Theorem ellimc2 21468

Description: Write the definition of a limit directly in terms of open sets of the topology on the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
limccl.f	|- ( ph -> F : A --> CC )
limccl.a	|- ( ph -> A C_ CC )
limccl.b	|- ( ph -> B e. CC )
ellimc2.k	|- K = ( TopOpen ` ℂfld )

Assertion

Ref	Expression
ellimc2	|- ( ph -> ( C e. ( F lim CC B ) <-> ( C e. CC /\ A. u e. K ( C e. u -> E. w e. K ( B e. w /\ ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   w, u, A   u, B, w   ph, u, w   u, C, w   u, F, w   u, K, w

Proof of Theorem ellimc2

Dummy variables z v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limccl 21466	. . . 4 |- ( F lim CC B ) C_ CC
2	1	sseli 3450	. . 3 |- ( C e. ( F lim CC B ) -> C e. CC )
3	2	pm4.71ri 633	. 2 |- ( C e. ( F lim CC B ) <-> ( C e. CC /\ C e. ( F lim CC B ) ) )
4		eqid 2451	. . . . . 6 |- ( K ↾t ( A u. { B } ) ) = ( K ↾t ( A u. { B } ) )
5		ellimc2.k	. . . . . 6 |- K = ( TopOpen ` ℂfld )
6		eqid 2451	. . . . . 6 |- ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) = ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) )
7		limccl.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F : A --> CC )
8		limccl.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A C_ CC )
9		limccl.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. CC )
10	4, 5, 6, 7, 8, 9	ellimc 21464	. . . . 5 |- ( ph -> ( C e. ( F lim CC B ) <-> ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) ) )
11	10	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( C e. ( F lim CC B ) <-> ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) ) )
12	5	cnfldtopon 20478	. . . . . . 7 |- K e. (TopOn ` CC )
13	9	snssd 4116	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { B } C_ CC )
14	8, 13	unssd 3630	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A u. { B } ) C_ CC )
15		resttopon 18881	. . . . . . 7 |- ( ( K e. (TopOn ` CC ) /\ ( A u. { B } ) C_ CC ) -> ( K ↾t ( A u. { B } ) ) e. (TopOn ` ( A u. { B } ) ) )
16	12, 14, 15	sylancr 663	. . . . . 6 |- ( ph -> ( K ↾t ( A u. { B } ) ) e. (TopOn ` ( A u. { B } ) ) )
17	16	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( K ↾t ( A u. { B } ) ) e. (TopOn ` ( A u. { B } ) ) )
18	12	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> K e. (TopOn ` CC ) )
19		ssun2 3618	. . . . . . 7 |- { B } C_ ( A u. { B } )
20		snssg 4105	. . . . . . . 8 |- ( B e. CC -> ( B e. ( A u. { B } ) <-> { B } C_ ( A u. { B } ) ) )
21	9, 20	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( B e. ( A u. { B } ) <-> { B } C_ ( A u. { B } ) ) )
22	19, 21	mpbiri 233	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. ( A u. { B } ) )
23	22	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> B e. ( A u. { B } ) )
24		elun 3595	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( A u. { B } ) <-> ( z e. A \/ z e. { B } ) )
25		elsn 3989	. . . . . . . . 9 |- ( z e. { B } <-> z = B )
26	25	orbi2i 519	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. A \/ z e. { B } ) <-> ( z e. A \/ z = B ) )
27	24, 26	bitri 249	. . . . . . 7 |- ( z e. ( A u. { B } ) <-> ( z e. A \/ z = B ) )
28		simpllr 758	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( z e. A \/ z = B ) ) /\ z = B ) -> C e. CC )
29		pm5.61 712	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. A \/ z = B ) /\ -. z = B ) <-> ( z e. A /\ -. z = B ) )
30	7	ffvelrnda 5942	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( F ` z ) e. CC )
31	30	ad2ant2r 746	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( z e. A /\ -. z = B ) ) -> ( F ` z ) e. CC )
32	29, 31	sylan2b 475	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( ( z e. A \/ z = B ) /\ -. z = B ) ) -> ( F ` z ) e. CC )
33	32	anassrs 648	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( z e. A \/ z = B ) ) /\ -. z = B ) -> ( F ` z ) e. CC )
34	28, 33	ifclda 3919	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( z e. A \/ z = B ) ) -> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. CC )
35	27, 34	sylan2b 475	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ z e. ( A u. { B } ) ) -> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. CC )
36	35, 6	fmptd 5966	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) : ( A u. { B } ) --> CC )
37		iscnp 18957	. . . . . 6 |- ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) e. (TopOn ` ( A u. { B } ) ) /\ K e. (TopOn ` CC ) /\ B e. ( A u. { B } ) ) -> ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) <-> ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) : ( A u. { B } ) --> CC /\ A. u e. K ( ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) ` B ) e. u -> E. v e. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) ) ) ) )
38	37	baibd 900	. . . . 5 |- ( ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) e. (TopOn ` ( A u. { B } ) ) /\ K e. (TopOn ` CC ) /\ B e. ( A u. { B } ) ) /\ ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) : ( A u. { B } ) --> CC ) -> ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) <-> A. u e. K ( ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) ` B ) e. u -> E. v e. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) ) ) )
39	17, 18, 23, 36, 38	syl31anc 1222	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) <-> A. u e. K ( ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) ` B ) e. u -> E. v e. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) ) ) )
40		iftrue 3895	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = B -> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) = C )
41	40, 6	fvmptg 5871	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. ( A u. { B } ) /\ C e. CC ) -> ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) ` B ) = C )
42	22, 41	sylan 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) ` B ) = C )
43	42	eleq1d 2520	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) ` B ) e. u <-> C e. u ) )
44	43	imbi1d 317	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( ( ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) ` B ) e. u -> E. v e. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) ) <-> ( C e. u -> E. v e. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) ) ) )
45	44	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ u e. K ) -> ( ( ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) ` B ) e. u -> E. v e. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) ) <-> ( C e. u -> E. v e. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) ) ) )
46	5	cnfldtop 20479	. . . . . . . . . . 11 |- K e. Top
47		cnex 9464	. . . . . . . . . . . . . 14 |- CC e. _V
48	47	ssex 4534	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A u. { B } ) C_ CC -> ( A u. { B } ) e. _V )
49	14, 48	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A u. { B } ) e. _V )
50	49	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) -> ( A u. { B } ) e. _V )
51		restval 14467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. Top /\ ( A u. { B } ) e. _V ) -> ( K ↾t ( A u. { B } ) ) = ran ( w e. K |-> ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) )
52	46, 50, 51	sylancr 663	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) -> ( K ↾t ( A u. { B } ) ) = ran ( w e. K |-> ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) )
53	52	rexeqdv 3020	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) -> ( E. v e. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) <-> E. v e. ran ( w e. K |-> ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) ) )
54		vex 3071	. . . . . . . . . . . 12 |- w e. _V
55	54	inex1 4531	. . . . . . . . . . 11 |- ( w i^i ( A u. { B } ) ) e. _V
56	55	rgenw 2891	. . . . . . . . . 10 |- A. w e. K ( w i^i ( A u. { B } ) ) e. _V
57		eqid 2451	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. K |-> ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) = ( w e. K |-> ( w i^i ( A u. { B } ) ) )
58		eleq2 2524	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = ( w i^i ( A u. { B } ) ) -> ( B e. v <-> B e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) )
59		imaeq2 5263	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = ( w i^i ( A u. { B } ) ) -> ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) = ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) )
60	59	sseq1d 3481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = ( w i^i ( A u. { B } ) ) -> ( ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u <-> ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) C_ u ) )
61	58, 60	anbi12d 710	. . . . . . . . . . 11 |- ( v = ( w i^i ( A u. { B } ) ) -> ( ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) <-> ( B e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) C_ u ) ) )
62	57, 61	rexrnmpt 5952	. . . . . . . . . 10 |- ( A. w e. K ( w i^i ( A u. { B } ) ) e. _V -> ( E. v e. ran ( w e. K |-> ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) <-> E. w e. K ( B e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) C_ u ) ) )
63	56, 62	mp1i 12	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) -> ( E. v e. ran ( w e. K |-> ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) <-> E. w e. K ( B e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) C_ u ) ) )
64	22	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> B e. ( A u. { B } ) )
65		elin 3637	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) <-> ( B e. w /\ B e. ( A u. { B } ) ) )
66	65	rbaib 898	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. ( A u. { B } ) -> ( B e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) <-> B e. w ) )
67	64, 66	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> ( B e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) <-> B e. w ) )
68		simpllr 758	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> C e. CC )
69		fvex 5799	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F ` z ) e. _V
70		ifexg 3957	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( C e. CC /\ ( F ` z ) e. _V ) -> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. _V )
71	68, 69, 70	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. _V )
72	71	ralrimivw 2823	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> A. z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. _V )
73		eqid 2451	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) = ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) )
74	73	fnmpt 5635	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. _V -> ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) Fn ( w i^i ( A u. { B } ) ) )
75	73	fmpt 5963	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u <-> ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) : ( w i^i ( A u. { B } ) ) --> u )
76		df-f 5520	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) : ( w i^i ( A u. { B } ) ) --> u <-> ( ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) Fn ( w i^i ( A u. { B } ) ) /\ ran ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) C_ u ) )
77	75, 76	bitri 249	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u <-> ( ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) Fn ( w i^i ( A u. { B } ) ) /\ ran ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) C_ u ) )
78	77	baib 896	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) Fn ( w i^i ( A u. { B } ) ) -> ( A. z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u <-> ran ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) C_ u ) )
79	72, 74, 78	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> ( A. z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u <-> ran ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) C_ u ) )
80		simplrr 760	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> C e. u )
81		inss2 3669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w i^i { B } ) C_ { B }
82	81	sseli 3450	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. ( w i^i { B } ) -> z e. { B } )
83	25, 40	sylbi 195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z e. { B } -> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) = C )
84	83	eleq1d 2520	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. { B } -> ( if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u <-> C e. u ) )
85	82, 84	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z e. ( w i^i { B } ) -> ( if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u <-> C e. u ) )
86	80, 85	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> ( z e. ( w i^i { B } ) -> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u ) )
87	86	ralrimiv 2820	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> A. z e. ( w i^i { B } ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u )
88		undif1 3852	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A \ { B } ) u. { B } ) = ( A u. { B } )
89	88	ineq2i 3647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w i^i ( ( A \ { B } ) u. { B } ) ) = ( w i^i ( A u. { B } ) )
90		indi 3694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w i^i ( ( A \ { B } ) u. { B } ) ) = ( ( w i^i ( A \ { B } ) ) u. ( w i^i { B } ) )
91	89, 90	eqtr3i 2482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w i^i ( A u. { B } ) ) = ( ( w i^i ( A \ { B } ) ) u. ( w i^i { B } ) )
92	91	raleqi 3017	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u <-> A. z e. ( ( w i^i ( A \ { B } ) ) u. ( w i^i { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u )
93		ralunb 3635	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. z e. ( ( w i^i ( A \ { B } ) ) u. ( w i^i { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u <-> ( A. z e. ( w i^i ( A \ { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u /\ A. z e. ( w i^i { B } ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u ) )
94	92, 93	bitri 249	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u <-> ( A. z e. ( w i^i ( A \ { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u /\ A. z e. ( w i^i { B } ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u ) )
95	94	rbaib 898	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. z e. ( w i^i { B } ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u -> ( A. z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u <-> A. z e. ( w i^i ( A \ { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u ) )
96	87, 95	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> ( A. z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u <-> A. z e. ( w i^i ( A \ { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u ) )
97	79, 96	bitr3d 255	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> ( ran ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) C_ u <-> A. z e. ( w i^i ( A \ { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u ) )
98		inss2 3669	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w i^i ( A \ { B } ) ) C_ ( A \ { B } )
99	98	sseli 3450	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. ( w i^i ( A \ { B } ) ) -> z e. ( A \ { B } ) )
100		eldifsni 4099	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z e. ( A \ { B } ) -> z =/= B )
101		ifnefalse 3899	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z =/= B -> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) = ( F ` z ) )
102	100, 101	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. ( A \ { B } ) -> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) = ( F ` z ) )
103	102	eleq1d 2520	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. ( A \ { B } ) -> ( if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u <-> ( F ` z ) e. u ) )
104	99, 103	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. ( w i^i ( A \ { B } ) ) -> ( if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u <-> ( F ` z ) e. u ) )
105	104	ralbiia 2830	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. z e. ( w i^i ( A \ { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u <-> A. z e. ( w i^i ( A \ { B } ) ) ( F ` z ) e. u )
106	97, 105	syl6bb 261	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> ( ran ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) C_ u <-> A. z e. ( w i^i ( A \ { B } ) ) ( F ` z ) e. u ) )
107		df-ima 4951	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) = ran ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) |` ( w i^i ( A u. { B } ) ) )
108		inss2 3669	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w i^i ( A u. { B } ) ) C_ ( A u. { B } )
109		resmpt 5254	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( w i^i ( A u. { B } ) ) C_ ( A u. { B } ) -> ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) |` ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) = ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) )
110	108, 109	mp1i 12	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) |` ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) = ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) )
111	110	rneqd 5165	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> ran ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) |` ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) = ran ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) )
112	107, 111	syl5eq 2504	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) = ran ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) )
113	112	sseq1d 3481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> ( ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) C_ u <-> ran ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) C_ u ) )
114	7	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> F : A --> CC )
115		ffun 5659	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : A --> CC -> Fun F )
116	114, 115	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> Fun F )
117		difss 3581	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A \ { B } ) C_ A
118	98, 117	sstri 3463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w i^i ( A \ { B } ) ) C_ A
119		fdm 5661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F : A --> CC -> dom F = A )
120	114, 119	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> dom F = A )
121	118, 120	syl5sseqr 3503	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> ( w i^i ( A \ { B } ) ) C_ dom F )
122		funimass4 5841	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun F /\ ( w i^i ( A \ { B } ) ) C_ dom F ) -> ( ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u <-> A. z e. ( w i^i ( A \ { B } ) ) ( F ` z ) e. u ) )
123	116, 121, 122	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> ( ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u <-> A. z e. ( w i^i ( A \ { B } ) ) ( F ` z ) e. u ) )
124	106, 113, 123	3bitr4d 285	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> ( ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) C_ u <-> ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) )
125	67, 124	anbi12d 710	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> ( ( B e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) C_ u ) <-> ( B e. w /\ ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) )
126	125	rexbidva 2842	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) -> ( E. w e. K ( B e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) C_ u ) <-> E. w e. K ( B e. w /\ ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) )
127	53, 63, 126	3bitrd 279	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) -> ( E. v e. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) <-> E. w e. K ( B e. w /\ ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) )
128	127	anassrs 648	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ u e. K ) /\ C e. u ) -> ( E. v e. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) <-> E. w e. K ( B e. w /\ ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) )
129	128	pm5.74da 687	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ u e. K ) -> ( ( C e. u -> E. v e. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) ) <-> ( C e. u -> E. w e. K ( B e. w /\ ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) ) )
130	45, 129	bitrd 253	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ u e. K ) -> ( ( ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) ` B ) e. u -> E. v e. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) ) <-> ( C e. u -> E. w e. K ( B e. w /\ ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) ) )
131	130	ralbidva 2837	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( A. u e. K ( ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) ` B ) e. u -> E. v e. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) ) <-> A. u e. K ( C e. u -> E. w e. K ( B e. w /\ ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) ) )
132	11, 39, 131	3bitrd 279	. . 3 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( C e. ( F lim CC B ) <-> A. u e. K ( C e. u -> E. w e. K ( B e. w /\ ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) ) )
133	132	pm5.32da 641	. 2 |- ( ph -> ( ( C e. CC /\ C e. ( F lim CC B ) ) <-> ( C e. CC /\ A. u e. K ( C e. u -> E. w e. K ( B e. w /\ ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) ) ) )
134	3, 133	syl5bb 257	1 |- ( ph -> ( C e. ( F lim CC B ) <-> ( C e. CC /\ A. u e. K ( C e. u -> E. w e. K ( B e. w /\ ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   =/= wne 2644   A.wral 2795   E.wrex 2796   _Vcvv 3068   \ cdif 3423   u. cun 3424   i^i cin 3425   C_ wss 3426   ifcif 3889   {csn 3975   |-> cmpt 4448   dom cdm 4938   ran crn 4939   |` cres 4940   "cima 4941   Fun wfun 5510   Fn wfn 5511   -->wf 5512   ` cfv 5516  (class class class)co 6190   CCcc 9381   ↾_t crest 14461   TopOpenctopn 14462  ℂ_fldccnfld 17927   Topctop 18614  TopOnctopon 18615   CnP ccnp 18945   lim CC climc 21453

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460  ax-pre-sup 9461

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-1o 7020  df-oadd 7024  df-er 7201  df-map 7316  df-pm 7317  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-fin 7414  df-fi 7762  df-sup 7792  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-div 10095  df-nn 10424  df-2 10481  df-3 10482  df-4 10483  df-5 10484  df-6 10485  df-7 10486  df-8 10487  df-9 10488  df-10 10489  df-n0 10681  df-z 10748  df-dec 10857  df-uz 10963  df-q 11055  df-rp 11093  df-xneg 11190  df-xadd 11191  df-xmul 11192  df-fz 11539  df-seq 11908  df-exp 11967  df-cj 12690  df-re 12691  df-im 12692  df-sqr 12826  df-abs 12827  df-struct 14278  df-ndx 14279  df-slot 14280  df-base 14281  df-plusg 14353  df-mulr 14354  df-starv 14355  df-tset 14359  df-ple 14360  df-ds 14362  df-unif 14363  df-rest 14463  df-topn 14464  df-topgen 14484  df-psmet 17918  df-xmet 17919  df-met 17920  df-bl 17921  df-mopn 17922  df-cnfld 17928  df-top 18619  df-bases 18621  df-topon 18622  df-topsp 18623  df-cnp 18948  df-xms 20011  df-ms 20012  df-limc 21457

This theorem is referenced by:  limcnlp  21469  ellimc3  21470  limcflf  21472  limcresi  21476  limciun  21485  lhop1lem  21601