MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elixpsn Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem elixpsn 7579
Description: Membership in a class of singleton functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
elixpsn  |-  ( A  e.  V  ->  ( F  e.  X_ x  e. 
{ A } B  <->  E. y  e.  B  F  =  { <. A ,  y
>. } ) )
Distinct variable groups:    x, B, y    x, F, y    x, A, y    x, V, y

Proof of Theorem elixpsn
Dummy variables  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sneq 3969 . . . 4  |-  ( z  =  A  ->  { z }  =  { A } )
21ixpeq1d 7552 . . 3  |-  ( z  =  A  ->  X_ x  e.  { z } B  =  X_ x  e.  { A } B )
32eleq2d 2534 . 2  |-  ( z  =  A  ->  ( F  e.  X_ x  e. 
{ z } B  <->  F  e.  X_ x  e.  { A } B ) )
4 opeq1 4158 . . . . 5  |-  ( z  =  A  ->  <. z ,  y >.  =  <. A ,  y >. )
54sneqd 3971 . . . 4  |-  ( z  =  A  ->  { <. z ,  y >. }  =  { <. A ,  y
>. } )
65eqeq2d 2481 . . 3  |-  ( z  =  A  ->  ( F  =  { <. z ,  y >. }  <->  F  =  { <. A ,  y
>. } ) )
76rexbidv 2892 . 2  |-  ( z  =  A  ->  ( E. y  e.  B  F  =  { <. z ,  y >. }  <->  E. y  e.  B  F  =  { <. A ,  y
>. } ) )
8 elex 3040 . . 3  |-  ( F  e.  X_ x  e.  {
z } B  ->  F  e.  _V )
9 snex 4641 . . . . 5  |-  { <. z ,  y >. }  e.  _V
10 eleq1 2537 . . . . 5  |-  ( F  =  { <. z ,  y >. }  ->  ( F  e.  _V  <->  { <. z ,  y >. }  e.  _V ) )
119, 10mpbiri 241 . . . 4  |-  ( F  =  { <. z ,  y >. }  ->  F  e.  _V )
1211rexlimivw 2869 . . 3  |-  ( E. y  e.  B  F  =  { <. z ,  y
>. }  ->  F  e.  _V )
13 eleq1 2537 . . . 4  |-  ( w  =  F  ->  (
w  e.  X_ x  e.  { z } B  <->  F  e.  X_ x  e.  {
z } B ) )
14 eqeq1 2475 . . . . 5  |-  ( w  =  F  ->  (
w  =  { <. z ,  y >. }  <->  F  =  { <. z ,  y
>. } ) )
1514rexbidv 2892 . . . 4  |-  ( w  =  F  ->  ( E. y  e.  B  w  =  { <. z ,  y >. }  <->  E. y  e.  B  F  =  { <. z ,  y
>. } ) )
16 vex 3034 . . . . . 6  |-  w  e. 
_V
1716elixp 7547 . . . . 5  |-  ( w  e.  X_ x  e.  {
z } B  <->  ( w  Fn  { z }  /\  A. x  e.  { z }  ( w `  x )  e.  B
) )
18 vex 3034 . . . . . . 7  |-  z  e. 
_V
19 fveq2 5879 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
w `  x )  =  ( w `  z ) )
2019eleq1d 2533 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
( w `  x
)  e.  B  <->  ( w `  z )  e.  B
) )
2118, 20ralsn 4001 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  { z }  ( w `  x )  e.  B  <->  ( w `  z )  e.  B )
2221anbi2i 708 . . . . 5  |-  ( ( w  Fn  { z }  /\  A. x  e.  { z }  (
w `  x )  e.  B )  <->  ( w  Fn  { z }  /\  ( w `  z
)  e.  B ) )
23 simpl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  Fn  { z }  /\  ( w `
 z )  e.  B )  ->  w  Fn  { z } )
24 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  z  ->  (
w `  y )  =  ( w `  z ) )
2524eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  z  ->  (
( w `  y
)  e.  B  <->  ( w `  z )  e.  B
) )
2618, 25ralsn 4001 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. y  e.  { z }  ( w `  y )  e.  B  <->  ( w `  z )  e.  B )
2726biimpri 211 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w `  z )  e.  B  ->  A. y  e.  { z }  (
w `  y )  e.  B )
2827adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  Fn  { z }  /\  ( w `
 z )  e.  B )  ->  A. y  e.  { z }  (
w `  y )  e.  B )
29 ffnfv 6064 . . . . . . . . 9  |-  ( w : { z } --> B  <->  ( w  Fn 
{ z }  /\  A. y  e.  { z }  ( w `  y )  e.  B
) )
3023, 28, 29sylanbrc 677 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  Fn  { z }  /\  ( w `
 z )  e.  B )  ->  w : { z } --> B )
3118fsn2 6078 . . . . . . . 8  |-  ( w : { z } --> B  <->  ( ( w `
 z )  e.  B  /\  w  =  { <. z ,  ( w `  z )
>. } ) )
3230, 31sylib 201 . . . . . . 7  |-  ( ( w  Fn  { z }  /\  ( w `
 z )  e.  B )  ->  (
( w `  z
)  e.  B  /\  w  =  { <. z ,  ( w `  z ) >. } ) )
33 opeq2 4159 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( w `  z )  ->  <. z ,  y >.  =  <. z ,  ( w `  z ) >. )
3433sneqd 3971 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( w `  z )  ->  { <. z ,  y >. }  =  { <. z ,  ( w `  z )
>. } )
3534eqeq2d 2481 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( w `  z )  ->  (
w  =  { <. z ,  y >. }  <->  w  =  { <. z ,  ( w `  z )
>. } ) )
3635rspcev 3136 . . . . . . 7  |-  ( ( ( w `  z
)  e.  B  /\  w  =  { <. z ,  ( w `  z ) >. } )  ->  E. y  e.  B  w  =  { <. z ,  y >. } )
3732, 36syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( w  Fn  { z }  /\  ( w `
 z )  e.  B )  ->  E. y  e.  B  w  =  { <. z ,  y
>. } )
38 vex 3034 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
3918, 38fvsn 6113 . . . . . . . . . 10  |-  ( {
<. z ,  y >. } `  z )  =  y
40 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  B  ->  y  e.  B )
4139, 40syl5eqel 2553 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  B  ->  ( { <. z ,  y
>. } `  z )  e.  B )
4218, 38fnsn 5642 . . . . . . . . 9  |-  { <. z ,  y >. }  Fn  { z }
4341, 42jctil 546 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  B  ->  ( { <. z ,  y
>. }  Fn  { z }  /\  ( {
<. z ,  y >. } `  z )  e.  B ) )
44 fneq1 5674 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  { <. z ,  y >. }  ->  ( w  Fn  { z }  <->  { <. z ,  y
>. }  Fn  { z } ) )
45 fveq1 5878 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  { <. z ,  y >. }  ->  ( w `  z )  =  ( { <. z ,  y >. } `  z ) )
4645eleq1d 2533 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  { <. z ,  y >. }  ->  ( ( w `  z
)  e.  B  <->  ( { <. z ,  y >. } `  z )  e.  B ) )
4744, 46anbi12d 725 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  { <. z ,  y >. }  ->  ( ( w  Fn  {
z }  /\  (
w `  z )  e.  B )  <->  ( { <. z ,  y >. }  Fn  { z }  /\  ( { <. z ,  y >. } `  z )  e.  B
) ) )
4843, 47syl5ibrcom 230 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  B  ->  (
w  =  { <. z ,  y >. }  ->  ( w  Fn  { z }  /\  ( w `
 z )  e.  B ) ) )
4948rexlimiv 2867 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  B  w  =  { <. z ,  y >. }  ->  ( w  Fn  { z }  /\  ( w `
 z )  e.  B ) )
5037, 49impbii 192 . . . . 5  |-  ( ( w  Fn  { z }  /\  ( w `
 z )  e.  B )  <->  E. y  e.  B  w  =  { <. z ,  y
>. } )
5117, 22, 503bitri 279 . . . 4  |-  ( w  e.  X_ x  e.  {
z } B  <->  E. y  e.  B  w  =  { <. z ,  y
>. } )
5213, 15, 51vtoclbg 3094 . . 3  |-  ( F  e.  _V  ->  ( F  e.  X_ x  e. 
{ z } B  <->  E. y  e.  B  F  =  { <. z ,  y
>. } ) )
538, 12, 52pm5.21nii 360 . 2  |-  ( F  e.  X_ x  e.  {
z } B  <->  E. y  e.  B  F  =  { <. z ,  y
>. } )
543, 7, 53vtoclbg 3094 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( F  e.  X_ x  e. 
{ A } B  <->  E. y  e.  B  F  =  { <. A ,  y
>. } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031   {csn 3959   <.cop 3965    Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589   X_cixp 7540
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pr 4639
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ixp 7541
This theorem is referenced by:  ixpsnf1o  7580  hoidmv1le  38534
  Copyright terms: Public domain W3C validator