Theorem ellimc2 22366

Description: Write the definition of a limit directly in terms of open sets of the topology on the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
limccl.f	|- ( ph -> F : A --> CC )
limccl.a	|- ( ph -> A C_ CC )
limccl.b	|- ( ph -> B e. CC )
ellimc2.k	|- K = ( TopOpen ` ℂfld )

Assertion

Ref	Expression
ellimc2	|- ( ph -> ( C e. ( F lim CC B ) <-> ( C e. CC /\ A. u e. K ( C e. u -> E. w e. K ( B e. w /\ ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   w, u, A   u, B, w   ph, u, w   u, C, w   u, F, w   u, K, w

Proof of Theorem ellimc2

Dummy variables z v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limccl 22364	. . . 4 |- ( F lim CC B ) C_ CC
2	1	sseli 3413	. . 3 |- ( C e. ( F lim CC B ) -> C e. CC )
3	2	pm4.71ri 631	. 2 |- ( C e. ( F lim CC B ) <-> ( C e. CC /\ C e. ( F lim CC B ) ) )
4		eqid 2382	. . . . . 6 |- ( K ↾t ( A u. { B } ) ) = ( K ↾t ( A u. { B } ) )
5		ellimc2.k	. . . . . 6 |- K = ( TopOpen ` ℂfld )
6		eqid 2382	. . . . . 6 |- ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) = ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) )
7		limccl.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F : A --> CC )
8		limccl.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A C_ CC )
9		limccl.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. CC )
10	4, 5, 6, 7, 8, 9	ellimc 22362	. . . . 5 |- ( ph -> ( C e. ( F lim CC B ) <-> ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) ) )
11	10	adantr 463	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( C e. ( F lim CC B ) <-> ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) ) )
12	5	cnfldtopon 21375	. . . . . . 7 |- K e. (TopOn ` CC )
13	9	snssd 4089	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { B } C_ CC )
14	8, 13	unssd 3594	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A u. { B } ) C_ CC )
15		resttopon 19748	. . . . . . 7 |- ( ( K e. (TopOn ` CC ) /\ ( A u. { B } ) C_ CC ) -> ( K ↾t ( A u. { B } ) ) e. (TopOn ` ( A u. { B } ) ) )
16	12, 14, 15	sylancr 661	. . . . . 6 |- ( ph -> ( K ↾t ( A u. { B } ) ) e. (TopOn ` ( A u. { B } ) ) )
17	16	adantr 463	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( K ↾t ( A u. { B } ) ) e. (TopOn ` ( A u. { B } ) ) )
18	12	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> K e. (TopOn ` CC ) )
19		ssun2 3582	. . . . . . 7 |- { B } C_ ( A u. { B } )
20		snssg 4077	. . . . . . . 8 |- ( B e. CC -> ( B e. ( A u. { B } ) <-> { B } C_ ( A u. { B } ) ) )
21	9, 20	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( B e. ( A u. { B } ) <-> { B } C_ ( A u. { B } ) ) )
22	19, 21	mpbiri 233	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. ( A u. { B } ) )
23	22	adantr 463	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> B e. ( A u. { B } ) )
24		elun 3559	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( A u. { B } ) <-> ( z e. A \/ z e. { B } ) )
25		elsn 3958	. . . . . . . . 9 |- ( z e. { B } <-> z = B )
26	25	orbi2i 517	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. A \/ z e. { B } ) <-> ( z e. A \/ z = B ) )
27	24, 26	bitri 249	. . . . . . 7 |- ( z e. ( A u. { B } ) <-> ( z e. A \/ z = B ) )
28		simpllr 758	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( z e. A \/ z = B ) ) /\ z = B ) -> C e. CC )
29		pm5.61 710	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. A \/ z = B ) /\ -. z = B ) <-> ( z e. A /\ -. z = B ) )
30	7	ffvelrnda 5933	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( F ` z ) e. CC )
31	30	ad2ant2r 744	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( z e. A /\ -. z = B ) ) -> ( F ` z ) e. CC )
32	29, 31	sylan2b 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( ( z e. A \/ z = B ) /\ -. z = B ) ) -> ( F ` z ) e. CC )
33	32	anassrs 646	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( z e. A \/ z = B ) ) /\ -. z = B ) -> ( F ` z ) e. CC )
34	28, 33	ifclda 3889	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( z e. A \/ z = B ) ) -> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. CC )
35	27, 34	sylan2b 473	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ z e. ( A u. { B } ) ) -> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. CC )
36	35, 6	fmptd 5957	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) : ( A u. { B } ) --> CC )
37		iscnp 19824	. . . . . 6 |- ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) e. (TopOn ` ( A u. { B } ) ) /\ K e. (TopOn ` CC ) /\ B e. ( A u. { B } ) ) -> ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) <-> ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) : ( A u. { B } ) --> CC /\ A. u e. K ( ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) ` B ) e. u -> E. v e. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) ) ) ) )
38	37	baibd 907	. . . . 5 |- ( ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) e. (TopOn ` ( A u. { B } ) ) /\ K e. (TopOn ` CC ) /\ B e. ( A u. { B } ) ) /\ ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) : ( A u. { B } ) --> CC ) -> ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) <-> A. u e. K ( ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) ` B ) e. u -> E. v e. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) ) ) )
39	17, 18, 23, 36, 38	syl31anc 1229	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) <-> A. u e. K ( ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) ` B ) e. u -> E. v e. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) ) ) )
40		iftrue 3863	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = B -> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) = C )
41	40, 6	fvmptg 5855	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. ( A u. { B } ) /\ C e. CC ) -> ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) ` B ) = C )
42	22, 41	sylan 469	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) ` B ) = C )
43	42	eleq1d 2451	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) ` B ) e. u <-> C e. u ) )
44	43	imbi1d 315	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( ( ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) ` B ) e. u -> E. v e. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) ) <-> ( C e. u -> E. v e. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) ) ) )
45	44	adantr 463	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ u e. K ) -> ( ( ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) ` B ) e. u -> E. v e. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) ) <-> ( C e. u -> E. v e. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) ) ) )
46	5	cnfldtop 21376	. . . . . . . . . . 11 |- K e. Top
47		cnex 9484	. . . . . . . . . . . . . 14 |- CC e. _V
48	47	ssex 4509	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A u. { B } ) C_ CC -> ( A u. { B } ) e. _V )
49	14, 48	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A u. { B } ) e. _V )
50	49	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) -> ( A u. { B } ) e. _V )
51		restval 14834	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. Top /\ ( A u. { B } ) e. _V ) -> ( K ↾t ( A u. { B } ) ) = ran ( w e. K |-> ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) )
52	46, 50, 51	sylancr 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) -> ( K ↾t ( A u. { B } ) ) = ran ( w e. K |-> ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) )
53	52	rexeqdv 2986	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) -> ( E. v e. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) <-> E. v e. ran ( w e. K |-> ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) ) )
54		vex 3037	. . . . . . . . . . . 12 |- w e. _V
55	54	inex1 4506	. . . . . . . . . . 11 |- ( w i^i ( A u. { B } ) ) e. _V
56	55	rgenw 2743	. . . . . . . . . 10 |- A. w e. K ( w i^i ( A u. { B } ) ) e. _V
57		eqid 2382	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. K |-> ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) = ( w e. K |-> ( w i^i ( A u. { B } ) ) )
58		eleq2 2455	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = ( w i^i ( A u. { B } ) ) -> ( B e. v <-> B e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) )
59		imaeq2 5245	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = ( w i^i ( A u. { B } ) ) -> ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) = ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) )
60	59	sseq1d 3444	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = ( w i^i ( A u. { B } ) ) -> ( ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u <-> ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) C_ u ) )
61	58, 60	anbi12d 708	. . . . . . . . . . 11 |- ( v = ( w i^i ( A u. { B } ) ) -> ( ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) <-> ( B e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) C_ u ) ) )
62	57, 61	rexrnmpt 5943	. . . . . . . . . 10 |- ( A. w e. K ( w i^i ( A u. { B } ) ) e. _V -> ( E. v e. ran ( w e. K |-> ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) <-> E. w e. K ( B e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) C_ u ) ) )
63	56, 62	mp1i 12	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) -> ( E. v e. ran ( w e. K |-> ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) <-> E. w e. K ( B e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) C_ u ) ) )
64	22	ad3antrrr 727	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> B e. ( A u. { B } ) )
65		elin 3601	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) <-> ( B e. w /\ B e. ( A u. { B } ) ) )
66	65	rbaib 904	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. ( A u. { B } ) -> ( B e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) <-> B e. w ) )
67	64, 66	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> ( B e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) <-> B e. w ) )
68		simpllr 758	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> C e. CC )
69		fvex 5784	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F ` z ) e. _V
70		ifexg 3926	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( C e. CC /\ ( F ` z ) e. _V ) -> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. _V )
71	68, 69, 70	sylancl 660	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. _V )
72	71	ralrimivw 2797	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> A. z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. _V )
73		eqid 2382	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) = ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) )
74	73	fnmpt 5615	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. _V -> ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) Fn ( w i^i ( A u. { B } ) ) )
75	73	fmpt 5954	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u <-> ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) : ( w i^i ( A u. { B } ) ) --> u )
76		df-f 5500	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) : ( w i^i ( A u. { B } ) ) --> u <-> ( ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) Fn ( w i^i ( A u. { B } ) ) /\ ran ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) C_ u ) )
77	75, 76	bitri 249	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u <-> ( ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) Fn ( w i^i ( A u. { B } ) ) /\ ran ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) C_ u ) )
78	77	baib 901	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) Fn ( w i^i ( A u. { B } ) ) -> ( A. z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u <-> ran ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) C_ u ) )
79	72, 74, 78	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> ( A. z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u <-> ran ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) C_ u ) )
80		simplrr 760	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> C e. u )
81		inss2 3633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w i^i { B } ) C_ { B }
82	81	sseli 3413	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. ( w i^i { B } ) -> z e. { B } )
83	25, 40	sylbi 195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z e. { B } -> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) = C )
84	83	eleq1d 2451	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. { B } -> ( if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u <-> C e. u ) )
85	82, 84	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z e. ( w i^i { B } ) -> ( if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u <-> C e. u ) )
86	80, 85	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> ( z e. ( w i^i { B } ) -> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u ) )
87	86	ralrimiv 2794	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> A. z e. ( w i^i { B } ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u )
88		undif1 3819	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A \ { B } ) u. { B } ) = ( A u. { B } )
89	88	ineq2i 3611	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w i^i ( ( A \ { B } ) u. { B } ) ) = ( w i^i ( A u. { B } ) )
90		indi 3669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w i^i ( ( A \ { B } ) u. { B } ) ) = ( ( w i^i ( A \ { B } ) ) u. ( w i^i { B } ) )
91	89, 90	eqtr3i 2413	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w i^i ( A u. { B } ) ) = ( ( w i^i ( A \ { B } ) ) u. ( w i^i { B } ) )
92	91	raleqi 2983	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u <-> A. z e. ( ( w i^i ( A \ { B } ) ) u. ( w i^i { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u )
93		ralunb 3599	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. z e. ( ( w i^i ( A \ { B } ) ) u. ( w i^i { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u <-> ( A. z e. ( w i^i ( A \ { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u /\ A. z e. ( w i^i { B } ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u ) )
94	92, 93	bitri 249	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u <-> ( A. z e. ( w i^i ( A \ { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u /\ A. z e. ( w i^i { B } ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u ) )
95	94	rbaib 904	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. z e. ( w i^i { B } ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u -> ( A. z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u <-> A. z e. ( w i^i ( A \ { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u ) )
96	87, 95	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> ( A. z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u <-> A. z e. ( w i^i ( A \ { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u ) )
97	79, 96	bitr3d 255	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> ( ran ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) C_ u <-> A. z e. ( w i^i ( A \ { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u ) )
98		inss2 3633	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w i^i ( A \ { B } ) ) C_ ( A \ { B } )
99	98	sseli 3413	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. ( w i^i ( A \ { B } ) ) -> z e. ( A \ { B } ) )
100		eldifsni 4070	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z e. ( A \ { B } ) -> z =/= B )
101		ifnefalse 3869	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z =/= B -> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) = ( F ` z ) )
102	100, 101	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. ( A \ { B } ) -> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) = ( F ` z ) )
103	102	eleq1d 2451	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. ( A \ { B } ) -> ( if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u <-> ( F ` z ) e. u ) )
104	99, 103	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. ( w i^i ( A \ { B } ) ) -> ( if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u <-> ( F ` z ) e. u ) )
105	104	ralbiia 2812	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. z e. ( w i^i ( A \ { B } ) ) if ( z = B , C , ( F ` z ) ) e. u <-> A. z e. ( w i^i ( A \ { B } ) ) ( F ` z ) e. u )
106	97, 105	syl6bb 261	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> ( ran ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) C_ u <-> A. z e. ( w i^i ( A \ { B } ) ) ( F ` z ) e. u ) )
107		df-ima 4926	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) = ran ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) |` ( w i^i ( A u. { B } ) ) )
108		inss2 3633	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w i^i ( A u. { B } ) ) C_ ( A u. { B } )
109		resmpt 5235	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( w i^i ( A u. { B } ) ) C_ ( A u. { B } ) -> ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) |` ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) = ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) )
110	108, 109	mp1i 12	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) |` ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) = ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) )
111	110	rneqd 5143	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> ran ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) |` ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) = ran ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) )
112	107, 111	syl5eq 2435	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) = ran ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) )
113	112	sseq1d 3444	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> ( ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) C_ u <-> ran ( z e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) C_ u ) )
114	7	ad3antrrr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> F : A --> CC )
115		ffun 5641	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : A --> CC -> Fun F )
116	114, 115	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> Fun F )
117		difss 3545	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A \ { B } ) C_ A
118	98, 117	sstri 3426	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w i^i ( A \ { B } ) ) C_ A
119		fdm 5643	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F : A --> CC -> dom F = A )
120	114, 119	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> dom F = A )
121	118, 120	syl5sseqr 3466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> ( w i^i ( A \ { B } ) ) C_ dom F )
122		funimass4 5825	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun F /\ ( w i^i ( A \ { B } ) ) C_ dom F ) -> ( ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u <-> A. z e. ( w i^i ( A \ { B } ) ) ( F ` z ) e. u ) )
123	116, 121, 122	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> ( ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u <-> A. z e. ( w i^i ( A \ { B } ) ) ( F ` z ) e. u ) )
124	106, 113, 123	3bitr4d 285	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> ( ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) C_ u <-> ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) )
125	67, 124	anbi12d 708	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) /\ w e. K ) -> ( ( B e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) C_ u ) <-> ( B e. w /\ ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) )
126	125	rexbidva 2890	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) -> ( E. w e. K ( B e. ( w i^i ( A u. { B } ) ) /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " ( w i^i ( A u. { B } ) ) ) C_ u ) <-> E. w e. K ( B e. w /\ ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) )
127	53, 63, 126	3bitrd 279	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ ( u e. K /\ C e. u ) ) -> ( E. v e. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) <-> E. w e. K ( B e. w /\ ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) )
128	127	anassrs 646	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ u e. K ) /\ C e. u ) -> ( E. v e. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) <-> E. w e. K ( B e. w /\ ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) )
129	128	pm5.74da 685	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ u e. K ) -> ( ( C e. u -> E. v e. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) ) <-> ( C e. u -> E. w e. K ( B e. w /\ ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) ) )
130	45, 129	bitrd 253	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ C e. CC ) /\ u e. K ) -> ( ( ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) ` B ) e. u -> E. v e. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) ) <-> ( C e. u -> E. w e. K ( B e. w /\ ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) ) )
131	130	ralbidva 2818	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( A. u e. K ( ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) ` B ) e. u -> E. v e. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) ( B e. v /\ ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( F ` z ) ) ) " v ) C_ u ) ) <-> A. u e. K ( C e. u -> E. w e. K ( B e. w /\ ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) ) )
132	11, 39, 131	3bitrd 279	. . 3 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( C e. ( F lim CC B ) <-> A. u e. K ( C e. u -> E. w e. K ( B e. w /\ ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) ) )
133	132	pm5.32da 639	. 2 |- ( ph -> ( ( C e. CC /\ C e. ( F lim CC B ) ) <-> ( C e. CC /\ A. u e. K ( C e. u -> E. w e. K ( B e. w /\ ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) ) ) )
134	3, 133	syl5bb 257	1 |- ( ph -> ( C e. ( F lim CC B ) <-> ( C e. CC /\ A. u e. K ( C e. u -> E. w e. K ( B e. w /\ ( F " ( w i^i ( A \ { B } ) ) ) C_ u ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 366   /\ wa 367   /\ w3a 971   = wceq 1399   e. wcel 1826   =/= wne 2577   A.wral 2732   E.wrex 2733   _Vcvv 3034   \ cdif 3386   u. cun 3387   i^i cin 3388   C_ wss 3389   ifcif 3857   {csn 3944   |-> cmpt 4425   dom cdm 4913   ran crn 4914   |` cres 4915   "cima 4916   Fun wfun 5490   Fn wfn 5491   -->wf 5492   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   CCcc 9401   ↾_t crest 14828   TopOpenctopn 14829  ℂ_fldccnfld 18533   Topctop 19479  TopOnctopon 19480   CnP ccnp 19812   lim CC climc 22351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-pm 7341  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-fi 7786  df-sup 7816  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-10 10519  df-n0 10713  df-z 10782  df-dec 10896  df-uz 11002  df-q 11102  df-rp 11140  df-xneg 11239  df-xadd 11240  df-xmul 11241  df-fz 11594  df-seq 12011  df-exp 12070  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-starv 14717  df-tset 14721  df-ple 14722  df-ds 14724  df-unif 14725  df-rest 14830  df-topn 14831  df-topgen 14851  df-psmet 18524  df-xmet 18525  df-met 18526  df-bl 18527  df-mopn 18528  df-cnfld 18534  df-top 19484  df-bases 19486  df-topon 19487  df-topsp 19488  df-cnp 19815  df-xms 20908  df-ms 20909  df-limc 22355

This theorem is referenced by:  limcnlp  22367  ellimc3  22368  limcflf  22370  limcresi  22374  limciun  22383  lhop1lem  22499  limccog  31792