MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elixpsn Structured version   Unicode version

Theorem elixpsn 7302
Description: Membership in a class of singleton functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
elixpsn  |-  ( A  e.  V  ->  ( F  e.  X_ x  e. 
{ A } B  <->  E. y  e.  B  F  =  { <. A ,  y
>. } ) )
Distinct variable groups:    x, B, y    x, F, y    x, A, y    x, V, y

Proof of Theorem elixpsn
Dummy variables  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sneq 3887 . . . 4  |-  ( z  =  A  ->  { z }  =  { A } )
21ixpeq1d 7275 . . 3  |-  ( z  =  A  ->  X_ x  e.  { z } B  =  X_ x  e.  { A } B )
32eleq2d 2510 . 2  |-  ( z  =  A  ->  ( F  e.  X_ x  e. 
{ z } B  <->  F  e.  X_ x  e.  { A } B ) )
4 opeq1 4059 . . . . 5  |-  ( z  =  A  ->  <. z ,  y >.  =  <. A ,  y >. )
54sneqd 3889 . . . 4  |-  ( z  =  A  ->  { <. z ,  y >. }  =  { <. A ,  y
>. } )
65eqeq2d 2454 . . 3  |-  ( z  =  A  ->  ( F  =  { <. z ,  y >. }  <->  F  =  { <. A ,  y
>. } ) )
76rexbidv 2736 . 2  |-  ( z  =  A  ->  ( E. y  e.  B  F  =  { <. z ,  y >. }  <->  E. y  e.  B  F  =  { <. A ,  y
>. } ) )
8 elex 2981 . . 3  |-  ( F  e.  X_ x  e.  {
z } B  ->  F  e.  _V )
9 snex 4533 . . . . 5  |-  { <. z ,  y >. }  e.  _V
10 eleq1 2503 . . . . 5  |-  ( F  =  { <. z ,  y >. }  ->  ( F  e.  _V  <->  { <. z ,  y >. }  e.  _V ) )
119, 10mpbiri 233 . . . 4  |-  ( F  =  { <. z ,  y >. }  ->  F  e.  _V )
1211rexlimivw 2837 . . 3  |-  ( E. y  e.  B  F  =  { <. z ,  y
>. }  ->  F  e.  _V )
13 eleq1 2503 . . . 4  |-  ( w  =  F  ->  (
w  e.  X_ x  e.  { z } B  <->  F  e.  X_ x  e.  {
z } B ) )
14 eqeq1 2449 . . . . 5  |-  ( w  =  F  ->  (
w  =  { <. z ,  y >. }  <->  F  =  { <. z ,  y
>. } ) )
1514rexbidv 2736 . . . 4  |-  ( w  =  F  ->  ( E. y  e.  B  w  =  { <. z ,  y >. }  <->  E. y  e.  B  F  =  { <. z ,  y
>. } ) )
16 vex 2975 . . . . . 6  |-  w  e. 
_V
1716elixp 7270 . . . . 5  |-  ( w  e.  X_ x  e.  {
z } B  <->  ( w  Fn  { z }  /\  A. x  e.  { z }  ( w `  x )  e.  B
) )
18 vex 2975 . . . . . . 7  |-  z  e. 
_V
19 fveq2 5691 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
w `  x )  =  ( w `  z ) )
2019eleq1d 2509 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
( w `  x
)  e.  B  <->  ( w `  z )  e.  B
) )
2118, 20ralsn 3915 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  { z }  ( w `  x )  e.  B  <->  ( w `  z )  e.  B )
2221anbi2i 694 . . . . 5  |-  ( ( w  Fn  { z }  /\  A. x  e.  { z }  (
w `  x )  e.  B )  <->  ( w  Fn  { z }  /\  ( w `  z
)  e.  B ) )
23 simpl 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  Fn  { z }  /\  ( w `
 z )  e.  B )  ->  w  Fn  { z } )
24 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  z  ->  (
w `  y )  =  ( w `  z ) )
2524eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  z  ->  (
( w `  y
)  e.  B  <->  ( w `  z )  e.  B
) )
2618, 25ralsn 3915 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. y  e.  { z }  ( w `  y )  e.  B  <->  ( w `  z )  e.  B )
2726biimpri 206 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w `  z )  e.  B  ->  A. y  e.  { z }  (
w `  y )  e.  B )
2827adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  Fn  { z }  /\  ( w `
 z )  e.  B )  ->  A. y  e.  { z }  (
w `  y )  e.  B )
29 ffnfv 5869 . . . . . . . . 9  |-  ( w : { z } --> B  <->  ( w  Fn 
{ z }  /\  A. y  e.  { z }  ( w `  y )  e.  B
) )
3023, 28, 29sylanbrc 664 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  Fn  { z }  /\  ( w `
 z )  e.  B )  ->  w : { z } --> B )
3118fsn2 5883 . . . . . . . 8  |-  ( w : { z } --> B  <->  ( ( w `
 z )  e.  B  /\  w  =  { <. z ,  ( w `  z )
>. } ) )
3230, 31sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( w  Fn  { z }  /\  ( w `
 z )  e.  B )  ->  (
( w `  z
)  e.  B  /\  w  =  { <. z ,  ( w `  z ) >. } ) )
33 opeq2 4060 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( w `  z )  ->  <. z ,  y >.  =  <. z ,  ( w `  z ) >. )
3433sneqd 3889 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( w `  z )  ->  { <. z ,  y >. }  =  { <. z ,  ( w `  z )
>. } )
3534eqeq2d 2454 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( w `  z )  ->  (
w  =  { <. z ,  y >. }  <->  w  =  { <. z ,  ( w `  z )
>. } ) )
3635rspcev 3073 . . . . . . 7  |-  ( ( ( w `  z
)  e.  B  /\  w  =  { <. z ,  ( w `  z ) >. } )  ->  E. y  e.  B  w  =  { <. z ,  y >. } )
3732, 36syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( w  Fn  { z }  /\  ( w `
 z )  e.  B )  ->  E. y  e.  B  w  =  { <. z ,  y
>. } )
38 vex 2975 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
3918, 38fvsn 5911 . . . . . . . . . 10  |-  ( {
<. z ,  y >. } `  z )  =  y
40 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  B  ->  y  e.  B )
4139, 40syl5eqel 2527 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  B  ->  ( { <. z ,  y
>. } `  z )  e.  B )
4218, 38fnsn 5471 . . . . . . . . 9  |-  { <. z ,  y >. }  Fn  { z }
4341, 42jctil 537 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  B  ->  ( { <. z ,  y
>. }  Fn  { z }  /\  ( {
<. z ,  y >. } `  z )  e.  B ) )
44 fneq1 5499 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  { <. z ,  y >. }  ->  ( w  Fn  { z }  <->  { <. z ,  y
>. }  Fn  { z } ) )
45 fveq1 5690 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  { <. z ,  y >. }  ->  ( w `  z )  =  ( { <. z ,  y >. } `  z ) )
4645eleq1d 2509 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  { <. z ,  y >. }  ->  ( ( w `  z
)  e.  B  <->  ( { <. z ,  y >. } `  z )  e.  B ) )
4744, 46anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  { <. z ,  y >. }  ->  ( ( w  Fn  {
z }  /\  (
w `  z )  e.  B )  <->  ( { <. z ,  y >. }  Fn  { z }  /\  ( { <. z ,  y >. } `  z )  e.  B
) ) )
4843, 47syl5ibrcom 222 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  B  ->  (
w  =  { <. z ,  y >. }  ->  ( w  Fn  { z }  /\  ( w `
 z )  e.  B ) ) )
4948rexlimiv 2835 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  B  w  =  { <. z ,  y >. }  ->  ( w  Fn  { z }  /\  ( w `
 z )  e.  B ) )
5037, 49impbii 188 . . . . 5  |-  ( ( w  Fn  { z }  /\  ( w `
 z )  e.  B )  <->  E. y  e.  B  w  =  { <. z ,  y
>. } )
5117, 22, 503bitri 271 . . . 4  |-  ( w  e.  X_ x  e.  {
z } B  <->  E. y  e.  B  w  =  { <. z ,  y
>. } )
5213, 15, 51vtoclbg 3031 . . 3  |-  ( F  e.  _V  ->  ( F  e.  X_ x  e. 
{ z } B  <->  E. y  e.  B  F  =  { <. z ,  y
>. } ) )
538, 12, 52pm5.21nii 353 . 2  |-  ( F  e.  X_ x  e.  {
z } B  <->  E. y  e.  B  F  =  { <. z ,  y
>. } )
543, 7, 53vtoclbg 3031 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( F  e.  X_ x  e. 
{ A } B  <->  E. y  e.  B  F  =  { <. A ,  y
>. } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715   E.wrex 2716   _Vcvv 2972   {csn 3877   <.cop 3883    Fn wfn 5413   -->wf 5414   ` cfv 5418   X_cixp 7263
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pr 4531
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-ixp 7264
This theorem is referenced by:  ixpsnf1o  7303
  Copyright terms: Public domain W3C validator