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Theorem eliunxp2 40388
Description: Membership in a union of Cartesian products over its second component, analogous to eliunxp 4991. (Contributed by AV, 30-Mar-2019.)
Assertion
Ref Expression
eliunxp2  |-  ( C  e.  U_ y  e.  B  ( A  X.  { y } )  <->  E. x E. y ( C  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  B )
) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, y, C
Allowed substitution hints:    A( y)    B( y)

Proof of Theorem eliunxp2
StepHypRef Expression
1 relxp 4961 . . . . . . . 8  |-  Rel  ( A  X.  { y } )
21rgenw 2761 . . . . . . 7  |-  A. y  e.  B  Rel  ( A  X.  { y } )
3 reliun 4973 . . . . . . 7  |-  ( Rel  U_ y  e.  B  ( A  X.  { y } )  <->  A. y  e.  B  Rel  ( A  X.  { y } ) )
42, 3mpbir 214 . . . . . 6  |-  Rel  U_ y  e.  B  ( A  X.  { y } )
5 elrel 4956 . . . . . 6  |-  ( ( Rel  U_ y  e.  B  ( A  X.  { y } )  /\  C  e.  U_ y  e.  B  ( A  X.  { y } ) )  ->  E. x E. y  C  =  <. x ,  y
>. )
64, 5mpan 681 . . . . 5  |-  ( C  e.  U_ y  e.  B  ( A  X.  { y } )  ->  E. x E. y  C  =  <. x ,  y >. )
7 excom 1938 . . . . 5  |-  ( E. y E. x  C  =  <. x ,  y
>. 
<->  E. x E. y  C  =  <. x ,  y >. )
86, 7sylibr 217 . . . 4  |-  ( C  e.  U_ y  e.  B  ( A  X.  { y } )  ->  E. y E. x  C  =  <. x ,  y >. )
98pm4.71ri 643 . . 3  |-  ( C  e.  U_ y  e.  B  ( A  X.  { y } )  <-> 
( E. y E. x  C  =  <. x ,  y >.  /\  C  e.  U_ y  e.  B  ( A  X.  { y } ) ) )
10 nfiu1 4322 . . . . 5  |-  F/_ y U_ y  e.  B  ( A  X.  { y } )
1110nfel2 2619 . . . 4  |-  F/ y  C  e.  U_ y  e.  B  ( A  X.  { y } )
121119.41 2062 . . 3  |-  ( E. y ( E. x  C  =  <. x ,  y >.  /\  C  e. 
U_ y  e.  B  ( A  X.  { y } ) )  <->  ( E. y E. x  C  = 
<. x ,  y >.  /\  C  e.  U_ y  e.  B  ( A  X.  { y } ) ) )
13 19.41v 1841 . . . . 5  |-  ( E. x ( C  = 
<. x ,  y >.  /\  C  e.  U_ y  e.  B  ( A  X.  { y } ) )  <->  ( E. x  C  =  <. x ,  y >.  /\  C  e. 
U_ y  e.  B  ( A  X.  { y } ) ) )
14 eleq1 2528 . . . . . . . 8  |-  ( C  =  <. x ,  y
>.  ->  ( C  e. 
U_ y  e.  B  ( A  X.  { y } )  <->  <. x ,  y >.  e.  U_ y  e.  B  ( A  X.  { y } ) ) )
15 opeliun2xp 40387 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  U_ y  e.  B  ( A  X.  { y } )  <->  ( y  e.  B  /\  x  e.  A ) )
16 ancom 456 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  B  /\  x  e.  A )  <->  ( x  e.  A  /\  y  e.  B )
)
1715, 16bitri 257 . . . . . . . 8  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  U_ y  e.  B  ( A  X.  { y } )  <->  ( x  e.  A  /\  y  e.  B ) )
1814, 17syl6bb 269 . . . . . . 7  |-  ( C  =  <. x ,  y
>.  ->  ( C  e. 
U_ y  e.  B  ( A  X.  { y } )  <->  ( x  e.  A  /\  y  e.  B ) ) )
1918pm5.32i 647 . . . . . 6  |-  ( ( C  =  <. x ,  y >.  /\  C  e.  U_ y  e.  B  ( A  X.  { y } ) )  <->  ( C  =  <. x ,  y
>.  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  B ) ) )
2019exbii 1729 . . . . 5  |-  ( E. x ( C  = 
<. x ,  y >.  /\  C  e.  U_ y  e.  B  ( A  X.  { y } ) )  <->  E. x ( C  =  <. x ,  y
>.  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  B ) ) )
2113, 20bitr3i 259 . . . 4  |-  ( ( E. x  C  = 
<. x ,  y >.  /\  C  e.  U_ y  e.  B  ( A  X.  { y } ) )  <->  E. x ( C  =  <. x ,  y
>.  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  B ) ) )
2221exbii 1729 . . 3  |-  ( E. y ( E. x  C  =  <. x ,  y >.  /\  C  e. 
U_ y  e.  B  ( A  X.  { y } ) )  <->  E. y E. x ( C  = 
<. x ,  y >.  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  B
) ) )
239, 12, 223bitr2i 281 . 2  |-  ( C  e.  U_ y  e.  B  ( A  X.  { y } )  <->  E. y E. x ( C  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  B )
) )
24 excom 1938 . 2  |-  ( E. y E. x ( C  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  B )
)  <->  E. x E. y
( C  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  B )
) )
2523, 24bitri 257 1  |-  ( C  e.  U_ y  e.  B  ( A  X.  { y } )  <->  E. x E. y ( C  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  B )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 189    /\ wa 375    = wceq 1455   E.wex 1674    e. wcel 1898   A.wral 2749   {csn 3980   <.cop 3986   U_ciun 4292    X. cxp 4851   Rel wrel 4858
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pr 4653
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3744  df-if 3894  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-iun 4294  df-opab 4476  df-xp 4859  df-rel 4860
This theorem is referenced by:  mpt2mptx2  40389
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