E. v  e.  ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) ( B  e.  v  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" v )  C_  u )  <->  E. v  e.  ran  ( w  e.  K  |->  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) ) ( B  e.  v  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) " v
)  C_  u )
) )
54 vex 3071 . . . . . . . . . . . 12  |-  w  e. 
_V
5554inex1 4531 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  e.  _V
5655rgenw 2891 . . . . . . . . . 10  |-  A. w  e.  K  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  e. 
_V
57 eqid 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  K  |->  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) )  =  ( w  e.  K  |->  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) )
58 eleq2 2524 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  -> 
( B  e.  v  <-> 
B  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) ) )
59 imaeq2 5263 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  -> 
( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" v )  =  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) ) )
6059sseq1d 3481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  -> 
( ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) " v
)  C_  u  <->  ( (
z  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) ) 
C_  u ) )
6158, 60anbi12d 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  -> 
( ( B  e.  v  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" v )  C_  u )  <->  ( B  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) )
6257, 61rexrnmpt 5952 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. w  e.  K  (
w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  e.  _V  ->  ( E. v  e.  ran  ( w  e.  K  |->  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) ) ( B  e.  v  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) " v
)  C_  u )  <->  E. w  e.  K  ( B  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) " (
w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) )  C_  u
) ) )
6356, 62mp1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  (
u  e.  K  /\  C  e.  u )
)  ->  ( E. v  e.  ran  ( w  e.  K  |->  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) ) ( B  e.  v  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" v )  C_  u )  <->  E. w  e.  K  ( B  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) )
6422ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  B  e.  ( A  u.  { B } ) )
65 elin 3637 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  <->  ( B  e.  w  /\  B  e.  ( A  u.  { B } ) ) )
6665rbaib 898 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  ( A  u.  { B } )  -> 
( B  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B }
) )  <->  B  e.  w ) )
6764, 66syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  ( B  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  <->  B  e.  w ) )
68 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  C  e.  CC )
69 fvex 5799 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F `
 z )  e. 
_V
70 ifexg 3957 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( C  e.  CC  /\  ( F `  z )  e.  _V )  ->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  _V )
7168, 69, 70sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  _V )
7271ralrimivw 2823 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  A. z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  _V )
73 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )  =  ( z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) 
|->  if ( z  =  B ,  C , 
( F `  z
) ) )
7473fnmpt 5635 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  _V  ->  ( z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) 
|->  if ( z  =  B ,  C , 
( F `  z
) ) )  Fn  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) )
7573fmpt 5963 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u  <->  ( z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) : ( w  i^i  ( A  u.  { B }
) ) --> u )
76 df-f 5520 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) 
|->  if ( z  =  B ,  C , 
( F `  z
) ) ) : ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) --> u  <-> 
( ( z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )  Fn  (
w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  /\  ran  (
z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) 
|->  if ( z  =  B ,  C , 
( F `  z
) ) )  C_  u ) )
7775, 76bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u  <->  ( (
z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) 
|->  if ( z  =  B ,  C , 
( F `  z
) ) )  Fn  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  /\  ran  ( z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B }
) )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) 
C_  u ) )
7877baib 896 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) 
|->  if ( z  =  B ,  C , 
( F `  z
) ) )  Fn  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  -> 
( A. z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u  <->  ran  ( z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )  C_  u
) )
7972, 74, 783syl 20 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  ( A. z  e.  (
w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u  <->  ran  ( z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )  C_  u
) )
80 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  C  e.  u )
81 inss2 3669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  i^i  { B }
)  C_  { B }
8281sseli 3450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  ( w  i^i 
{ B } )  ->  z  e.  { B } )
8325, 40sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  { B }  ->  if ( z  =  B ,  C , 
( F `  z
) )  =  C )
8483eleq1d 2520 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  { B }  ->  ( if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u  <->  C  e.  u
) )
8582, 84syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  ( w  i^i 
{ B } )  ->  ( if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u  <->  C  e.  u
) )
8680, 85syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  (
z  e.  ( w  i^i  { B }
)  ->  if (
z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u ) )
8786ralrimiv 2820 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  A. z  e.  ( w  i^i  { B } ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u )
88 undif1 3852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  \  { B } )  u.  { B } )  =  ( A  u.  { B } )
8988ineq2i 3647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  i^i  ( ( A 
\  { B }
)  u.  { B } ) )  =  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )
90 indi 3694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  i^i  ( ( A 
\  { B }
)  u.  { B } ) )  =  ( ( w  i^i  ( A  \  { B } ) )  u.  ( w  i^i  { B } ) )
9189, 90eqtr3i 2482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  =  ( ( w  i^i  ( A  \  { B } ) )  u.  ( w  i^i 
{ B } ) )
9291raleqi 3017 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u  <->  A. z  e.  ( ( w  i^i  ( A  \  { B } ) )  u.  ( w  i^i  { B } ) ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u )
93 ralunb 3635 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. z  e.  ( (
w  i^i  ( A  \  { B } ) )  u.  ( w  i^i  { B }
) ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u  <->  ( A. z  e.  ( w  i^i  ( A  \  { B }
) ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u  /\  A. z  e.  ( w  i^i  { B } ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u ) )
9492, 93bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u  <->  ( A. z  e.  ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u  /\  A. z  e.  ( w  i^i  { B }
) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u ) )
9594rbaib 898 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. z  e.  ( w  i^i  { B } ) if ( z  =  B ,  C , 
( F `  z
) )  e.  u  ->  ( A. z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u  <->  A. z  e.  ( w  i^i  ( A  \  { B }
) ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u ) )
9687, 95syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  ( A. z  e.  (
w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u  <->  A. z  e.  ( w  i^i  ( A 
\  { B }
) ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u ) )
9779, 96bitr3d 255 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  ( ran  ( z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B }
) )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) 
C_  u  <->  A. z  e.  ( w  i^i  ( A  \  { B }
) ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u ) )
98 inss2 3669 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) 
C_  ( A  \  { B } )
9998sseli 3450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  ( w  i^i  ( A  \  { B } ) )  -> 
z  e.  ( A 
\  { B }
) )
100 eldifsni 4099 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  ( A  \  { B } )  -> 
z  =/=  B )
101 ifnefalse 3899 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =/=  B  ->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  =  ( F `
 z ) )
102100, 101syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  ( A  \  { B } )  ->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  =  ( F `
 z ) )
103102eleq1d 2520 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  ( A  \  { B } )  -> 
( if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u  <->  ( F `  z )  e.  u
) )
10499, 103syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( w  i^i  ( A  \  { B } ) )  -> 
( if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u  <->  ( F `  z )  e.  u
) )
105104ralbiia 2830 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. z  e.  ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  u  <->  A. z  e.  ( w  i^i  ( A  \  { B }
) ) ( F `
 z )  e.  u )
10697, 105syl6bb 261 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  ( ran  ( z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B }
) )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) 
C_  u  <->  A. z  e.  ( w  i^i  ( A  \  { B }
) ) ( F `
 z )  e.  u ) )
107 df-ima 4951 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) )  =  ran  ( ( z  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )  |`  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) )
108 inss2 3669 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) 
C_  ( A  u.  { B } )
109 resmpt 5254 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  i^i  ( A  u.  { B }
) )  C_  ( A  u.  { B } )  ->  (
( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )  |`  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) )  =  ( z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) )
110108, 109mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  (
( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )  |`  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) )  =  ( z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) )
111110rneqd 5165 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  ran  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )  |`  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) )  =  ran  ( z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) )
112107, 111syl5eq 2504 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  (
( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) )  =  ran  ( z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) )
113112sseq1d 3481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  (
( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) ) 
C_  u  <->  ran  ( z  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )  C_  u
) )
1147ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  F : A --> CC )
115 ffun 5659 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : A --> CC  ->  Fun 
F )
116114, 115syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  Fun  F )
117 difss 3581 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A 
\  { B }
)  C_  A
11898, 117sstri 3463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) 
C_  A
119 fdm 5661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F : A --> CC  ->  dom 
F  =  A )
120114, 119syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  dom  F  =  A )
121118, 120syl5sseqr 3503 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  (
w  i^i  ( A  \  { B } ) )  C_  dom  F )
122 funimass4 5841 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Fun  F  /\  (
w  i^i  ( A  \  { B } ) )  C_  dom  F )  ->  ( ( F
" ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u  <->  A. z  e.  ( w  i^i  ( A  \  { B }
) ) ( F `
 z )  e.  u ) )
123116, 121, 122syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  (
( F " (
w  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  u  <->  A. z  e.  ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) ( F `  z
)  e.  u ) )
124106, 113, 1233bitr4d 285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  (
( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) ) 
C_  u  <->  ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  u ) )
12567, 124anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  C  e.  u
) )  /\  w  e.  K )  ->  (
( B  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B }
) )  /\  (
( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) ) 
C_  u )  <->  ( B  e.  w  /\  ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) )
126125rexbidva 2842 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  (
u  e.  K  /\  C  e.  u )
)  ->  ( E. w  e.  K  ( B  e.  ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) )  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" ( w  i^i  ( A  u.  { B } ) ) ) 
C_  u )  <->  E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) )
12753, 63, 1263bitrd 279 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  (
u  e.  K  /\  C  e.  u )
)  ->  ( E. v  e.  ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) ( B  e.  v  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" v )  C_  u )  <->  E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) )
128127anassrs 648 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  u  e.  K
)  /\  C  e.  u )  ->  ( E. v  e.  ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) ( B  e.  v  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" v )  C_  u )  <->  E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) )
129128pm5.74da 687 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  u  e.  K )  ->  (
( C  e.  u  ->  E. v  e.  ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) ( B  e.  v  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" v )  C_  u ) )  <->  ( C  e.  u  ->  E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) ) )
13045, 129bitrd 253 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  CC )  /\  u  e.  K )  ->  (
( ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) `  B
)  e.  u  ->  E. v  e.  ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) ( B  e.  v  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
" v )  C_  u ) )  <->  ( C  e.  u  ->  E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) ) )
131130ralbidva 2837 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( A. u  e.  K  (
( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) `
 B )  e.  u  ->  E. v  e.  ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) ( B  e.  v  /\  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) ) " v
)  C_  u )
)  <->  A. u  e.  K  ( C  e.  u  ->  E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " (
w  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  u
) ) ) )
13211, 39, 1313bitrd 279 . . 3  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( C  e.  ( F lim CC  B )  <->  A. u  e.  K  ( C  e.  u  ->  E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) ) )
133132pm5.32da 641 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( C  e.  CC  /\  C  e.  ( F lim CC  B
) )  <->  ( C  e.  CC  /\  A. u  e.  K  ( C  e.  u  ->  E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) ) ) )
1343, 133syl5bb 257 1  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( F lim CC  B )  <-> 
( C  e.  CC  /\ 
A. u  e.  K  ( C  e.  u  ->  E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " (
w  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  u
) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644   A.wral 2795   E.wrex 2796   _Vcvv 3068    \ cdif 3423    u. cun 3424    i^i cin 3425    C_ wss 3426   ifcif 3889   {csn 3975    |-> cmpt 4448   dom cdm 4938   ran crn 4939    |` cres 4940   "cima 4941   Fun wfun 5510    Fn wfn 5511   -->wf 5512   ` cfv 5516  (class class class)co 6190   CCcc 9381   ↾t crest 14461   TopOpenctopn 14462  ℂfldccnfld 17927   Topctop 18614  TopOnctopon 18615    CnP ccnp 18945   lim CC climc 21453
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460  ax-pre-sup 9461
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-1o 7020  df-oadd 7024  df-er 7201  df-map 7316  df-pm 7317  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-fin 7414  df-fi 7762  df-sup 7792  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-div 10095  df-nn 10424  df-2 10481  df-3 10482  df-4 10483  df-5 10484  df-6 10485  df-7 10486  df-8 10487  df-9 10488  df-10 10489  df-n0 10681  df-z 10748  df-dec 10857  df-uz 10963  df-q 11055  df-rp 11093  df-xneg 11190  df-xadd 11191  df-xmul 11192  df-fz 11539  df-seq 11908  df-exp 11967  df-cj 12690  df-re 12691  df-im 12692  df-sqr 12826  df-abs 12827  df-struct 14278  df-ndx 14279  df-slot 14280  df-base 14281  df-plusg 14353  df-mulr 14354  df-starv 14355  df-tset 14359  df-ple 14360  df-ds 14362  df-unif 14363  df-rest 14463  df-topn 14464  df-topgen 14484  df-psmet 17918  df-xmet 17919  df-met 17920  df-bl 17921  df-mopn 17922  df-cnfld 17928  df-top 18619  df-bases 18621  df-topon 18622  df-topsp 18623  df-cnp 18948  df-xms 20011  df-ms 20012  df-limc 21457
This theorem is referenced by:  limcnlp  21469  ellimc3  21470  limcflf  21472  limcresi  21476  limciun  21485  lhop1lem  21601
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