MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elirrv Structured version   Unicode version

Theorem elirrv 7927
Description: The membership relation is irreflexive: no set is a member of itself. Theorem 105 of [Suppes] p. 54. (This is trivial to prove from zfregfr 7933 and efrirr 4812, but this proof is direct from the Axiom of Regularity.) (Contributed by NM, 19-Aug-1993.)
Assertion
Ref Expression
elirrv  |-  -.  x  e.  x

Proof of Theorem elirrv
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2526 . . . 4  |-  ( y  =  x  ->  (
y  e.  { x } 
<->  x  e.  { x } ) )
2 ssnid 4017 . . . 4  |-  x  e. 
{ x }
31, 2spei 1968 . . 3  |-  E. y 
y  e.  { x }
4 snex 4644 . . . 4  |-  { x }  e.  _V
54zfregcl 7924 . . 3  |-  ( E. y  y  e.  {
x }  ->  E. y  e.  { x } A. z  e.  y  -.  z  e.  { x } )
63, 5ax-mp 5 . 2  |-  E. y  e.  { x } A. z  e.  y  -.  z  e.  { x }
7 elsn 4002 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { x }  <->  y  =  x )
8 ax-9 1762 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  x  ->  x  e.  y )
)
98equcoms 1735 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  (
x  e.  x  ->  x  e.  y )
)
109com12 31 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  x  ->  (
y  =  x  ->  x  e.  y )
)
117, 10syl5bi 217 . . . . . 6  |-  ( x  e.  x  ->  (
y  e.  { x }  ->  x  e.  y ) )
12 eleq1 2526 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  x  ->  (
z  e.  { x } 
<->  x  e.  { x } ) )
1312notbid 294 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  ( -.  z  e.  { x } 
<->  -.  x  e.  {
x } ) )
1413rspccv 3176 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  y  -.  z  e.  { x }  ->  ( x  e.  y  ->  -.  x  e.  { x } ) )
152, 14mt2i 118 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  y  -.  z  e.  { x }  ->  -.  x  e.  y )
1611, 15nsyli 141 . . . . 5  |-  ( x  e.  x  ->  ( A. z  e.  y  -.  z  e.  { x }  ->  -.  y  e.  { x } ) )
1716con2d 115 . . . 4  |-  ( x  e.  x  ->  (
y  e.  { x }  ->  -.  A. z  e.  y  -.  z  e.  { x } ) )
1817ralrimiv 2828 . . 3  |-  ( x  e.  x  ->  A. y  e.  { x }  -.  A. z  e.  y  -.  z  e.  { x } )
19 ralnex 2852 . . 3  |-  ( A. y  e.  { x }  -.  A. z  e.  y  -.  z  e. 
{ x }  <->  -.  E. y  e.  { x } A. z  e.  y  -.  z  e.  { x } )
2018, 19sylib 196 . 2  |-  ( x  e.  x  ->  -.  E. y  e.  { x } A. z  e.  y  -.  z  e.  {
x } )
216, 20mt2 179 1  |-  -.  x  e.  x
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4   E.wex 1587    e. wcel 1758   A.wral 2799   E.wrex 2800   {csn 3988
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pr 4642  ax-reg 7922
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-v 3080  df-dif 3442  df-un 3444  df-nul 3749  df-sn 3989  df-pr 3991
This theorem is referenced by:  elirr  7928  ruv  7931  dfac2  8415  nd1  8866  nd2  8867  nd3  8868  axunnd  8875  axregndlem1  8883  axregndlem2  8884  axregnd  8885  axregndOLD  8886  elpotr  27761  exnel  27783  distel  27784
  Copyright terms: Public domain W3C validator