MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elirrv Structured version   Unicode version

Theorem elirrv 7975
Description: The membership relation is irreflexive: no set is a member of itself. Theorem 105 of [Suppes] p. 54. (This is trivial to prove from zfregfr 7980 and efrirr 4801, but this proof is direct from the Axiom of Regularity.) (Contributed by NM, 19-Aug-1993.)
Assertion
Ref Expression
elirrv  |-  -.  x  e.  x

Proof of Theorem elirrv
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2472 . . . 4  |-  ( y  =  x  ->  (
y  e.  { x } 
<->  x  e.  { x } ) )
2 ssnid 3998 . . . 4  |-  x  e. 
{ x }
31, 2spei 2037 . . 3  |-  E. y 
y  e.  { x }
4 snex 4629 . . . 4  |-  { x }  e.  _V
54zfregcl 7972 . . 3  |-  ( E. y  y  e.  {
x }  ->  E. y  e.  { x } A. z  e.  y  -.  z  e.  { x } )
63, 5ax-mp 5 . 2  |-  E. y  e.  { x } A. z  e.  y  -.  z  e.  { x }
7 elsn 3983 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { x }  <->  y  =  x )
8 ax-9 1844 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  x  ->  x  e.  y )
)
98equcoms 1817 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  (
x  e.  x  ->  x  e.  y )
)
109com12 29 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  x  ->  (
y  =  x  ->  x  e.  y )
)
117, 10syl5bi 217 . . . . . 6  |-  ( x  e.  x  ->  (
y  e.  { x }  ->  x  e.  y ) )
12 eleq1 2472 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  x  ->  (
z  e.  { x } 
<->  x  e.  { x } ) )
1312notbid 292 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  ( -.  z  e.  { x } 
<->  -.  x  e.  {
x } ) )
1413rspccv 3154 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  y  -.  z  e.  { x }  ->  ( x  e.  y  ->  -.  x  e.  { x } ) )
152, 14mt2i 118 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  y  -.  z  e.  { x }  ->  -.  x  e.  y )
1611, 15nsyli 141 . . . . 5  |-  ( x  e.  x  ->  ( A. z  e.  y  -.  z  e.  { x }  ->  -.  y  e.  { x } ) )
1716con2d 115 . . . 4  |-  ( x  e.  x  ->  (
y  e.  { x }  ->  -.  A. z  e.  y  -.  z  e.  { x } ) )
1817ralrimiv 2813 . . 3  |-  ( x  e.  x  ->  A. y  e.  { x }  -.  A. z  e.  y  -.  z  e.  { x } )
19 ralnex 2847 . . 3  |-  ( A. y  e.  { x }  -.  A. z  e.  y  -.  z  e. 
{ x }  <->  -.  E. y  e.  { x } A. z  e.  y  -.  z  e.  { x } )
2018, 19sylib 196 . 2  |-  ( x  e.  x  ->  -.  E. y  e.  { x } A. z  e.  y  -.  z  e.  {
x } )
216, 20mt2 179 1  |-  -.  x  e.  x
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4   E.wex 1631    e. wcel 1840   A.wral 2751   E.wrex 2752   {csn 3969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pr 4627  ax-reg 7970
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-ral 2756  df-rex 2757  df-v 3058  df-dif 3414  df-un 3416  df-nul 3736  df-sn 3970  df-pr 3972
This theorem is referenced by:  elirr  7976  ruv  7978  dfac2  8461  nd1  8912  nd2  8913  nd3  8914  axunnd  8921  axregndlem1  8927  axregndlem2  8928  axregnd  8929  axregndOLD  8930  elpotr  29881  exnel  29903  distel  29904
  Copyright terms: Public domain W3C validator