Theorem ellimc2 21332

Description: Write the definition of a limit directly in terms of open sets of the topology on the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
limccl.f	|- ( ph -> F : A --> CC )
limccl.a	|- ( ph -> A C_ CC )
limccl.b	|- ( ph -> B e. CC )
ellimc2.k	|- K = ( TopOpen ` ℂfld )

Assertion

Ref	Expression
ellimc2	|- ( ph -> ( C e. ( F lim CC B ) <-> ( C e. CC /\ A. u e. K ( C e. u -> E. w e. K ( B e. w /\ ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   w, u, A   u, B, w   ph, u, w   u, C, w   u, F, w   u, K, w

Proof of Theorem ellimc2

Dummy variables z v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limccl 21330	. . . 4 |- ( F lim CC B ) C_ CC
2	1	sseli 3347	. . 3 |- ( C e. ( F lim CC B ) -> C e. CC )
3	2	pm4.71ri 633	. 2 |- ( C e. ( F lim CC B ) <-> ( C e. CC /\ C e. ( F lim CC B ) ) )
4		eqid 2438	. . . . . 6 |- ( K ↾t ( A u. { B } ) ) = ( K ↾t ( A u. { B } ) )
5		ellimc2.k	. . . . . 6 |- K = ( TopOpen ` ℂfld )
6		eqid 2438	. . . . . 6 |- ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) = ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) )
7		limccl.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F : A --> CC )
8		limccl.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A C_ CC )
9		limccl.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. CC )
10	4, 5, 6, 7, 8, 9	ellimc 21328	. . . . 5 |- ( ph -> ( C e. ( F lim CC B ) <-> ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) ) )
11	10	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( C e. ( F lim CC B ) <-> ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) ) )
12	5	cnfldtopon 20342	. . . . . . 7 |- K e. (TopOn ` CC )
13	9	snssd 4013	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { B } C_ CC )
14	8, 13	unssd 3527	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A u. { B } ) C_ CC )
15		resttopon 18745	. . . . . . 7 |- ( ( K e. (TopOn ` CC ) /\ ( A u. { B } ) C_ CC ) -> ( K ↾t ( A u. { B } ) ) e. (TopOn ` ( A u. { B } ) ) )
16	12, 14, 15	sylancr 663	. . . . . 6 |- ( ph -> ( K ↾t ( A u. { B } ) ) e. (TopOn ` ( A u. { B } ) ) )
17	16	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( K ↾t ( A u. { B } ) ) e. (TopOn ` ( A u. { B } ) ) )
18	12	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> K e. (TopOn ` CC ) )
19		ssun2 3515	. . . . . . 7 |- { B } C_ ( A u. { B } )
20		snssg 4002	. . . . . . . 8 |- ( B e. CC -> ( B e. ( A u. { B } ) <-> { B } C_ ( A u. { B } ) ) )
21	9, 20	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( B e. ( A u. { B } ) <-> { B } C_ ( A u. { B } ) ) )
22	19, 21	mpbiri 233	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. ( A u. { B } ) )
23	22	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> B e. ( A u. { B } ) )
24		elun 3492	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( A u. { B } ) <-> ( z e. A \/ z e. { B } ) )
25		elsn 3886	. . . . . . . . 9 |- ( z e. { B } <-> z = B )
26	25	orbi2i 519	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. A \/ z e. { B } ) <-> ( z e. A \/ z = B ) )
27	24, 26	bitri 249	. . . . . . 7 |- ( z e. ( A u. { B } ) <-> ( z e. A \/ z = B ) )
28		simpllr 758	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( z e. A \/ z = B ) ) /\ z = B ) -> C e. CC )
29		pm5.61 712	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. A \/ z = B ) /\ -. z = B ) <-> ( z e. A /\ -. z = B ) )
30	7	ffvelrnda 5838	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( F ` z ) e. CC )
31	30	ad2ant2r 746	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( z e. A /\ -. z = B ) ) -> ( F ` z ) e. CC )
32	29, 31	sylan2b 475	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( ( z e. A \/ z = B ) /\ -. z = B ) ) -> ( F ` z ) e. CC )
33	32	anassrs 648	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( z e. A \/ z = B ) ) /\ -. z = B ) -> ( F ` z ) e. CC )
34	28, 33	ifclda 3816	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( z e. A \/ z = B ) ) -> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. CC )
35	27, 34	sylan2b 475	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ z e. ( A u. { B } ) ) -> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. CC )
36	35, 6	fmptd 5862	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) : ( A u. { B } ) --> CC )
37		iscnp 18821	. . . . . 6 |- ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) e. (TopOn ` ( A u. { B } ) ) /\ K e. (TopOn ` CC ) /\ B e. ( A u. { B } ) ) -> ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) <-> ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) : ( A u. { B } ) --> CC /\ A. u e. K ( ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) ` B ) e. u -> E. v e. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) ) ) ) )
38	37	baibd 900	. . . . 5 |- ( ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) e. (TopOn ` ( A u. { B } ) ) /\ K e. (TopOn ` CC ) /\ B e. ( A u. { B } ) ) /\ ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) : ( A u. { B } ) --> CC ) -> ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) <-> A. u e. K ( ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) ` B ) e. u -> E. v e. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) ) ) )
39	17, 18, 23, 36, 38	syl31anc 1221	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) <-> A. u e. K ( ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) ` B ) e. u -> E. v e. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) ) ) )
40		iftrue 3792	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = B -> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) = C )
41	40, 6	fvmptg 5767	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. ( A u. { B } ) /\ C e. CC ) -> ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) ` B ) = C )
42	22, 41	sylan 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) ` B ) = C )
43	42	eleq1d 2504	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) ` B ) e. u <-> C e. u ) )
44	43	imbi1d 317	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( ( ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) ` B ) e. u -> E. v e. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) ) <-> ( C e. u -> E. v e. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) ) ) )
45	44	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ u e. K ) -> ( ( ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) ` B ) e. u -> E. v e. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) ) <-> ( C e. u -> E. v e. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) ) ) )
46	5	cnfldtop 20343	. . . . . . . . . . 11 |- K e. Top
47		cnex 9355	. . . . . . . . . . . . . 14 |- CC e. _V
48	47	ssex 4431	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A u. { B } ) C_ CC -> ( A u. { B } ) e. _V )
49	14, 48	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A u. { B } ) e. _V )
50	49	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) -> ( A u. { B } ) e. _V )
51		restval 14357	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. Top /\ ( A u. { B } ) e. _V ) -> ( K ↾t ( A u. { B } ) ) = ran ( w e. K |-> ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) )
52	46, 50, 51	sylancr 663	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) -> ( K ↾t ( A u. { B } ) ) = ran ( w e. K |-> ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) )
53	52	rexeqdv 2919	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) -> ( E. v e. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) <-> E. v e. ran ( w e. K |-> ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) ) )
54		vex 2970	. . . . . . . . . . . 12 |- w e. _V
55	54	inex1 4428	. . . . . . . . . . 11 |- ( w i^i ( A u. { B } ) ) e. _V
56	55	rgenw 2778	. . . . . . . . . 10 |- A. w e. K ( w i^i ( A u. { B } ) ) e. _V
57		eqid 2438	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. K |-> ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) = ( w e. K |-> ( w i^i ( A u. { B } ) ) )
58		eleq2 2499	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = ( w i^i ( A u. { B } ) ) -> ( B e. v <-> B e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) )
59		imaeq2 5160	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = ( w i^i ( A u. { B } ) ) -> ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) = ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) )
60	59	sseq1d 3378	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = ( w i^i ( A u. { B } ) ) -> ( ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u <-> ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) C_ u ) )
61	58, 60	anbi12d 710	. . . . . . . . . . 11 |- ( v = ( w i^i ( A u. { B } ) ) -> ( ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) <-> ( B e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) C_ u ) ) )
62	57, 61	rexrnmpt 5848	. . . . . . . . . 10 |- ( A. w e. K ( w i^i ( A u. { B } ) ) e. _V -> ( E. v e. ran ( w e. K |-> ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) <-> E. w e. K ( B e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) C_ u ) ) )
63	56, 62	mp1i 12	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) -> ( E. v e. ran ( w e. K |-> ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) <-> E. w e. K ( B e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) C_ u ) ) )
64	22	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> B e. ( A u. { B } ) )
65		elin 3534	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) <-> ( B e. w /\ B e. ( A u. { B } ) ) )
66	65	rbaib 898	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. ( A u. { B } ) -> ( B e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) <-> B e. w ) )
67	64, 66	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> ( B e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) <-> B e. w ) )
68		simpllr 758	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> C e. CC )
69		fvex 5696	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F ` z ) e. _V
70		ifexg 3854	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( C e. CC /\ ( F ` z ) e. _V ) -> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. _V )
71	68, 69, 70	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. _V )
72	71	ralrimivw 2795	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> A. z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. _V )
73		eqid 2438	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) = ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) )
74	73	fnmpt 5532	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. _V -> ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) Fn ( w i^i ( A u. { B } ) ) )
75	73	fmpt 5859	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u <-> ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) : ( w i^i ( A u. { B } ) ) --> u )
76		df-f 5417	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) : ( w i^i ( A u. { B } ) ) --> u <-> ( ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) Fn ( w i^i ( A u. { B } ) ) /\ ran ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) C_ u ) )
77	75, 76	bitri 249	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u <-> ( ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) Fn ( w i^i ( A u. { B } ) ) /\ ran ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) C_ u ) )
78	77	baib 896	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) Fn ( w i^i ( A u. { B } ) ) -> ( A. z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u <-> ran ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) C_ u ) )
79	72, 74, 78	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> ( A. z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u <-> ran ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) C_ u ) )
80		simplrr 760	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> C e. u )
81		inss2 3566	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w i^i { B } ) C_ { B }
82	81	sseli 3347	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. ( w i^i { B } ) -> z e. { B } )
83	25, 40	sylbi 195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z e. { B } -> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) = C )
84	83	eleq1d 2504	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. { B } -> ( if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u <-> C e. u ) )
85	82, 84	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z e. ( w i^i { B } ) -> ( if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u <-> C e. u ) )
86	80, 85	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> ( z e. ( w i^i { B } ) -> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u ) )
87	86	ralrimiv 2793	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> A. z e. ( w i^i { B } ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u )
88		undif1 3749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A \ { B } ) u. { B } ) = ( A u. { B } )
89	88	ineq2i 3544	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w i^i ( ( A \ { B } ) u. { B } ) ) = ( w i^i ( A u. { B } ) )
90		indi 3591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w i^i ( ( A \ { B } ) u. { B } ) ) = ( ( w i^i ( A \ { B } ) ) u. ( w i^i { B } ) )
91	89, 90	eqtr3i 2460	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w i^i ( A u. { B } ) ) = ( ( w i^i ( A \ { B } ) ) u. ( w i^i { B } ) )
92	91	raleqi 2916	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u <-> A. z e. ( ( w i^i ( A \ { B } ) ) u. ( w i^i { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u )
93		ralunb 3532	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. z e. ( ( w i^i ( A \ { B } ) ) u. ( w i^i { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u <-> ( A. z e. ( w i^i ( A \ { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u /\ A. z e. ( w i^i { B } ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u ) )
94	92, 93	bitri 249	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u <-> ( A. z e. ( w i^i ( A \ { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u /\ A. z e. ( w i^i { B } ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u ) )
95	94	rbaib 898	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. z e. ( w i^i { B } ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u -> ( A. z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u <-> A. z e. ( w i^i ( A \ { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u ) )
96	87, 95	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> ( A. z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u <-> A. z e. ( w i^i ( A \ { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u ) )
97	79, 96	bitr3d 255	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> ( ran ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) C_ u <-> A. z e. ( w i^i ( A \ { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u ) )
98		inss2 3566	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w i^i ( A \ { B } ) ) C_ ( A \ { B } )
99	98	sseli 3347	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. ( w i^i ( A \ { B } ) ) -> z e. ( A \ { B } ) )
100		eldifsni 3996	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z e. ( A \ { B } ) -> z =/= B )
101		ifnefalse 3796	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z =/= B -> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) = ( F ` z ) )
102	100, 101	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. ( A \ { B } ) -> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) = ( F ` z ) )
103	102	eleq1d 2504	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. ( A \ { B } ) -> ( if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u <-> ( F ` z ) e. u ) )
104	99, 103	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. ( w i^i ( A \ { B } ) ) -> ( if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u <-> ( F ` z ) e. u ) )
105	104	ralbiia 2742	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. z e. ( w i^i ( A \ { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u <-> A. z e. ( w i^i ( A \ { B } ) ) ( F ` z ) e. u )
106	97, 105	syl6bb 261	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> ( ran ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) C_ u <-> A. z e. ( w i^i ( A \ { B } ) ) ( F ` z ) e. u ) )
107		df-ima 4848	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) = ran ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) |` ( w i^i ( A u. { B } ) ) )
108		inss2 3566	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w i^i ( A u. { B } ) ) C_ ( A u. { B } )
109		resmpt 5151	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( w i^i ( A u. { B } ) ) C_ ( A u. { B } ) -> ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) |` ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) = ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) )
110	108, 109	mp1i 12	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) |` ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) = ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) )
111	110	rneqd 5062	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> ran ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) |` ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) = ran ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) )
112	107, 111	syl5eq 2482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) = ran ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) )
113	112	sseq1d 3378	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> ( ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) C_ u <-> ran ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) C_ u ) )
114	7	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> F : A --> CC )
115		ffun 5556	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : A --> CC -> Fun F )
116	114, 115	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> Fun F )
117		difss 3478	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A \ { B } ) C_ A
118	98, 117	sstri 3360	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w i^i ( A \ { B } ) ) C_ A
119		fdm 5558	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F : A --> CC -> dom F = A )
120	114, 119	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> dom F = A )
121	118, 120	syl5sseqr 3400	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> ( w i^i ( A \ { B } ) ) C_ dom F )
122		funimass4 5737	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun F /\ ( w i^i ( A \ { B } ) ) C_ dom F ) -> ( ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u <-> A. z e. ( w i^i ( A \ { B } ) ) ( F ` z ) e. u ) )
123	116, 121, 122	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> ( ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u <-> A. z e. ( w i^i ( A \ { B } ) ) ( F ` z ) e. u ) )
124	106, 113, 123	3bitr4d 285	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> ( ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) C_ u <-> ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) )
125	67, 124	anbi12d 710	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> ( ( B e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) C_ u ) <-> ( B e. w /\ ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) )
126	125	rexbidva 2727	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) -> ( E. w e. K ( B e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) C_ u ) <-> E. w e. K ( B e. w /\ ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) )
127	53, 63, 126	3bitrd 279	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) -> ( E. v e. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) <-> E. w e. K ( B e. w /\ ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) )
128	127	anassrs 648	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ u e. K ) /\ C e. u ) -> ( E. v e. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) <-> E. w e. K ( B e. w /\ ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) )
129	128	pm5.74da 687	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ u e. K ) -> ( ( C e. u -> E. v e. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) ) <-> ( C e. u -> E. w e. K ( B e. w /\ ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) ) )
130	45, 129	bitrd 253	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ u e. K ) -> ( ( ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) ` B ) e. u -> E. v e. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) ) <-> ( C e. u -> E. w e. K ( B e. w /\ ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) ) )
131	130	ralbidva 2726	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( A. u e. K ( ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) ` B ) e. u -> E. v e. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) ) <-> A. u e. K ( C e. u -> E. w e. K ( B e. w /\ ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) ) )
132	11, 39, 131	3bitrd 279	. . 3 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( C e. ( F lim CC B ) <-> A. u e. K ( C e. u -> E. w e. K ( B e. w /\ ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) ) )
133	132	pm5.32da 641	. 2 |- ( ph -> ( ( C e. CC /\ C e. ( F lim CC B ) ) <-> ( C e. CC /\ A. u e. K ( C e. u -> E. w e. K ( B e. w /\ ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) ) ) )
134	3, 133	syl5bb 257	1 |- ( ph -> ( C e. ( F lim CC B ) <-> ( C e. CC /\ A. u e. K ( C e. u -> E. w e. K ( B e. w /\ ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2601   A.wral 2710   E.wrex 2711   _Vcvv 2967   \ cdif 3320   u. cun 3321   i^i cin 3322   C_ wss 3323   ifcif 3786   {csn 3872   e. cmpt 4345   dom cdm 4835   ran crn 4836   |` cres 4837   "cima 4838   Fun wfun 5407   Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   CCcc 9272   ↾_t crest 14351   TopOpenctopn 14352  ℂ_fldccnfld 17798   Topctop 18478  TopOnctopon 18479   CnP ccnp 18809   lim CC climc 21317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fi 7653  df-sup 7683  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-fz 11430  df-seq 11799  df-exp 11858  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-rest 14353  df-topn 14354  df-topgen 14374  df-psmet 17789  df-xmet 17790  df-met 17791  df-bl 17792  df-mopn 17793  df-cnfld 17799  df-top 18483  df-bases 18485  df-topon 18486  df-topsp 18487  df-cnp 18812  df-xms 19875  df-ms 19876  df-limc 21321

This theorem is referenced by:  limcnlp  21333  ellimc3  21334  limcflf  21336  limcresi  21340  limciun  21349  lhop1lem  21465