Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ellcoellss Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ellcoellss 40736
 Description: Every linear combination of a subset of a linear subspace is also contained in the linear subspace. (Contributed by AV, 20-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
ellcoellss LinCo
Distinct variable groups:   ,   ,   ,

Proof of Theorem ellcoellss
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1030 . . . 4
2 eqid 2471 . . . . . . 7
3 eqid 2471 . . . . . . 7
42, 3lssss 18238 . . . . . 6
543ad2ant2 1052 . . . . 5
6 sstr 3426 . . . . . . . 8
7 fvex 5889 . . . . . . . . . 10
87ssex 4540 . . . . . . . . 9
9 elpwg 3950 . . . . . . . . . 10
109biimprd 231 . . . . . . . . 9
118, 10mpcom 36 . . . . . . . 8
126, 11syl 17 . . . . . . 7
1312ex 441 . . . . . 6
14133ad2ant3 1053 . . . . 5
155, 14mpd 15 . . . 4
16 eqid 2471 . . . . 5 Scalar Scalar
17 eqid 2471 . . . . 5 Scalar Scalar
182, 16, 17lcoval 40713 . . . 4 LinCo Scalar finSupp Scalar linC
191, 15, 18syl2anc 673 . . 3 LinCo Scalar finSupp Scalar linC
20 lincellss 40727 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar finSupp Scalar linC
2120imp 436 . . . . . . . . . . . 12 Scalar finSupp Scalar linC
22 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . 12 linC linC
2321, 22syl5ibr 229 . . . . . . . . . . 11 linC Scalar finSupp Scalar
2423expd 443 . . . . . . . . . 10 linC Scalar finSupp Scalar
2524com12 31 . . . . . . . . 9 linC Scalar finSupp Scalar
2625adantr 472 . . . . . . . 8 linC Scalar finSupp Scalar
2726com13 82 . . . . . . 7 Scalar finSupp Scalar linC
2827impr 631 . . . . . 6 Scalar finSupp Scalar linC
2928rexlimiva 2868 . . . . 5 Scalar finSupp Scalar linC
3029com12 31 . . . 4 Scalar finSupp Scalar linC
3130expimpd 614 . . 3 Scalar finSupp Scalar linC
3219, 31sylbid 223 . 2 LinCo
3332ralrimiv 2808 1 LinCo
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756  wrex 2757  cvv 3031   wss 3390  cpw 3942   class class class wbr 4395  cfv 5589  (class class class)co 6308   cmap 7490   finSupp cfsupp 7901  cbs 15199  Scalarcsca 15271  c0g 15416  clmod 18169  clss 18233   linC clinc 40705   LinCo clinco 40706 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-hash 12554  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-subg 16892  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-lmod 18171  df-lss 18234  df-linc 40707  df-lco 40708 This theorem is referenced by:  lcosslsp  40739
 Copyright terms: Public domain W3C validator