MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elirrv Structured version   Unicode version

Theorem elirrv 8116
Description: The membership relation is irreflexive: no set is a member of itself. Theorem 105 of [Suppes] p. 54. (This is trivial to prove from zfregfr 8121 and efrirr 4832, but this proof is direct from the Axiom of Regularity.) (Contributed by NM, 19-Aug-1993.)
Assertion
Ref Expression
elirrv  |-  -.  x  e.  x

Proof of Theorem elirrv
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2495 . . . 4  |-  ( y  =  x  ->  (
y  e.  { x } 
<->  x  e.  { x } ) )
2 ssnid 4026 . . . 4  |-  x  e. 
{ x }
31, 2spei 2067 . . 3  |-  E. y 
y  e.  { x }
4 snex 4660 . . . 4  |-  { x }  e.  _V
54zfregcl 8113 . . 3  |-  ( E. y  y  e.  {
x }  ->  E. y  e.  { x } A. z  e.  y  -.  z  e.  { x } )
63, 5ax-mp 5 . 2  |-  E. y  e.  { x } A. z  e.  y  -.  z  e.  { x }
7 elsn 4011 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { x }  <->  y  =  x )
8 ax-9 1873 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  x  ->  x  e.  y )
)
98equcoms 1846 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  (
x  e.  x  ->  x  e.  y )
)
109com12 33 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  x  ->  (
y  =  x  ->  x  e.  y )
)
117, 10syl5bi 221 . . . . . 6  |-  ( x  e.  x  ->  (
y  e.  { x }  ->  x  e.  y ) )
12 eleq1 2495 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  x  ->  (
z  e.  { x } 
<->  x  e.  { x } ) )
1312notbid 296 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  ( -.  z  e.  { x } 
<->  -.  x  e.  {
x } ) )
1413rspccv 3180 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  y  -.  z  e.  { x }  ->  ( x  e.  y  ->  -.  x  e.  { x } ) )
152, 14mt2i 122 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  y  -.  z  e.  { x }  ->  -.  x  e.  y )
1611, 15nsyli 147 . . . . 5  |-  ( x  e.  x  ->  ( A. z  e.  y  -.  z  e.  { x }  ->  -.  y  e.  { x } ) )
1716con2d 119 . . . 4  |-  ( x  e.  x  ->  (
y  e.  { x }  ->  -.  A. z  e.  y  -.  z  e.  { x } ) )
1817ralrimiv 2838 . . 3  |-  ( x  e.  x  ->  A. y  e.  { x }  -.  A. z  e.  y  -.  z  e.  { x } )
19 ralnex 2872 . . 3  |-  ( A. y  e.  { x }  -.  A. z  e.  y  -.  z  e. 
{ x }  <->  -.  E. y  e.  { x } A. z  e.  y  -.  z  e.  { x } )
2018, 19sylib 200 . 2  |-  ( x  e.  x  ->  -.  E. y  e.  { x } A. z  e.  y  -.  z  e.  {
x } )
216, 20mt2 183 1  |-  -.  x  e.  x
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4   E.wex 1660    e. wcel 1869   A.wral 2776   E.wrex 2777   {csn 3997
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pr 4658  ax-reg 8111
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-ral 2781  df-rex 2782  df-v 3084  df-dif 3440  df-un 3442  df-nul 3763  df-sn 3998  df-pr 4000
This theorem is referenced by:  elirr  8117  ruv  8119  dfac2  8563  nd1  9014  nd2  9015  nd3  9016  axunnd  9023  axregndlem1  9029  axregndlem2  9030  axregnd  9031  elpotr  30428  exnel  30450  distel  30451
  Copyright terms: Public domain W3C validator