Theorem elirrv 5700

Description: The membership relation is irreflexive: no set is a member of itself. Theorem 105 of [Suppes] p. 54. (This is trivial to prove from zfregfr 5706 and efrirr 3637, but this proof is direct from the Axiom of Regularity.)

Assertion

Ref	Expression
elirrv	|- -. x e. x

Proof of Theorem elirrv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 1957	. . . 4 |- (y = x -> (y e. {x} <-> x e. {x}))
2		visset 2295	. . . . 5 |- x e. _V
3	2	snid 3069	. . . 4 |- x e. {x}
4	1, 3	a4eiv 1651	. . 3 |- E.y y e. {x}
5		snex 3492	. . . 4 |- {x} e. _V
6	5	zfregcl 5697	. . 3 |- (E.y y e. {x} -> E.y e. {x}A.z e. y -. z e. {x})
7	4, 6	ax-mp 7	. 2 |- E.y e. {x}A.z e. y -. z e. {x}
8		ax-14 1312	. . . . . . . . 9 |- (x = y -> (x e. x -> x e. y))
9	8	equcoms 1489	. . . . . . . 8 |- (y = x -> (x e. x -> x e. y))
10	9	com12 14	. . . . . . 7 |- (x e. x -> (y = x -> x e. y))
11		elsn 3058	. . . . . . 7 |- (y e. {x} <-> y = x)
12	10, 11	syl5ib 223	. . . . . 6 |- (x e. x -> (y e. {x} -> x e. y))
13		eleq1 1957	. . . . . . . . 9 |- (z = x -> (z e. {x} <-> x e. {x}))
14	13	notbid 673	. . . . . . . 8 |- (z = x -> (-. z e. {x} <-> -. x e. {x}))
15	14	rcla4cv 2377	. . . . . . 7 |- (A.z e. y -. z e. {x} -> (x e. y -> -. x e. {x}))
16	3, 15	mt2i 125	. . . . . 6 |- (A.z e. y -. z e. {x} -> -. x e. y)
17	12, 16	nsyli 136	. . . . 5 |- (x e. x -> (A.z e. y -. z e. {x} -> -. y e. {x}))
18	17	con2d 107	. . . 4 |- (x e. x -> (y e. {x} -> -. A.z e. y -. z e. {x}))
19	18	r19.21aiv 2175	. . 3 |- (x e. x -> A.y e. {x} -. A.z e. y -. z e. {x})
20		ralnex 2113	. . 3 |- (A.y e. {x} -. A.z e. y -. z e. {x} <-> -. E.y e. {x}A.z e. y -. z e. {x})
21	19, 20	sylib 215	. 2 |- (x e. x -> -. E.y e. {x}A.z e. y -. z e. {x})
22	7, 21	mt2 124	1 |- -. x e. x

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  A.wral 2105  E.wrex 2106  {csn 3044

This theorem is referenced by:  elirr 5701  elirrOLD 5702  ruv 5704  aceq6b 5904  nd1 6090  nd2 6091  nd3 6092  axunnd 6100  axregndlem1 6106  axregndlem2 6107  axregnd 6108  elpotr 13847  distel 13870

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-reg 5695

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049

Copyright terms: Public domain