MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eliooord Structured version   Unicode version

Theorem eliooord 11587
Description: Ordering implied by a member of an open interval of reals. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
eliooord  |-  ( A  e.  ( B (,) C )  ->  ( B  <  A  /\  A  <  C ) )

Proof of Theorem eliooord
StepHypRef Expression
1 eliooxr 11586 . . . 4  |-  ( A  e.  ( B (,) C )  ->  ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* ) )
2 elioo2 11573 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( A  e.  ( B (,) C )  <->  ( A  e.  RR  /\  B  < 
A  /\  A  <  C ) ) )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  ( B (,) C )  ->  ( A  e.  ( B (,) C )  <->  ( A  e.  RR  /\  B  < 
A  /\  A  <  C ) ) )
43ibi 241 . 2  |-  ( A  e.  ( B (,) C )  ->  ( A  e.  RR  /\  B  <  A  /\  A  < 
C ) )
5 3simpc 993 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  <  A  /\  A  <  C )  ->  ( B  <  A  /\  A  <  C ) )
64, 5syl 16 1  |-  ( A  e.  ( B (,) C )  ->  ( B  <  A  /\  A  <  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    e. wcel 1823   class class class wbr 4439  (class class class)co 6270   RRcr 9480   RR*cxr 9616    < clt 9617   (,)cioo 11532
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-ioo 11536
This theorem is referenced by:  elioo4g  11588  iccssioo2  11600  qdensere  21443  zcld  21484  reconnlem2  21498  xrge0tsms  21505  ovolioo  22144  ioorcl2  22147  itgsplitioo  22410  dvferm1lem  22551  dvferm2lem  22553  dvferm  22555  dvlt0  22572  dvivthlem1  22575  lhop1lem  22580  lhop1  22581  lhop2  22582  dvcvx  22587  ftc1lem4  22606  itgsubstlem  22615  itgsubst  22616  pilem2  23013  pilem3  23014  pigt2lt4  23015  tangtx  23064  tanabsge  23065  cosne0  23083  tanord  23091  tanregt0  23092  argimlt0  23166  logneg2  23168  divlogrlim  23184  logno1  23185  logcnlem3  23193  dvloglem  23197  logf1o2  23199  loglesqrt  23300  asinsin  23420  acoscos  23421  atanlogaddlem  23441  atanlogsub  23444  atantan  23451  atanbndlem  23453  scvxcvx  23513  basellem8  23559  vmalogdivsum2  23921  vmalogdivsum  23922  2vmadivsumlem  23923  chpdifbndlem1  23936  selberg3lem1  23940  selberg3  23942  selberg4lem1  23943  selberg4  23944  selberg3r  23952  selberg4r  23953  selberg34r  23954  pntrlog2bndlem1  23960  pntrlog2bndlem2  23961  pntrlog2bndlem3  23962  pntrlog2bndlem4  23963  pntrlog2bndlem5  23964  pntrlog2bndlem6a  23965  pntrlog2bndlem6  23966  pntrlog2bnd  23967  pntpbnd1a  23968  pntpbnd1  23969  pntpbnd2  23970  pntpbnd  23971  pntibndlem2  23974  pntibndlem3  23975  pntibnd  23976  pntlemd  23977  pntlemb  23980  pntlemr  23985  pnt  23997  padicabv  24013  xrge0tsmsd  28010  lgamgulmlem2  28836  itg2gt0cn  30310  ftc1cnnclem  30328  radcnvrat  31436  cncfiooicclem1  31935  itgioocnicc  32015  iblcncfioo  32016
  Copyright terms: Public domain W3C validator