MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eliooord Structured version   Unicode version

Theorem eliooord 11584
Description: Ordering implied by a member of an open interval of reals. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
eliooord  |-  ( A  e.  ( B (,) C )  ->  ( B  <  A  /\  A  <  C ) )

Proof of Theorem eliooord
StepHypRef Expression
1 eliooxr 11583 . . . 4  |-  ( A  e.  ( B (,) C )  ->  ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* ) )
2 elioo2 11570 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( A  e.  ( B (,) C )  <->  ( A  e.  RR  /\  B  < 
A  /\  A  <  C ) ) )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  ( B (,) C )  ->  ( A  e.  ( B (,) C )  <->  ( A  e.  RR  /\  B  < 
A  /\  A  <  C ) ) )
43ibi 241 . 2  |-  ( A  e.  ( B (,) C )  ->  ( A  e.  RR  /\  B  <  A  /\  A  < 
C ) )
5 3simpc 995 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  <  A  /\  A  <  C )  ->  ( B  <  A  /\  A  <  C ) )
64, 5syl 16 1  |-  ( A  e.  ( B (,) C )  ->  ( B  <  A  /\  A  <  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    e. wcel 1767   class class class wbr 4447  (class class class)co 6284   RRcr 9491   RR*cxr 9627    < clt 9628   (,)cioo 11529
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-ioo 11533
This theorem is referenced by:  elioo4g  11585  iccssioo2  11597  qdensere  21040  zcld  21081  reconnlem2  21095  xrge0tsms  21102  ovolioo  21741  ioorcl2  21744  itgsplitioo  22007  dvferm1lem  22148  dvferm2lem  22150  dvferm  22152  dvlt0  22169  dvivthlem1  22172  lhop1lem  22177  lhop1  22178  lhop2  22179  dvcvx  22184  ftc1lem4  22203  itgsubstlem  22212  itgsubst  22213  pilem2  22609  pilem3  22610  pigt2lt4  22611  tangtx  22659  tanabsge  22660  cosne0  22678  tanord  22686  tanregt0  22687  argimlt0  22754  logneg2  22756  divlogrlim  22772  logno1  22773  logcnlem3  22781  dvloglem  22785  logf1o2  22787  loglesqrt  22888  asinsin  22979  acoscos  22980  atanlogaddlem  23000  atanlogsub  23003  atantan  23010  atanbndlem  23012  scvxcvx  23071  basellem8  23117  vmalogdivsum2  23479  vmalogdivsum  23480  2vmadivsumlem  23481  chpdifbndlem1  23494  selberg3lem1  23498  selberg3  23500  selberg4lem1  23501  selberg4  23502  selberg3r  23510  selberg4r  23511  selberg34r  23512  pntrlog2bndlem1  23518  pntrlog2bndlem2  23519  pntrlog2bndlem3  23520  pntrlog2bndlem4  23521  pntrlog2bndlem5  23522  pntrlog2bndlem6a  23523  pntrlog2bndlem6  23524  pntrlog2bnd  23525  pntpbnd1a  23526  pntpbnd1  23527  pntpbnd2  23528  pntpbnd  23529  pntibndlem2  23532  pntibndlem3  23533  pntibnd  23534  pntlemd  23535  pntlemb  23538  pntlemr  23543  pnt  23555  padicabv  23571  xrge0tsmsd  27466  lgamgulmlem2  28240  itg2gt0cn  29675  ftc1cnnclem  29693  itgioocnicc  31323
  Copyright terms: Public domain W3C validator