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Theorem eliunxp2 33123
Description: Membership in a union of Cartesian products over its second component, analogous to eliunxp 5053. (Contributed by AV, 30-Mar-2019.)
Assertion
Ref Expression
eliunxp2  |-  ( C  e.  U_ y  e.  B  ( A  X.  { y } )  <->  E. x E. y ( C  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  B )
) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, y, C
Allowed substitution hints:    A( y)    B( y)

Proof of Theorem eliunxp2
StepHypRef Expression
1 relxp 5023 . . . . . . . 8  |-  Rel  ( A  X.  { y } )
21rgenw 2743 . . . . . . 7  |-  A. y  e.  B  Rel  ( A  X.  { y } )
3 reliun 5035 . . . . . . 7  |-  ( Rel  U_ y  e.  B  ( A  X.  { y } )  <->  A. y  e.  B  Rel  ( A  X.  { y } ) )
42, 3mpbir 209 . . . . . 6  |-  Rel  U_ y  e.  B  ( A  X.  { y } )
5 elrel 5018 . . . . . 6  |-  ( ( Rel  U_ y  e.  B  ( A  X.  { y } )  /\  C  e.  U_ y  e.  B  ( A  X.  { y } ) )  ->  E. x E. y  C  =  <. x ,  y
>. )
64, 5mpan 668 . . . . 5  |-  ( C  e.  U_ y  e.  B  ( A  X.  { y } )  ->  E. x E. y  C  =  <. x ,  y >. )
7 excom 1857 . . . . 5  |-  ( E. y E. x  C  =  <. x ,  y
>. 
<->  E. x E. y  C  =  <. x ,  y >. )
86, 7sylibr 212 . . . 4  |-  ( C  e.  U_ y  e.  B  ( A  X.  { y } )  ->  E. y E. x  C  =  <. x ,  y >. )
98pm4.71ri 631 . . 3  |-  ( C  e.  U_ y  e.  B  ( A  X.  { y } )  <-> 
( E. y E. x  C  =  <. x ,  y >.  /\  C  e.  U_ y  e.  B  ( A  X.  { y } ) ) )
10 nfiu1 4273 . . . . 5  |-  F/_ y U_ y  e.  B  ( A  X.  { y } )
1110nfel2 2562 . . . 4  |-  F/ y  C  e.  U_ y  e.  B  ( A  X.  { y } )
121119.41 1979 . . 3  |-  ( E. y ( E. x  C  =  <. x ,  y >.  /\  C  e. 
U_ y  e.  B  ( A  X.  { y } ) )  <->  ( E. y E. x  C  = 
<. x ,  y >.  /\  C  e.  U_ y  e.  B  ( A  X.  { y } ) ) )
13 19.41v 1779 . . . . 5  |-  ( E. x ( C  = 
<. x ,  y >.  /\  C  e.  U_ y  e.  B  ( A  X.  { y } ) )  <->  ( E. x  C  =  <. x ,  y >.  /\  C  e. 
U_ y  e.  B  ( A  X.  { y } ) ) )
14 eleq1 2454 . . . . . . . 8  |-  ( C  =  <. x ,  y
>.  ->  ( C  e. 
U_ y  e.  B  ( A  X.  { y } )  <->  <. x ,  y >.  e.  U_ y  e.  B  ( A  X.  { y } ) ) )
15 opeliun2xp 33122 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  U_ y  e.  B  ( A  X.  { y } )  <->  ( y  e.  B  /\  x  e.  A ) )
16 ancom 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  B  /\  x  e.  A )  <->  ( x  e.  A  /\  y  e.  B )
)
1715, 16bitri 249 . . . . . . . 8  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  U_ y  e.  B  ( A  X.  { y } )  <->  ( x  e.  A  /\  y  e.  B ) )
1814, 17syl6bb 261 . . . . . . 7  |-  ( C  =  <. x ,  y
>.  ->  ( C  e. 
U_ y  e.  B  ( A  X.  { y } )  <->  ( x  e.  A  /\  y  e.  B ) ) )
1918pm5.32i 635 . . . . . 6  |-  ( ( C  =  <. x ,  y >.  /\  C  e.  U_ y  e.  B  ( A  X.  { y } ) )  <->  ( C  =  <. x ,  y
>.  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  B ) ) )
2019exbii 1675 . . . . 5  |-  ( E. x ( C  = 
<. x ,  y >.  /\  C  e.  U_ y  e.  B  ( A  X.  { y } ) )  <->  E. x ( C  =  <. x ,  y
>.  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  B ) ) )
2113, 20bitr3i 251 . . . 4  |-  ( ( E. x  C  = 
<. x ,  y >.  /\  C  e.  U_ y  e.  B  ( A  X.  { y } ) )  <->  E. x ( C  =  <. x ,  y
>.  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  B ) ) )
2221exbii 1675 . . 3  |-  ( E. y ( E. x  C  =  <. x ,  y >.  /\  C  e. 
U_ y  e.  B  ( A  X.  { y } ) )  <->  E. y E. x ( C  = 
<. x ,  y >.  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  B
) ) )
239, 12, 223bitr2i 273 . 2  |-  ( C  e.  U_ y  e.  B  ( A  X.  { y } )  <->  E. y E. x ( C  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  B )
) )
24 excom 1857 . 2  |-  ( E. y E. x ( C  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  B )
)  <->  E. x E. y
( C  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  B )
) )
2523, 24bitri 249 1  |-  ( C  e.  U_ y  e.  B  ( A  X.  { y } )  <->  E. x E. y ( C  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  B )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1399   E.wex 1620    e. wcel 1826   A.wral 2732   {csn 3944   <.cop 3950   U_ciun 4243    X. cxp 4911   Rel wrel 4918
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pr 4601
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-nul 3712  df-if 3858  df-sn 3945  df-pr 3947  df-op 3951  df-iun 4245  df-opab 4426  df-xp 4919  df-rel 4920
This theorem is referenced by:  mpt2mptx2  33124
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