MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eliooord Structured version   Unicode version

Theorem eliooord 11347
Description: Ordering implied by a member of an open interval of reals. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
eliooord  |-  ( A  e.  ( B (,) C )  ->  ( B  <  A  /\  A  <  C ) )

Proof of Theorem eliooord
StepHypRef Expression
1 eliooxr 11346 . . . 4  |-  ( A  e.  ( B (,) C )  ->  ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* ) )
2 elioo2 11333 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( A  e.  ( B (,) C )  <->  ( A  e.  RR  /\  B  < 
A  /\  A  <  C ) ) )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  ( B (,) C )  ->  ( A  e.  ( B (,) C )  <->  ( A  e.  RR  /\  B  < 
A  /\  A  <  C ) ) )
43ibi 241 . 2  |-  ( A  e.  ( B (,) C )  ->  ( A  e.  RR  /\  B  <  A  /\  A  < 
C ) )
5 3simpc 987 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  <  A  /\  A  <  C )  ->  ( B  <  A  /\  A  <  C ) )
64, 5syl 16 1  |-  ( A  e.  ( B (,) C )  ->  ( B  <  A  /\  A  <  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    e. wcel 1756   class class class wbr 4287  (class class class)co 6086   RRcr 9273   RR*cxr 9409    < clt 9410   (,)cioo 11292
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-ioo 11296
This theorem is referenced by:  elioo4g  11348  iccssioo2  11360  qdensere  20324  zcld  20365  reconnlem2  20379  xrge0tsms  20386  ovolioo  21024  ioorcl2  21027  itgsplitioo  21290  dvferm1lem  21431  dvferm2lem  21433  dvferm  21435  dvlt0  21452  dvivthlem1  21455  lhop1lem  21460  lhop1  21461  lhop2  21462  dvcvx  21467  ftc1lem4  21486  itgsubstlem  21495  itgsubst  21496  pilem2  21892  pilem3  21893  pigt2lt4  21894  tangtx  21942  tanabsge  21943  cosne0  21961  tanord  21969  tanregt0  21970  argimlt0  22037  logneg2  22039  divlogrlim  22055  logno1  22056  logcnlem3  22064  dvloglem  22068  logf1o2  22070  loglesqr  22171  asinsin  22262  acoscos  22263  atanlogaddlem  22283  atanlogsub  22286  atantan  22293  atanbndlem  22295  scvxcvx  22354  basellem8  22400  vmalogdivsum2  22762  vmalogdivsum  22763  2vmadivsumlem  22764  chpdifbndlem1  22777  selberg3lem1  22781  selberg3  22783  selberg4lem1  22784  selberg4  22785  selberg3r  22793  selberg4r  22794  selberg34r  22795  pntrlog2bndlem1  22801  pntrlog2bndlem2  22802  pntrlog2bndlem3  22803  pntrlog2bndlem4  22804  pntrlog2bndlem5  22805  pntrlog2bndlem6a  22806  pntrlog2bndlem6  22807  pntrlog2bnd  22808  pntpbnd1a  22809  pntpbnd1  22810  pntpbnd2  22811  pntpbnd  22812  pntibndlem2  22815  pntibndlem3  22816  pntibnd  22817  pntlemd  22818  pntlemb  22821  pntlemr  22826  pnt  22838  padicabv  22854  xrge0tsmsd  26204  lgamgulmlem2  26968  itg2gt0cn  28400  ftc1cnnclem  28418
  Copyright terms: Public domain W3C validator