Theorem elixp 5409

Description: Membership in an infinite Cartesian product.

Hypothesis

Ref	Expression
elixp.1	|- F e. _V

Assertion

Ref	Expression
elixp	|- (F e. X_x e. A B <-> (F Fn A /\ A.x e. A (F` x) e. B))

Distinct variable group:   x,F

Proof of Theorem elixp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3anass 862	. 2 |- ((F e. _V /\ F Fn A /\ A.x e. A (F` x) e. B) <-> (F e. _V /\ (F Fn A /\ A.x e. A (F` x) e. B)))
2		elixp2 5408	. 2 |- (F e. X_x e. A B <-> (F e. _V /\ F Fn A /\ A.x e. A (F` x) e. B))
3		elixp.1	. . 3 |- F e. _V
4	3	biantrur 794	. 2 |- ((F Fn A /\ A.x e. A (F` x) e. B) <-> (F e. _V /\ (F Fn A /\ A.x e. A (F` x) e. B)))
5	1, 2, 4	3bitr4i 200	1 |- (F e. X_x e. A B <-> (F Fn A /\ A.x e. A (F` x) e. B))

Syntax hints:   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   e. wcel 1300  A.wral 2105  _Vcvv 2292   Fn wfn 3993  ` cfv 3998  X_cixp 5406

This theorem is referenced by:  elixpconst 5410  ss2ixp 5413  ixp0 5420  mapixp 5421  ac9s 5926  elixp2a 14493  elixp2b 14494  hbcp 14500  npincppr 14501  prjmapcp 14507  inixp 15722  hbixp1 15725

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-ixp 5407

Copyright terms: Public domain