MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eliooxr Structured version   Unicode version

Theorem eliooxr 11593
Description: A nonempty open interval spans an interval of extended reals. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
eliooxr  |-  ( A  e.  ( B (,) C )  ->  ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* ) )

Proof of Theorem eliooxr
StepHypRef Expression
1 ne0i 3776 . 2  |-  ( A  e.  ( B (,) C )  ->  ( B (,) C )  =/=  (/) )
2 ndmioo 11566 . . 3  |-  ( -.  ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( B (,) C
)  =  (/) )
32necon1ai 2674 . 2  |-  ( ( B (,) C )  =/=  (/)  ->  ( B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* ) )
41, 3syl 16 1  |-  ( A  e.  ( B (,) C )  ->  ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1804    =/= wne 2638   (/)c0 3770  (class class class)co 6281   RR*cxr 9630   (,)cioo 11539
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-fv 5586  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-xr 9635  df-ioo 11543
This theorem is referenced by:  eliooord  11594  elioo4g  11595  ioorebas  11636  tgioo  21278  ioorcl2  21958  ioorinv2  21961
  Copyright terms: Public domain W3C validator