MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eliooxr Structured version   Unicode version

Theorem eliooxr 11572
Description: A nonempty open interval spans an interval of extended reals. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
eliooxr  |-  ( A  e.  ( B (,) C )  ->  ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* ) )

Proof of Theorem eliooxr
StepHypRef Expression
1 ne0i 3784 . 2  |-  ( A  e.  ( B (,) C )  ->  ( B (,) C )  =/=  (/) )
2 ndmioo 11545 . . 3  |-  ( -.  ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( B (,) C
)  =  (/) )
32necon1ai 2691 . 2  |-  ( ( B (,) C )  =/=  (/)  ->  ( B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* ) )
41, 3syl 16 1  |-  ( A  e.  ( B (,) C )  ->  ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1762    =/= wne 2655   (/)c0 3778  (class class class)co 6275   RR*cxr 9616   (,)cioo 11518
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-fv 5587  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-xr 9621  df-ioo 11522
This theorem is referenced by:  eliooord  11573  elioo4g  11574  ioorebas  11615  tgioo  21029  ioorcl2  21709  ioorinv2  21712
  Copyright terms: Public domain W3C validator