MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elixpsn Structured version   Unicode version

Theorem elixpsn 7505
Description: Membership in a class of singleton functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
elixpsn  |-  ( A  e.  V  ->  ( F  e.  X_ x  e. 
{ A } B  <->  E. y  e.  B  F  =  { <. A ,  y
>. } ) )
Distinct variable groups:    x, B, y    x, F, y    x, A, y    x, V, y

Proof of Theorem elixpsn
Dummy variables  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sneq 4037 . . . 4  |-  ( z  =  A  ->  { z }  =  { A } )
21ixpeq1d 7478 . . 3  |-  ( z  =  A  ->  X_ x  e.  { z } B  =  X_ x  e.  { A } B )
32eleq2d 2537 . 2  |-  ( z  =  A  ->  ( F  e.  X_ x  e. 
{ z } B  <->  F  e.  X_ x  e.  { A } B ) )
4 opeq1 4213 . . . . 5  |-  ( z  =  A  ->  <. z ,  y >.  =  <. A ,  y >. )
54sneqd 4039 . . . 4  |-  ( z  =  A  ->  { <. z ,  y >. }  =  { <. A ,  y
>. } )
65eqeq2d 2481 . . 3  |-  ( z  =  A  ->  ( F  =  { <. z ,  y >. }  <->  F  =  { <. A ,  y
>. } ) )
76rexbidv 2973 . 2  |-  ( z  =  A  ->  ( E. y  e.  B  F  =  { <. z ,  y >. }  <->  E. y  e.  B  F  =  { <. A ,  y
>. } ) )
8 elex 3122 . . 3  |-  ( F  e.  X_ x  e.  {
z } B  ->  F  e.  _V )
9 snex 4688 . . . . 5  |-  { <. z ,  y >. }  e.  _V
10 eleq1 2539 . . . . 5  |-  ( F  =  { <. z ,  y >. }  ->  ( F  e.  _V  <->  { <. z ,  y >. }  e.  _V ) )
119, 10mpbiri 233 . . . 4  |-  ( F  =  { <. z ,  y >. }  ->  F  e.  _V )
1211rexlimivw 2952 . . 3  |-  ( E. y  e.  B  F  =  { <. z ,  y
>. }  ->  F  e.  _V )
13 eleq1 2539 . . . 4  |-  ( w  =  F  ->  (
w  e.  X_ x  e.  { z } B  <->  F  e.  X_ x  e.  {
z } B ) )
14 eqeq1 2471 . . . . 5  |-  ( w  =  F  ->  (
w  =  { <. z ,  y >. }  <->  F  =  { <. z ,  y
>. } ) )
1514rexbidv 2973 . . . 4  |-  ( w  =  F  ->  ( E. y  e.  B  w  =  { <. z ,  y >. }  <->  E. y  e.  B  F  =  { <. z ,  y
>. } ) )
16 vex 3116 . . . . . 6  |-  w  e. 
_V
1716elixp 7473 . . . . 5  |-  ( w  e.  X_ x  e.  {
z } B  <->  ( w  Fn  { z }  /\  A. x  e.  { z }  ( w `  x )  e.  B
) )
18 vex 3116 . . . . . . 7  |-  z  e. 
_V
19 fveq2 5864 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
w `  x )  =  ( w `  z ) )
2019eleq1d 2536 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
( w `  x
)  e.  B  <->  ( w `  z )  e.  B
) )
2118, 20ralsn 4066 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  { z }  ( w `  x )  e.  B  <->  ( w `  z )  e.  B )
2221anbi2i 694 . . . . 5  |-  ( ( w  Fn  { z }  /\  A. x  e.  { z }  (
w `  x )  e.  B )  <->  ( w  Fn  { z }  /\  ( w `  z
)  e.  B ) )
23 simpl 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  Fn  { z }  /\  ( w `
 z )  e.  B )  ->  w  Fn  { z } )
24 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  z  ->  (
w `  y )  =  ( w `  z ) )
2524eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  z  ->  (
( w `  y
)  e.  B  <->  ( w `  z )  e.  B
) )
2618, 25ralsn 4066 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. y  e.  { z }  ( w `  y )  e.  B  <->  ( w `  z )  e.  B )
2726biimpri 206 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w `  z )  e.  B  ->  A. y  e.  { z }  (
w `  y )  e.  B )
2827adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  Fn  { z }  /\  ( w `
 z )  e.  B )  ->  A. y  e.  { z }  (
w `  y )  e.  B )
29 ffnfv 6045 . . . . . . . . 9  |-  ( w : { z } --> B  <->  ( w  Fn 
{ z }  /\  A. y  e.  { z }  ( w `  y )  e.  B
) )
3023, 28, 29sylanbrc 664 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  Fn  { z }  /\  ( w `
 z )  e.  B )  ->  w : { z } --> B )
3118fsn2 6059 . . . . . . . 8  |-  ( w : { z } --> B  <->  ( ( w `
 z )  e.  B  /\  w  =  { <. z ,  ( w `  z )
>. } ) )
3230, 31sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( w  Fn  { z }  /\  ( w `
 z )  e.  B )  ->  (
( w `  z
)  e.  B  /\  w  =  { <. z ,  ( w `  z ) >. } ) )
33 opeq2 4214 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( w `  z )  ->  <. z ,  y >.  =  <. z ,  ( w `  z ) >. )
3433sneqd 4039 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( w `  z )  ->  { <. z ,  y >. }  =  { <. z ,  ( w `  z )
>. } )
3534eqeq2d 2481 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( w `  z )  ->  (
w  =  { <. z ,  y >. }  <->  w  =  { <. z ,  ( w `  z )
>. } ) )
3635rspcev 3214 . . . . . . 7  |-  ( ( ( w `  z
)  e.  B  /\  w  =  { <. z ,  ( w `  z ) >. } )  ->  E. y  e.  B  w  =  { <. z ,  y >. } )
3732, 36syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( w  Fn  { z }  /\  ( w `
 z )  e.  B )  ->  E. y  e.  B  w  =  { <. z ,  y
>. } )
38 vex 3116 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
3918, 38fvsn 6092 . . . . . . . . . 10  |-  ( {
<. z ,  y >. } `  z )  =  y
40 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  B  ->  y  e.  B )
4139, 40syl5eqel 2559 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  B  ->  ( { <. z ,  y
>. } `  z )  e.  B )
4218, 38fnsn 5639 . . . . . . . . 9  |-  { <. z ,  y >. }  Fn  { z }
4341, 42jctil 537 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  B  ->  ( { <. z ,  y
>. }  Fn  { z }  /\  ( {
<. z ,  y >. } `  z )  e.  B ) )
44 fneq1 5667 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  { <. z ,  y >. }  ->  ( w  Fn  { z }  <->  { <. z ,  y
>. }  Fn  { z } ) )
45 fveq1 5863 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  { <. z ,  y >. }  ->  ( w `  z )  =  ( { <. z ,  y >. } `  z ) )
4645eleq1d 2536 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  { <. z ,  y >. }  ->  ( ( w `  z
)  e.  B  <->  ( { <. z ,  y >. } `  z )  e.  B ) )
4744, 46anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  { <. z ,  y >. }  ->  ( ( w  Fn  {
z }  /\  (
w `  z )  e.  B )  <->  ( { <. z ,  y >. }  Fn  { z }  /\  ( { <. z ,  y >. } `  z )  e.  B
) ) )
4843, 47syl5ibrcom 222 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  B  ->  (
w  =  { <. z ,  y >. }  ->  ( w  Fn  { z }  /\  ( w `
 z )  e.  B ) ) )
4948rexlimiv 2949 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  B  w  =  { <. z ,  y >. }  ->  ( w  Fn  { z }  /\  ( w `
 z )  e.  B ) )
5037, 49impbii 188 . . . . 5  |-  ( ( w  Fn  { z }  /\  ( w `
 z )  e.  B )  <->  E. y  e.  B  w  =  { <. z ,  y
>. } )
5117, 22, 503bitri 271 . . . 4  |-  ( w  e.  X_ x  e.  {
z } B  <->  E. y  e.  B  w  =  { <. z ,  y
>. } )
5213, 15, 51vtoclbg 3172 . . 3  |-  ( F  e.  _V  ->  ( F  e.  X_ x  e. 
{ z } B  <->  E. y  e.  B  F  =  { <. z ,  y
>. } ) )
538, 12, 52pm5.21nii 353 . 2  |-  ( F  e.  X_ x  e.  {
z } B  <->  E. y  e.  B  F  =  { <. z ,  y
>. } )
543, 7, 53vtoclbg 3172 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( F  e.  X_ x  e. 
{ A } B  <->  E. y  e.  B  F  =  { <. A ,  y
>. } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113   {csn 4027   <.cop 4033    Fn wfn 5581   -->wf 5582   ` cfv 5586   X_cixp 7466
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ixp 7467
This theorem is referenced by:  ixpsnf1o  7506
  Copyright terms: Public domain W3C validator